互补而非累积：物理信息神经网络在纳维-斯托克斯涡脱落中的交互效应

# 互补而非叠加：物理信息神经网络在纳维–斯托克斯涡脱落中的交互效应
来源：https://arxiv.org/html/2608.19632
###### 摘要
物理信息神经网络（PINNs）将控制偏微分方程直接嵌入训练损失函数，为非定常流动模拟提供了一种有望替代昂贵计算流体力学（CFD）求解器的新途径。然而，为改进PINN训练而提出的技术日益增多，但这些技术通常是逐一验证的，它们之间是否能有效组合仍不清楚。我们利用DFG/Schäfer–Turek非定常圆柱绕流基准问题，深入研究了这一问题。单独使用时，几乎每种技术的表现都不优于未经处理的基线模型。但是，将周期性激活函数（SIREN）与因果权重方法相结合，可以解锁先前难以达到的性能区间，将速度场和压力场的重建精度与OpenFOAM参考解相比，平均相对L2误差控制在4.1%以内。进一步添加其他技术反而导致性能急剧恶化，这表明个别有效的PINN干预措施之间可能存在非线性相互作用，更复杂的训练方案并不必然带来更好的效果。
## 1 引言
与支撑当今文本和视觉基础模型的互联网规模语料库相比，大多数科学领域在数据上本质上是匮乏的[22](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib7)。然而，科学中建模的许多系统都受到成熟物理定律的约束。物理信息神经网络（PINNs）利用了这一点，将控制方程和边界条件直接嵌入训练损失函数，仅需传统方法所需数据量的一小部分即可近似求解偏微分方程（PDEs）[14](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib1)。自该框架提出以来，PINNs已被广泛应用于多个领域，包括固体力学[4](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib2)、传热[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib3)和生物医学流动建模[6](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib4)。然而，这些模型在处理更复杂问题时面临已知的挑战，主要源于当损失函数依赖于高阶导数时的训练不稳定性[8](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib5); [20](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib6)。

流体动力学是这类复杂问题中最关键的领域之一：预测流体行为是几乎所有物理工程学科的基础。由于传统计算流体力学（CFD）求解器在更高雷诺数下计算成本急剧增加[7](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib8)，因此对更快的学习型代理模型（如PINNs）有着强烈的需求。然而，这一前景并非自动实现：先前的研究记录了即使在标准配置下也可能出现的失败案例[3](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib9)。

随着PINN研究的发展，提出的修复方法也越来越多，但通常是在不同基线条件下逐一验证的。我们系统性地检验了这些技术在标准DFG/Schäfer–Turek非定常圆柱绕流基准问题上的组合效果。我们的主要贡献包括：
1.  对广泛使用的PINN技术进行系统性评估，涵盖架构修改、激活函数和损失重加权方案。
2.  识别出可靠学习涡脱落所需的特定组合（周期性激活函数与因果权重结合）。
3.  分析显示，为何在此组合基础上进一步添加其他方法（如傅里叶特征或自适应加权）会各自破坏其性能。
## 2 背景与相关工作
纳维–斯托克斯方程是数学物理中最棘手的方程组之一：证明其三维光滑解始终存在是七大千禧年难题之一[2](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib19)。这些方程描述了流体速度场在作用力下的演化过程：
$$
\begin{aligned}
\nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \quad (1a) \\
\frac{\partial\mathbf{u}}{\partial t} + (\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u} &= -\frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^{2}\mathbf{u} \quad (1b)
\end{aligned}
$$
其中，$\mathbf{u}=(u,v)$ 是速度场，$p$ 是压力，$\rho$ 是流体密度，$\nu$ 是运动粘度。该系统难以直接求解的两个关键特性是：对流项 $(\mathbf{u}\cdot\nabla)\mathbf{u}$ 是非线性的，通常排除了封闭形式解的存在；压力本身没有演化方程，因此在每个时间步必须通过间接求解来保持速度场的无散度特性。正是这种耦合导致传统CFD方法需要在空间网格上求解这些方程的离散化版本，在推进时间求解的同时，迭代耦合压力和速度场以强制满足不可压缩性[12](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib20)。雷诺数（对流力与粘性力的比值）决定了这种计算成本：较大的雷诺数值会将流动推入非定常、涡主导的区域（例如涡轮叶片上的非定常载荷），这需要更细的网格和更小的时间步长。

PINNs在目标动力学变得更复杂时常常表现不佳。[8](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib5) 表明这种失败并非由于网络容量不足：在纯监督方式下训练同一架构可以表示正确的解。相反，将PDE残差嵌入损失函数会创建一个极其难以导航的优化景观。[20](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib6) 识别出一种相关但不同的失败模式：从不同损失项（物理、边界和初始条件）反向传播的梯度在训练过程中会严重失衡。类似地，[13](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib10) 识别出标准MLP（基线PINN架构）存在频谱偏差：倾向于优先学习低频函数。这种偏差后来也被证明限制了基于坐标的神经表示（如图像和3D场景）[18](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib11)。

这些诊断引发了一波新技术的出现：损失端的修复方法，如因果加权[19](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib13) 和自适应加权[11](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib14)；以及架构修复方法，如傅里叶特征编码[18](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib11) 和SIREN激活函数[16](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib12)。本文将详细探讨和解释这些方法。

圆柱绕流涡脱落作为本研究的具体问题，也吸引了专门的PINN研究——尽管已发表的工作主要通过专门的、一次性的损失重构或架构修改来处理该问题。[21](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib15) 重构了损失函数本身，添加了受经典SIMPLE压力-速度耦合算法启发的速度和压力修正项，以捕捉涡脱落的演化。[5](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib16) 用U-Net++替换了标准MLP，预测流函数而非直接预测速度和压力，并使用无梯度卷积滤波器而非自动微分来近似导数。[3](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib9) 采取更具诊断性的方法，使用标准PINN公式表明，在没有连续数据监督的情况下无法维持涡脱落，并将此失败追溯到数值耗散动态模式。

我们的工作是对这些文献的补充，我们固定标准PINN公式，系统性地测试既定通用技术的组合效果，而不是为此问题提出新的专门架构或损失函数。除了PINN之外，算子学习方法如DeepONet[10](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib17)和傅里叶神经算子[9](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib18)为快速CFD代理提供了另一种范式，它们直接逼近PDE的解算子，而非将其残差嵌入损失函数。然而，与我们的设置不同，这些方法通常需要大量涵盖多个已解实例的训练数据；因此，我们在本工作中不进一步探讨这些方法。
## 3 数据集
我们研究不可压缩牛顿流体流经受限于矩形通道内的圆柱的二维流动，遵循广泛采用的Schäfer–Turek（ST）基准测试[15](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib21)。该基准提供了经过充分验证的阻力系数、升力系数和斯特劳哈尔数的参考值，使其成为验证不可压缩流动PINN方法的理想试验场。

所有模拟共享相同的流体和几何结构；只有入口速度，以及随之变化的雷诺数，在不同案例间有所差异。我们仅考虑基准测试的稳态入口（ST 2D-1）变体，其控制方程为方程1中的纳维–斯托克斯方程[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S2.E1)。

我们模拟了两个雷诺数，涵盖了定性不同的流动物理现象，使我们能够量化解的复杂度如何影响PINN的精度。在$Re=20$时，流动是层流的，并形成稳定的、对称的尾迹。PINN在收敛后预测的任何时间变化都反映误差而非物理，这使其成为稳态极限的受控测试。在$Re=100$时，流动是非定常的，并脱落出具有明确斯特劳哈尔数（约0.30）的周期性卡门涡街，这要求网络学习脱落涡的空间结构及其周期性时间特性。图1[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S3.F1)直观地展示了这种对比。
> **图1**：来自我们OpenFOAM真实数据集的$U_y$速度场快照。上图：$Re=20$，稳定层流尾迹，在4秒内基本无变化。下图：$Re=100$，周期性卡门涡街，在一个脱落周期的一小部分内可见明显演化。

所有参考流场均使用开源有限体积CFD框架OpenFOAM v2512生成。网格首先在Gmsh中生成，然后导入OpenFOAM。两个案例均使用瞬态层流求解器icoFoam和PISO压力-速度耦合算法求解。网格是分级的、以四边形为主的拉伸网格，包含50,184个单元，在圆柱壁面附近和尾迹区域进行了加密。对于$Re=20$，我们模拟$t\in[0,10]$秒，时间步长$\Delta t=0.001$秒；对于$Re=100$，我们模拟$t\in[0,8]$秒（基准测试规定的时间），时间步长$\Delta t=0.0002$秒。两个案例均每0.1秒输出一次完整流场，分别得到100和80个快照。详细信息见附录A[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#A1)。

在将这些输出用作PINN训练和评估数据之前，我们将其与已发布的ST基准参考值进行了验证。在$Re=20$时，我们收敛的阻力系数与基准值的差异在0.2%以内。在$Re=100$时，我们的时间平均阻力匹配度在7.8%以内，而升力幅值和斯特劳哈尔数匹配度在1%以内。$Re=100$时较大的阻力差异反映了已知的积分阻力对高雷诺数近壁面网格分辨率的敏感性，并限制了基于这些场训练的PINN与真实ST解的匹配程度。

对于每次模拟，我们从OpenFOAM输出中提取每个写入时间步的单元中心速度、压力和坐标场。两个雷诺数组合的数据集总共包含约900万个时空观测值。
## 4 方法
### 4.1 基线PINN公式
我们在将基线PINN公式应用于本文其余部分研究的更困难的$Re=100$动力学之前，先在$Re=20$案例上对其进行验证。在$Re=20$时，流动是定常的，因此模型只需要学习时间不变的、对称的尾迹。训练不使用直接数据监督，仅依赖控制物理和边界/初始条件。在稳态（$t\geq2.0$秒）时，与OpenFOAM相比的相对L2误差均在3%以内（表1[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S4.T1)），预测的跨圆柱压力降匹配度在1%以内。这证实了下面的配置实现正确，并且该确切方案在本文剩余的消融研究中不变地用于$Re=100$。
> **架构**。一个全连接多层感知器将时空坐标$(x,y,t)$（使用域边界按坐标归一化到$[-1,1]$）映射到流动变量$(u,v,p)$。网络有8个隐藏层，每层宽度为128，使用$\tanh$激活函数，Xavier均匀权重初始化，偏差初始化为零。
> **损失公式**。训练损失是三个项的加权和：
> $$\mathcal{L}=\lambda_{\text{phys}}\mathcal{L}_{\text{phys}} + \lambda_{\text{bc}}\mathcal{L}_{\text{bc}} + \lambda_{\text{ic}}\mathcal{L}_{\text{ic}}, \tag{2}$$
> 基线权重为$\lambda_{\text{phys}}=3.0$, $\lambda_{\text{bc}}=5.0$, $\lambda_{\text{ic}}=0.2$，各项损失定义如下：
> - $\mathcal{L}_{\text{phys}}$：连续性方程和动量方程（方程1a[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S2.E1.1)和方程1b[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S2.E1.2)）残差的均方误差，通过自动微分计算。动量残差需要运动粘度$\nu$，对于$Re=20$案例，设置为$\nu=0.001$ m$^2$/s，与方程8[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#A1.E8)中的平均速度和圆柱直径一致。
> - $\mathcal{L}_{\text{bc}}$：汇总三个边界项：入口（与方程9[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#A1.E9)中给定的解析Schäfer–Turek抛物线剖面匹配）、出口（压力固定为零）、以及通道壁面和圆柱表面的无滑移、零速度条件。
> - $\mathcal{L}_{\text{ic}}$：强制流体从静止开始（$t=0$时$u=v=0$）。
> **采样**。配点、边界点和初始条件点以独立同分布方式均匀随机抽取，并在每个训练步骤重新采样：8000个配点，入口和出口各500个点，每个无滑移表面500个点，300个初始条件点。
> **训练**。我们使用AdamW优化器进行训练，学习率为$10^{-3}$，在125K步内进行余弦退火，梯度范数裁剪为1.0。

**表1**：所有基线实验与OpenFOAM的相对L2误差。*注：$Re=20$结果在稳态（$t\geq2.0$秒）报告；所有其他行报告整个轨迹上的误差。
### 4.2 候选技术
这里我们介绍PINN文献中提出的各种技术，每种技术都针对物理训练中一个特定、先前记录的失败模式（第2节[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S2)）。每种技术都可以独立于其他技术添加到第4.1节[1](https://arxiv.org/html/2608.19632#S4.SS1)的基线公式中。
#### 4.2.1 傑里叶特征编码
使用平滑激活函数（例如$\tanh$）的标准MLP难以学习高频信号：在梯度下降下，它们倾向于收敛到满足损失函数的最平滑函数，这种现象称为频谱偏差[13](https://arxiv.org/html/2608.19632#bib.bib10)。这是PINN求解中常见的障碍，对我们尤为重要：涡脱落是周期性的。