在经典Treloar数据集上对数据驱动材料模型进行基准测试

# 经典Treloar数据集上的数据驱动材料模型基准测试  
来源：https://arxiv.org/html/2608.14063  
Hagen Holthusen 通讯作者：联系方式：hagen\.holthusen@fau\.de 地址：应用力学研究所，Egerlandstraße 5，弗里德里希-亚历山大大学埃尔朗根-纽伦堡，91058 埃尔朗根，德国  
Moritz Flaschel 地址：应用力学研究所，Egerlandstraße 5，弗里德里希-亚历山大大学埃尔朗根-纽伦堡，91058 埃尔朗根，德国  
Denisa Martonová 地址：应用力学研究所，Egerlandstraße 5，弗里德里希-亚历山大大学埃尔朗根-纽伦堡，91058 埃尔朗根，德国  
Ellen Kuhl 地址：应用力学研究所，Egerlandstraße 5，弗里德里希-亚历山大大学埃尔朗根-纽伦堡，91058 埃尔朗根，德国  
地址：机械工程系，斯坦福大学，440 Escondido Mall，加利福尼亚州 94305，美国  

###### 摘要  
机器学习正在迅速重塑本构建模，提供了直接从实验数据中学习材料行为的新方法，并挑战了长期以来建立的建模范式。但随着越来越多的基于机器学习的方法可用，它们在实践中表现如何？在本文中，我们使用Treloar的经典实验数据来对几种流行的超弹性框架进行基准测试：（广义不变量）本构人工神经网络、物理增强神经网络、（自适应）材料指纹识别，以及高效无监督本构定律识别与发现。我们比较了它们的拟合性能、计算成本、超参数敏感性和实现便利性。此外，我们讨论了预测精度与模型复杂度之间的权衡。后者通过量化所发现模型中的材料参数数量以及评估本构模型及其导数所需的计算时间来评估。结果表明，所有方法都能非常好地复现基准数据。我们不强调某个单一的“赢家”，而是突出了每种方法的优势和局限性，并提供了实际使用指导。所有六种方法的源代码，包括训练和比较脚本，以及本研究中使用的所有结果和数据，均可通过Zenodo (https://doi.org/10.5281/zenodo.21915635) 公开获取。  

###### 关键词：机器学习、自动化发现、材料建模、超弹性  

## 1 引言  
Treloar对天然橡胶的实验(37 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib9))构成了最广泛使用的本构模型开发和评估基准之一。一项系统的经典比较评估了十四种唯象和微观力学驱动的超弹性模型，并检验了从一种变形模式识别出的参数是否能够预测其他模式(32 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib23))。十多年后，机器学习和自动化模型发现方法的出现改变了建模格局：这些方法不再是仅仅从一组有限的预设本构形式中选择，而是可以从数据中学习或组装应变能密度函数，在物理结构、灵活性、稀疏性和可解释性之间取得了不同的平衡。这种转变引入了新的实际问题，涉及泛化能力、优化鲁棒性、超参数和初始化敏感性，以及计算成本。因此，在同一个既定数据集上重新进行基准测试是及时的。  
本文中，我们比较了六种代表性数据驱动方法在相同条件下的表现。考虑的方法概述见表1 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S1.T1)。图1 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S1.F1)显示了它们发现的本构函数，图2 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S1.F2)显示了它们的模型响应与Treloar数据的对比。  

表1：数据驱动方法的基准性能（详见第4节 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S4) 和表5 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S4.T5)）。  
| 方法 | 缩写 | 训练集 R<sup>2</sup> | 验证集 R<sup>2</sup> | 核心时间 (ms) | 参数数量 ‖θ‖<sub>0</sub> |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 高效无监督本构定律识别与发现 | EUCLID | 0.9973 | 0.9978 | 0.37 | 24 |
| 材料指纹识别 | MF | 0.9781 | 0.9899 | 0.30 | 22 |
| 自适应材料指纹识别 | AMF | 0.9991 | 0.9996 | 6.00 | 0 |
| 物理增强神经网络 | PANN | 0.9973 | 0.9977 | 581.31 | 1371 |
| 本构人工神经网络 | CANN | 0.9972 | 0.9975 | 320.94 | 712 |
| 广义不变量CANN | GI-CANN | 0.9996 | 0.9993 | 664.98 | 88 |

为了定量评估所考虑方法在Treloar数据集上的性能，我们引入了几个指标来评估所得模型的拟合精度。除了拟合精度外，我们还研究了所考虑数据驱动方法的计算成本，并使用几个互补的指标评估了所得本构模型的复杂度。本构模型复杂度在计算模拟中尤为重要，因为在每个积分点重复评估模型及其导数会显著影响总体计算成本。表1 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S1.T1) 总结了一些用于量化拟合精度、模型复杂度和逆问题计算成本的代表性指标。更多性能指标将在本文中介绍和讨论。  

图1：六种选定的最佳性能模型预测的主伸长空间中的应变能密度（详见第4节 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S4)）。  
图2：Treloar的实验数据与最佳性能发现模型的预测对比。  
我们注意到，数据驱动本构建模的文献非常广泛且增长迅速。因此，我们的比较仅限于一组有代表性的、广泛使用的方法，并未声称涵盖所有最先进的方法或找出普遍表现最佳的技术。具体来说，我们考虑了高效无监督本构定律识别与发现（EUCLID）(13 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib22))、材料指纹识别（MF）(11 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib28); 29 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib36))、自适应材料指纹识别（AMF）(9 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib31))、物理增强神经网络（PANNs）(23 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib13); 25 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib15); 6 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib39))、本构人工神经网络（CANNs）(26 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib7); 27 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib14))，以及广义不变量CANNs（GI-CANNs）(28 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib37))。这份方法清单绝非详尽无遗。文献中已提出许多其他方法(17 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib16); 33 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib17))，仅举几例，包括高斯过程(15 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib12); 18 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib8))、变分系统识别（VSI）(38 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib6))、神经常微分方程（NODE）(34 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib4))、符号回归(1 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib24))、基于样条的方法(39 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib18))、非光滑本构函数参数化(4 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib27))，以及智能体人工智能(35 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib29))。在下一节2 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S2)中，我们简要回顾了关于天然橡胶的经典Treloar数据集。在随后的第3节 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S3)中，我们介绍了所考虑的用于本构建模的数据驱动方法。接下来，我们将这些方法应用于基准数据集，并在第4节 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S4)中分析和讨论结果。  

## 2 基准问题  
为了在预测精度和计算效率方面对不同数据驱动材料建模方法进行基准测试，我们在相同条件下将几种广泛使用的方法应用于同一数据集。在介绍各个方法之前，我们首先描述基准数据集及其预处理、训练和测试数据划分、数据驱动模型使用的训练目标，以及用于量化预测性能的评估指标。  

### 2.1 数据集与预处理  
在本文中，我们使用在20°C下的经典Treloar橡胶数据集作为数据驱动本构模型发现的基准(37 (https://arxiv.org/html/2608.14063#bib.bib9))。该数据集包含从三种典型均匀变形模式获得的应力-伸长率测量值：单轴拉伸（UT）、等双轴拉伸（ET）和纯剪切（PS）。实验数据以伸长值λ和相应的名义第一Piola-Kirchhoff应力值P<sub>11</sub>的形式给出。由于本构模型作用于完整的三维变形梯度，每个标量伸长值首先转换为三维变形梯度**F**。假设不可压缩性，变形梯度构造如下：  
F<sup>UT</sup> = diag(λ, λ<sup>-1/2</sup>, λ<sup>-1/2</sup>)，  
F<sup>ET</sup> = diag(λ, λ, λ<sup>-2</sup>)，  
F<sup>PS</sup> = diag(λ, 1, λ<sup>-1</sup>)，  
分别对应单轴拉伸、等双轴拉伸和纯剪切(1)。  
对于每个实验，有一组伸长率-应力数据元组可用，见图2 (https://arxiv.org/html/2608.14063#S1.F2)：  
D<sup>UT</sup> = { (λ<sub>i</sub><sup>UT</sup>, P<sub>11,i</sub><sup>UT</sup>) | i=1,...,N<sub>UT</sub> }，  
D<sup>ET</sup> = { (λ<sub>i</sub><sup>ET</sup>, P<sub>11,i</sub><sup>ET</sup>) | i=1,...,N<sub>ET</sub> }，  
D<sup>PS</sup> = { (λ<sub>i</sub><sup>PS</sup>, P<sub>11,i</sub><sup>PS</sup>) | i=1,...,N<sub>PS</sub> }(2)。  
训练时，单轴和等双轴数据集被连接成一个校准数据集，而纯剪切数据用于测试：  
D<sub>train</sub> = D<sup>UT</sup> ∪ D<sup>ET</sup>，  
D<sub>test</sub> = D<sup>PS</sub>(3)。  
纯剪切数据在训练期间不使用，保留作为独立验证案例。这允许我们评估发现的本构模型是否能泛化到不属于校准数据的变形模式。为优化过程中的数值稳定性，名义应力目标按训练集中的最大绝对应力值P̂<sub>11,i</sub> = P<sub>11,i</sub> / max<sub>j=1,...,N<sub>train</sub></sub> |P<sub>11,j</sub>|进行归一化(4)。数据驱动模型使用归一化应力值进行训练。在评估期间，使用相应的归一化因子将预测的应力转换回物理单位。未应用任何平滑、滤波或数据增强，以便比较直接基于原始实验测量值进行。  

### 2.2 训练目标  
本文中考虑的所有数据驱动方法都旨在识别本构模型的参数表示。在超弹性背景下，这对应于学习一个由模型参数**θ**参数化的应变能密度函数W<sub>**θ**</sub>。参数通过监督学习方式学习，最小化模型预测与实验测量的名义应力之间的差异。对于训练数据集中的每个变形梯度**F**<sub>i</sub>，模型根据学习到的应变能密度预测第一Piola-Kirchhoff应力：  
**P**<sub>**θ**</sub>(**F**<sub>i</sub>) = ∂W<sub>**θ**</sub>(**F**<sub>i</sub>) / ∂**F**<sub>i</sub>(5)。  
对于不可压缩材料，应力通过一个类似压力的拉格朗日乘子进行修正，以满足横向应力条件。在当前实现中，该压力修正根据条件P<sub>33</sub>=0选择，该条件从预测的第一Piola-Kirchhoff应力中移除了静水压力贡献。因此，损失是在物理上可接受的不可压缩应力响应上评估的，而不是在无约束的能量梯度上。由于实验数据提供了加载方向上的名义应力分量，损失基于归一化的P<sub>11</sub>分量制定。  
训练目标是均方误差：  
ℒ<sub>data</sub>(**θ**) = (1/N<sub>train</sub>) Σ<sub>i=1</sub><sup>N<sub>train</sub></sup> ( P̂<sub>11,**θ**</sub>(**F**<sub>i</sub>) - P̂<sub>11,i</sub> )<sup>2</sup>(6)，  
其中P̂<sub>11,i</sub>表示归一化的实验应力，P̂<sub>11,**θ**</sub>表示用相同因子归一化的相应模型预测。  
总优化问题为：  
**θ**<sup>*</sup> = arg min<sub>**θ**</sub> ℒ<sub>data</sub>(**θ**)(7)，  
可能辅以架构依赖的约束或正则化项，以强制执行本构结构、正性、凸性或稀疏性。  
最后，我们注意到，并非本文中考虑的所有数据驱动方法都表述为上述形式的连续优化问题。特别是，基于数据库的材料指纹识别方法则依赖于在预先建立的材料数据库上操作的模式识别算法。  

### 2.3 评估指标  
本文中，我们基于几个评估标准比较不同的数据驱动方法。这些包括从给定数据中识别或发现它们所需的计算时间、已识别模型的拟合优度，以及所得模型的可解释性或简洁性。我们引入不同的指标来量化拟合优度。对于一个具有|D|个数据点的给定数据集D，我们考虑均方误差（MSE）：  
MSE<sub>D</sub> = (1/|D|) Σ<sub>i=1</sub><sup>|D|</sup> (P<sub>11,**θ**</sub>(λ<sub>i</sub>) - P<sub>11,i</sub>)<sup>2</sup>(8)，  
均方根误差（RMSE）：  
RMSE<sub>D</sub> = √[ (1/|D|) Σ<sub>i=1</sub><sup>|D|</sup> (P<sub>11,**θ**</sub>(λ<sub>i</sub>) - P<sub>11,i</sub>)<sup>2</sup> ](9)，  
范围归一化均方根误差（N