平方反比定律

# 平方反比定律 来源：https://blog.coredump.cx/p/inverse-square-law 如果你接触过电子学，或许听说过所谓的*平方反比定律*。该定律指出，许多物理现象的强度会随着与源头距离的平方而衰减。例如，当你与灯泡的距离加倍时，手持照度计测得的亮度会降至四分之一。声音、无线电传输等也遵循同样的规律。 但……为什么呢？强度与距离成直接比例衰减不是更自然吗？或者如果涉及三维空间的散射，难道不应该是距离的*立方*反比吗？让我们试着探究清楚。 若想获得不拖延问题的解答，我们需要从球体表面积的公式开始。学校里你可能记得这个方程： \\\(S\_{球体} = 4 \\pi r^2\\\) 不过，我敢打赌老师们从未解释过这个公式的由来。正如许多初等数学中其他“显然”的概念一样，答案并不像表面看起来那样简单——尽管自古希腊时代就已为人所知。 首先，想象用一张矩形纸的边缘粘合，制成一个薄圆筒（无盖圆柱）： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!oN5x!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Fae116560-5f29-4678-b58d-aa57e7d0bc90_1600x900.png)*制作纸筒* 制作圆筒时，我们无需挤压或拉伸矩形，因此该过程保持了表面积不变。这个无盖圆筒的外表面仅是高度 \(*h*\) 乘以原宽度 \(*w*\)（现已成为周长）。 接下来，取一个半径为 \(*r*\) 的球体，将其放入一个同样周长、同样高度的适配圆柱中： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!gkTG!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F019637a3-1707-4853-ab95-0352f3efa37d_1600x900.png)*球体装配* 球的半径为 \(*r*\)，因此其周长（亦即圆柱的周长）为 2π\(*r*\)。这只是 π 常规定义的体现。 圆柱高度等于球体直径，即两倍半径。我们知道圆柱外表面面积就是周长乘以高，因此可以写出 \(*Stube*\)= 4π\(*r*\)2。看——这与学校所给的内切球公式完全相同。但……这是为什么呢？ 为了深究，想象在圆柱外表面铺设边长为 \(*a*\)×\(*a*\) 的平铺正方形： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!jGDm!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Fc72ecb2c-81d7-415a-bd5b-a4e487bd76df_1600x900.png)*球体的牢笼* 这给出了圆柱的近似；通过缩小瓷砖尺寸，我们可以任意降低近似误差。在此优化过程的极限中，当 \(*a*\) 趋近于无穷小（无限小），我们将收敛于目标形状的确切尺寸与曲率。 这种基于瓷砖的类圆柱体中，每个正方形的四个角可投影至球的垂直对称轴，使得水平坐标向中心汇聚，而垂直分量保持不变。这种投影是一个楔形，以一定角度与球面相交： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!mnnc!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F10b1a47b-0f57-4110-bb7d-31a2e4407917_1600x900.png)*楔形* 如果对构成圆柱的每个外侧正方形重复此过程，最终会得到一个整齐镶嵌的球体（下图左）： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!8JEP!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F49ffbc16-5e0e-4bce-9a37-e5c7b09019c7_1600x900.png)*球体镶嵌* 在此渲染中，每个生成的片段都明显弯曲；如果用平面多边形瓷砖替代（右图），形状就会失真。不过，再次强调，通过投影更精细的圆柱侧面正方形图案，我们可以任意提高这种镶嵌的精度。在极限情况下，平面近似将收敛于完美的球体。 [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!sVx5!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F2abbb732-f03f-4866-acc6-d24bf44e26f9_1600x900.png)*球体的精细镶嵌* 回顾我们迄今所做的：我们取了一个已知且易于计算外表面面积的圆柱：\(*Stube*\)= 4π\(*r*\)2。然后用若干边长为 \(*a*\) 的正方形瓷砖近似它；瓷砖数量理想情况下“趋向于”无穷大，尽管本文配图中我们仍有很长的路要走。每个瓷砖的面积为 \(*a*\)2。 我们还将圆柱侧的每个瓷砖映射到内切球（半径 \(*r*\)）表面上构建的多边形瓷砖。每个圆柱侧正方形对应球侧某类多边形；没有空隙或重叠。接下来的任务是弄清这些新生成多边形的表面积。 乍看之下，多边形像矩形，但实际上是等腰梯形；赤道以北的上边缘更窄，以南则相反。不过，通过简单的几何重排，我们可以证明任何梯形的表面积等于同中位线宽度矩形的表面积： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!vR0t!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F7cb378fd-06ea-4f0c-9802-b317374e1080_2000x900.jpeg)*等腰梯形的表面积为 w × h* 换言之，我们只需找出中位线 \(*w*\) 和 \(*h*\)。从水平维度开始：从上方看，切割球体的楔形是三角形。其在圆柱表面（始终距中心轴 \(*r*\)）的初始跨度为 \(*a*\)，随后向轴心收敛至零： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!jukl!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Fee625e3c-aefe-406b-9a33-3fd683882dcc_2000x900.jpeg)*楔形及其交线，俯视图* 设 \(*d*\) 为中心轴到球侧多边形中点的距离，则交线处的宽度可通过 \(*a*\) 按 \(*d*\) 相对于 \(*r*\) 的比例缩放简单计算： \\\(w = a \\cdot \\frac{d}{r}\\\) 我们不知道 \(*d*\)，但实际上不需要；该项后续会抵消。 为计算球侧梯形的面积，还需知道其高度。这更棘手：侧视图中楔形是矩形，但球上的多边形可能随纬度倾斜： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!1KiD!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Fae2afac5-ce21-4389-956d-35ede2bd1f47_1900x1200.jpeg)*楔形，侧视图* 图中我标出了对应多边形中心仰角的角 \(*\alpha\)*。根据基本三角学，水平蓝线段 \(*d*\) 与绿色对角线相交处应为相同角度，因此我也标出了该位置。 连同 \(*y*\) 轴，标为 \(*d*\) 和 \(*r*\) 的线段构成插图中倒置的三角形。该直角三角形斜边长为 \(*r*\)，邻边长为 \(*d\)*；根据余弦定义，该比值等于 cos\(*\alpha\)*： \\(cos(\\alpha) = \\frac{\\text{邻边}}{\\text{斜边}} = \\frac{d}{r}\\) 接着放大楔形远端： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!IHiQ!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F90f45b73-5633-437e-abaf-c5e4d76ba6d1_1900x800.jpeg)*楔形特写，第一部分* 绿色对角线源自球心，必然以 90° 角接近表面。根据前述，我们知道此线段与蓝色水平线之间的内角为 \(*\alpha\)*；这些角度之和——从蓝色水平线向下测量至橙色投影线——显然为 90° \+ \(*\alpha\)*。 标记该结果，移除半径线，然后从顶部垂下一条垂直线段（浅绿色）： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!a6kN!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F699e813d-5d86-43da-aa6d-48ee11f4e67c_1900x800.jpeg)*楔形特写，第二部分* 此图中我还标出了未知角 \(*\beta\)*。水平线与倾斜投影线之间的夹角为 90° \+ \(*\alpha\)*，而 \(*\beta\)* 正是其减去 90° 的结果；换言之，\(*\beta = \alpha\)*。 现在观察阴影直角三角形。从顶角看，其斜边（橙色对角线）等于倾斜投影的高度 \(*h\)*，邻边（绿色垂直线）等于楔形高度 \(*a\)*。这些线段间的夹角为 \(*\alpha\)*，因此再次根据余弦定义可写出： \\(cos(\\beta) = cos(\\alpha) = \\frac{\\text{邻边}}{\\text{斜边}} = \\frac{a}{h}\\) 根据先前分析，我们还知道 cos\(*\alpha\)* = d / r；这使我们能进行代入以消除余弦并求解 \(*h\)*： \\(\\begin{array}{r l} \\text{代入后：} & \\large \\frac{a}{h} = \\frac{d}{r} \\\\ \\text{两边除以 } a \\text{：} & \\large \\frac{1}{h} = \\frac{d}{a \\cdot r} \\\\ \\text{分数翻转：} & h = a \\cdot \\frac{r}{d} \\end{array}\\) 我们先前已算出梯形宽度 \(*w = a \\cdot d/r*\)，现在又知 \(*h = a \\cdot r/d\)*。但我们真正关心的是其表面积 \(*h \\times w\)*。此乘法抵消了 \(*d\)* 和 \(*r\)*： \\(S\_{梯形} = w \\cdot h = a \\cdot \\cancel{\\frac{d}{r}} \\cdot a \\cdot \\cancel{\\frac{r}{d}} = a^2\\) 理解此结果的意义：我们将表面积为 4π\(*r*\)2 的圆柱外表面划分为若干 \(*a \\times a\)* 正方形。然后将每个正方形映射到球表面对应的多边形。结果每个投影多边形的表面积与原正方形相同：\(*a\)*2。既然片段数量和表面积都保持不变，我们必然得出结论：基于正方形的圆柱近似与基于梯形的球体近似之间的映射是保面积的。因此，这就是我们的 4π\(*r*\)2。 嗯……这是谁？我在哪？啊，对。抱歉。 想象萨莉抱着一盒弹珠，不小心洒落一地。弹珠向四面八方散开；有些滚向一个恰好放置的无底洞。有多少会掉进去？ 嗯，如果萨莉的地板恰好是一维的——我们不予置评——到洞口的距离无关紧要。一半弹珠向左滚，一半向右滚；无论怎样，50% 会落入洞中： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!CXau!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F73646682-8848-45e7-bbe2-9f842ccf5085_1600x900.png)*是的，这只是一维空间，但租金便宜* 换言之，无底洞居民测得的“弹珠强度”不取决于到源头的距离。如果非要较真，我们可以说落入洞中的弹珠数量随距离的零次幂衰减。这是因为对任何非零 \(*d\)*，\(*d*\)0= 1。 现在假设萨莉挥霍升级为二维地板。这种情况下，如果弹珠完美洒落，它们应呈圆形波前散开： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!lifl!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F1d43b5df-dee3-45f2-80c5-5cee04ce4591_1600x900.png)*与无底洞保持至少八英尺距离* 该圆的周长随距离成比例增长——2π\(*r*\)——但地面上的弹珠数量不变。因此如果距离加倍，无底洞只能吞食之前一半数量： [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!L1u3!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F0d307c81-23f5-41af-a80e-a8155b0b3e11_1600x900.png)*无底洞今晚将无盛宴* 所以在二维世界中，无底洞居民目睹的弹珠强度衰减与到源头的距离成一次方反比。 但如果萨莉在零重力下激动得弹珠乱洒呢？此时移动的弹珠波前不是圆，而是三维球体的表面。如前所述，弹珠数量不能改变，但它们铺展的面积现在随距离的*平方*增长，即 4π\(*r*\)2。因此产生平方反比定律。 [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!ssa3!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2Feaea29f4-9287-4848-953f-946bbaa869e6_1600x900.png)*弹珠已散。模型来源：ingate (https://www.cgtrader.com/free-3d-models/character/fantasy-character/cutie-woman-cutieguys-collection)* 我们得到一维 \(*d*\)0，二维 \(*d*\)1，三维 \(*d*\)2。想猜猜四维会发生什么？ [](https://substackcdn.com/image/fetch/$s_!j6xj!,f_auto,q_auto:good,fl_progressive:steep/https%3A%2F%2Fsubstack-post-media.s3.amazonaws.com%2Fpublic%2Fimages%2F75c8564d-c3f6-4e16-a9a3-0f8bee33d05f_256x70.png) *我撰写关于电子、数学、计算等的原创文章。特别是，你可能喜欢：* 用你的耳朵看世界 (https://blog.coredump.cx/p/see-it-with-your-lying-ears) 了解你的悖论 (https://blog.coredump.cx/p/know-your-paradoxes) 哥德尔的海狸，或知识的边界 (https://blog.coredump.cx/p/monkeys-typewriters-and-busy-beavers) 纯逻辑，无獠牙 (https://blog.coredump.cx/p/all-logic-no-bite) *如果喜欢，请订阅。* #### 关于此文的讨论 ### 准备好了吗？