1/6 激动地宣布，麦吉尔射电实验室最新一篇关于实时天文射电干涉仪（射电望远镜）数字信号处理的论文已投稿并刚刚发布在Arxiv上。 https://t.co/w3AqqDQ21G

临界采样多相滤波器组的逆变换与上变频信道化

来源：https://arxiv.org/html/2608.23441

临界采样多相滤波器组的逆变换与上变频信道化Numpy(11 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib30))、Scipy(31 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib31))、Matplotlib(14 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib32))\。

Stephen Fay隶属单位：麦吉尔大学物理系，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2T8电子邮件：[email protected]Mohan Agrawal隶属单位：麦吉尔大学物理系，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2T8隶属单位：麦吉尔大学特罗蒂埃空间研究所，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2A7电子邮件：[email protected]电子邮件：[email protected]通讯作者：Mohan AgrawalH. Cynthia Chiang隶属单位：麦吉尔大学物理系，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2T8隶属单位：麦吉尔大学特罗蒂埃空间研究所，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2A7电子邮件：[email protected]Aman Chokshi隶属单位：麦吉尔大学物理系，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2T8隶属单位：麦吉尔大学特罗蒂埃空间研究所，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2A7电子邮件：[email protected]Jonathan Sievers隶属单位：麦吉尔大学物理系，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2T8隶属单位：麦吉尔大学特罗蒂埃空间研究所，加拿大魁北克省蒙特利尔市 H3A 2A7电子邮件：[email protected]Simon Tartakovsky隶属单位：普林斯顿大学物理系，美国新泽西州普林斯顿市 08540电子邮件：[email protected]

摘要

多相滤波器组（PFB）广泛应用于实时系统中，用于将数字化时域数据划分为多个信道。然而，射电天文学等应用通常需要比实时系统所能提供的更高的频谱分辨率。我们引入了循环逆PFB的形式化理论，并提出了一种新的、可扩展的、基于快速傅里叶变换（FFT）的算法，用于逆变换临界采样的PFB。该形式化理论明确指出了量化噪声放大的根源，并支持两种互补的缓解策略：（1）快速实用的维纳滤波器，以及（2）结合时域先验信息的严格最大似然重构。我们使用模拟的4比特量化PFB数据评估了这两种方法。对于自谱，维纳滤波将重构误差限制在信道宽度的10%以下，峰值误差低于10%。随着额外时域先验信息的融入，最大似然方法进一步降低了重构误差，当时域先验覆盖10%的样本时，最坏情况误差降至2%以下。该框架能够实现对归档PFB数据的高分辨率频谱分析，促进包括长基线干涉测量、脉冲星和快速射电暴搜寻、以及超窄带物理实验等应用。

I 引言

多相滤波器组(12 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib3);7 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib13);29 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib12);3 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib14);21 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib2)， PFB) 是一种信号处理技术，常见于射电天文学和电信等领域，用于将宽带数字信号分割为许多窄频信道。PFB信道化器允许通过用户定义的滤波器定制输出信道的频率响应，同时比传统的信道化方案快得多。其独特优势在射电天文学中尤为明显，因为最小化相邻信道间的频谱泄漏(20 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib5))对于防止强人工干扰污染科学感兴趣的频率至关重要。通过使用适当长度的构建滤波器，PFB信道化器可以提供所需的通带宽度和旁瓣抑制水平。现代射电望远镜中使用的典型PFB提供出色的阻带衰减（图1 (https://arxiv.org/html/2608.23441#S2.F1)），并且对于相同的衰减水平，其计算成本仅为朴素信道化技术的一小部分。

射电望远镜通常处理大的瞬时射频（RF）带宽，范围常达数GHz。处理大的RF带宽需要高采样率，从而导致高数据吞吐率。因此，输入端的硬件限制（如现场可编程门阵列（FPGA）上的缓冲区大小限制），或输出端的限制（如数据传输或存储容量），都限制了实时信道化可实现的频谱分辨率。因此，许多仪器仅记录粗略信道化的PFB数据，尽管更精细的频谱分辨率可能具有科学价值。

从归档的PFB数据中恢复原始时间序列可以解除这些限制：一旦逆变换，数据可以被重新信道化为任意精细的频谱分辨率，以适应当前的科学需求。这种能力在多种应用中都是可取的。例如，在长基线干涉测量中，粗略信道化限制了可实现的频谱分辨率，这又由于带宽涂抹效应(4 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib8))而限制了最大可用基线长度和视场。对粗略PFB数据进行重新信道化可以缓解这种效应，从而实现超宽视场长基线干涉测量(5 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib4))。准确的PFB逆变换方案还可以提高脉冲星搜寻以及快速射电暴搜寻与定位的灵敏度(6 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib11);15 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib10))。最后，重新信道化能力可能能够利用现有的射电望远镜搜寻新物理，例如电离层中类轴子粒子发出的超窄带（几赫兹）信号(2 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib9))。

PFB信道化器最常见的实现是临界采样的，这意味着信道间的频率间隔与信道的奈奎斯特带宽相同。将一个带宽为(B)、以奈奎斯特速率(2B)采样的实值信号，通过一个在信道化阶段使用(N)点FFT的PFB，会产生(n_{\text{chan}} = N/2)个正频率信道，这些信道的间隔为(B/n_{\text{chan}})。如果PFB是临界采样的，那么对于每个信道，新的复数值样本也以(B/n_{\text{chan}})的速率到达，这使得输入速率和所有信道总和的输出速率相等。临界采样导致任何泄漏到信道奈奎斯特宽度(B/n_{\text{chan}})之外的信号都混叠回信道内，从而破坏信道边缘（见图1 (https://arxiv.org/html/2608.23441#S2.F1)）。这种混叠使得临界采样的PFB难以逆变换。正如稍后将讨论的，仅混叠本身并不足以使逆变换不可能：虽然信息被扰乱了，但并未丢失。

传统上，可逆PFB是从头开始使用所谓的完美重建滤波器设计的。这些滤波器精确抵消了来自相邻信道的混叠伪影，但这一特性对其长度和形状施加了严格限制(17 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib18);16 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib19);29 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib12);30 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib20))。这些限制限制了滤波器在提供所需阻带衰减和通带平坦度方面的多功能性，尤其是在可用硬件资源下。某些类别的此类滤波器还缺乏线性相位响应(26 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib17))，这使得它们不适合需要线性相位的相位敏感应用。

规避临界采样带来困难的另一种方法是使用过采样PFB(19 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib16);1 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib15);28 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib22)， OS-PFB)，其中输出时间序列的采样率高于(B/n_{\text{chan}})。更高的输出采样率使信道的奈奎斯特带宽大于信道宽度。因此，带外波纹落在信道的奈奎斯特带内，减少了混叠。然而，OS-PFB的优势是以需要更多硬件资源为代价，这些资源用于处理现在更高的输出数据速率，并校正由过采样引入的系统性相位旋转(27 (https://arxiv.org/html/2608.23441#bib.bib23))。

在本文中，我们重点关注与逆变换临界采样PFB相关的挑战。首先，我们指出了由PFB中使用的滤波器权重（窗函数）的对称性引起的逆变换问题的根本原因。然后，我们提出了一种计算高效的逆变换算法。本文其余部分的组织结构如下：第II节 (https://arxiv.org/html/2608.23441#S2) 建立了PFB的基础，从理想的信道化器到将其解释为独立相关的表示。第III节 (https://arxiv.org/html/2608.23441#S3) 提出了一种基于FFT的快速PFB逆变换算法，并讨论了量化噪声对逆变换PFB的影响。最后，第IV节 (https://arxiv.org/html/2608.23441#S4) 通过两种去噪方法（维纳滤波方法和时域最大似然方法）增强了逆变换算法，并使用模拟数据比较了它们的性能。

II.1 理想信道化器

对时间序列信号进行信道化的过程是指将信息内容分割成多个窄频带或“信道”。一个带宽为(B)的实值时间序列(x(t))可以被分割成(n_{\text{chan}})个信道，每个信道拥有各自对应的时间序列。这些每信道时间序列的总和可以恢复出原始的(x(t))。理想情况下，任何宽度为(\Delta f)的单个信道(k)的信息严格包含在频率范围(|f - f_k| \leq \Delta f/2)内，不包含来自其他频率的任何信息。理想的信道化器很简单。为了获得信道(k)的时间序列，计算原始时间序列的傅里叶变换(X(f))，然后乘以一个矩形滤波器，该滤波器定义为在(|f - f_k| \leq \Delta f/2)时(H_k(f) = 1)，否则为零。这个矩形滤波器简单地选择(f_k)（第(k)个信道）附近的频率并拒绝该信道外的频率。根据卷积定理，将(X(f))与以(f_k)为中心的矩形滤波器相乘，等效于将时间序列与平移后的矩形滤波器的傅里叶变换进行卷积：即sinc函数乘以相位因子(e^{j2\pi f_k t})。

如果(x(t))的带宽为(B)，即(B = n_{\text{chan}} \Delta f)，则时间序列可以以奈奎斯特速率(2B)进行采样。那么，获得信道(k)时间序列的卷积可以写成对(x(t))采样点的求和：

(y_k(t) = \sum_m x[t_m] \underbrace{{\text{sinc}(t_m - t) e^{-i2\pi f_k(t_m - t)}}}_{\text{与滤波器的卷积}},) (1)

其中(t_m = m/2B)是时间序列样本，(y_k(t))是信道(k)的时间序列样本。由于得到的(n_{\text{chan}})个信道化时间序列的频率内容限制在(\Delta f = B/n_{\text{chan}})内，每个信道化时间序列可以比(x(t))更稀疏地采样。最低的可能采样率由奈奎斯特极限设定为(B/n_{\text{chan}} = \Delta f)，这将(y_k(t))的输出样本数相对于(x(t))的长度减少了(n_{\text{chan}})倍。现在，如果信道化器在信道(k)的输出在(1/\Delta f)的整数倍时间处进行采样，那么式(1)简化为一个无限长的离散傅里叶变换（DFT）(^1)。此外，由于信道化器的输出现在是复数的，所有信道的总数据速率是(n_{\text{chan}})乘以(B/n_{\text{chan}})的两倍，等于(2B)，这正是(x(t))的输入数据速率。这一特性使得信道化器是临界采样的。

II.2 多相滤波器组简介

对一个有限长度(M)的实值时间序列进行信道化需要对理想信道化器进行一些修改。首先，sinc滤波器被截断到与时间序列相同的长度(M)。为了获得(n_{\text{chan}})个复数值输出信道，至少需要(N = 2 n_{\text{chan}})个实值输入时间序列点，使得(M \geq N)。我们将(N)个时间域样本单元和(N/2)个复数信道化值集称为一“帧”数据。然后，定义(p)个连续帧为一个包含(M)个样本的“段”。随着(M)增加，截断sinc函数的傅里叶变换逐渐逼近理想的矩形滤波器。比率(p = M/N)被称为PFB的抽头数（taps）。在实践中，(p)通常由可用的计算内存决定，在射电天文学中(p=4)是常见的。

设定(M = pN)为待信道化的时间序列数据点数，式(1)可以针对大小为(M)的一个数据段重写为：

(y[k] = \sum_{m=0}^{M-1} x[m] {\text{sinc}[m - M/2]} e^{-i2\pi mk/N})。 (2)

这种形式可以通过以下替换得到：(f_k = k B / n_{\text{chan}}), (t_m = m / 2B), (N = 2 n_{\text{chan}})，以及(t)是(n_{\text{chan}}/B)的整数倍这一事实。此外，由于求和从(m=0)开始，sinc函数被平移了(M/2)个样本，使其在一个数据块上对称(^2)。

如果(M > N)，则式(2)等效于执行一个更长的(M)点DFT，但仅保留每隔(p)个的频率信道：

(X[k’ = pk] = \sum_{m=0}^{M-1} x[m] {\text{sinc}[m - M/2]} \underbrace{e^{-i2\pi mpk/M}}_{e^{-i2\pi mk/N}})。 (3)

通过注意到式(2)中的指数项以(N)为周期重复，可以提高此处理步骤的效率。因此，对(M = pN)的求和包含(p)个相同的指数项。这种冗余可以通过使用替换(m =)来利用，将(M)个样本的求和分成(p)个不同的求和来利用。