符号回归中的深度分解与归约

# 符号回归中的深度分治与归约（Deep Divide-and-Reduce in Symbolic Regression）  
来源：https://arxiv.org/html/2608.02628  
Yusong Deng, Yanjie Li, Weijun Li\*  
中国科学院大学 跨学科高等研究院  
北京，101408  
dengyusong22@mails\.ucas\.ac\.cn  

###### 摘要  
符号回归（\(SR\)）是从数据中发现潜在模式并用数学表达式表示这些模式的任务。当前的机器学习方法往往缺乏对控制这些表达式的内在数学与物理原理的深刻理解。虽然开创性的 AI Feynman 方法利用了数据背后的数学性质，但其表达式简化机制适用范围狭窄，且在面对复杂方程时容易失效。此外，其底层机制严重依赖对子表达式的暴力搜索，极大限制了其实用性。通过严格的数学推导与证明，我们提出了符号回归中的深度分治与归约方法（Deep Divide and Reduce in Symbolic Regression, \(DDRSR\)）。\(DDRSR\) 从根本上拓宽了表达式分解与归约的适用性，避免了对子结构进行暴力搜索的需求，并兼顾了更广泛的通用性与严格的理论正确性。实证评估表明，这些理论原理在表达式分解和数值回归任务中均带来了显著优势。最后，我们讨论了该范式的适用场景、固有局限性以及未来研究的有前景方向。

## 1 引言  
符号回归（\(SR\)）是机器学习与自然科学交叉领域的一项基础性挑战，旨在从观测数据中自动发现可解释的数学表达式，以精确刻画系统的内在动态。与传统深度学习回归方法不同，\(SR\) 在追求高预测精度的同时强调模型可解释性。由于其能够揭示物理定律的精确解析形式，\(SR\) 在“AI for Science”范式中获得了前所未有的关注，尤其是在涉及底层数学与物理原理的情境中。当代符号回归方法论大致分为两大主流范式：基于搜索的方法与基于预训练的方法。搜索型方法——从经典遗传编程（\(GP\)）到最近的强化学习框架如 Deep Symbolic Regression [Petersen et al. (2019)](https://arxiv.org/html/2608.02628#bib.bib2)，以及众多后续变体 [Sun et al. (2022)](https://arxiv.org/html/2608.02628#bib.bib1)、[Mundhenk et al. (2021)](https://arxiv.org/html/2608.02628#bib.bib3)、[Li et al. (2024)](https://arxiv.org/html/2608.02628#bib.bib4)、[Liu et al. (2025)](https://arxiv.org/html/2608.02628#bib.bib33)、[