用于数字分割和数独的2048自旋体声波伊辛机

# 用于数字分区和数独的2048自旋体声波伊辛机
来源: https://arxiv.org/html/2607.02112
[1]Venkatesh Vadde [1,2]Artem Litvinenko [1,3,4]Johan Åkerman

1] 哥德堡大学物理系，瑞典哥德堡 2] 奥克兰大学物理系，美国密歇根州罗切斯特 3] 东北大学自旋电子学科学与创新中心，日本仙台 4] 东北大学电气通信研究所，日本仙台

###### 摘要

基于时分复用的光学相干伊辛机在连接性和自旋可扩展性方面取得了显著进展。然而，它们受到物理尺寸大、功耗高、热稳定性差和成本高的限制。在此，我们提出了一种利用固态延迟线中传播波包的时分复用伊辛机，工作于微波频率，实现了热稳定、鲁棒、低功耗、桌面式且价格实惠的设计。我们使用两个串联的20.5 MHz、707 μs体声波延迟线，支持2,048个自旋。我们的设计提供全连接性，具有15位耦合分辨率，并在341 ms内找到近似MAX-CUT解，通过使用更高频率的延迟线，可扩展至亚毫秒。此外，我们展示了数字分区和数独问题的求解。与最先进的相干伊辛机相比，我们的机器热稳定性高出四个数量级。与模拟分岔算法相比，我们的设计在MAX-CUT问题上取得了可比较的结果，同时在更复杂的数字分区和数独问题上表现更优。

## 1 引言

摩尔定律在现代计算机性能提升方面的放缓似乎已达到平台期，促使人们探索超越传统硅基技术的基于物理学的非传统计算架构。这一转变对于解决非确定性多项式时间困难（NP-hard）和NP完全问题尤为重要，这些问题代表高度复杂的挑战类别，尤其是在组合优化领域，其求解时间随问题规模呈指数增长，给经典计算方法带来了巨大困难。这些优化问题[barahona1982computational,du1998handbook]在金融[ibarra1975fast]、电路设计[barahona1988application]、药物发现[earl2005parallel]、运筹[vcerny1985thermodynamical]和调度[burke2004state]等多个领域发挥着关键作用。已知组合优化问题可以使用多项式资源映射到伊辛模型的基态搜索问题[barahona1982computational]。

伊辛哈密顿量定义为：

H=−∑i<jJijsisj−∑ihisi (1)

其中 si=±1 对应第 i 个伊辛自旋，Jij 是自旋 si 和 sj 之间的耦合项，hi 是局部偏置场。伊辛机旨在找到使该哈密顿量最小化的配置。

为应对NP-hard问题的计算需求，出现了利用系统物理行为进行高效计算的新方法，例如模拟伊辛机。各种伊辛机已通过多种物理平台开发出来，包括超导量子比特[johnson2011quantum]、单电子器件[nishiguchi2007single]、纳米机械系统[mahboob2016electromechanical]、随机纳米磁体[sutton2017intrinsic]、CMOS电路[whitehead2023cmos]、自旋波[litvinenko2023spinwave,gonzalez2024global,gonzalez2024spintronic]、超顺磁隧道结[si2024energy]、延迟线振荡器[ovcharov2024numerical]和光子伊辛机[yamamoto2017coherent,honjo2021100]。市场上也有几种解决组合问题的商业产品，包括使用超导技术的D-Wave系统、NTT研究的光学相干伊辛机、富士通数字退火机和日立CMOS退火机。然而，这些设备各有局限，例如需要低温、高功耗以及局限于实验室环境。

使用时分复用的模拟伊辛机已取得显著进展，从光学相干伊辛机（CIM）[takesue2025finding,honjo2021100,inagaki2016coherent]的演示开始，这种架构通过实现自旋间的全连接克服了连接性限制。CIM已成功从少至4个自旋扩展到超过100,000个自旋。然而，尽管取得了这些成就，它们仍因物理尺寸大、功耗高、温度稳定性差和成本高而局限于实验室环境。其中一些挑战已由自旋波伊辛机（SWIM）[litvinenko2023spinwave]和基于表面声波的伊辛机（SAWIM）[litvinenko202550]部分解决，这些机器中自旋由以公里每秒速度传播的自旋波或声波脉冲表示。然而，这些方法迄今仅展示了有限数量自旋的系统——SWIM中8个，SAWIM中50个——且耦合项分辨率限制为1位。

在这项工作中，我们介绍了一种基于体声波延迟线的时分复用伊辛机，能够容纳2,048个自旋。基于体声波的伊辛机（BAWIM）通过利用固态延迟线中的传播波包，提供了一种构建热稳定、时分复用计算系统的有前景的方法。与最先进的CIM相比，BAWIM更稳定可靠，同时无需复杂的频率稳定系统，因为其热稳定性高出约四个数量级。我们使用BiqMac库中的任意图评估了伊辛机，并证明与最先进的算法方法相比，它取得了有竞争力的能量结果，同时能够有效松弛到低能态。此外，我们报告了更复杂的现实问题（如数字分区和数独谜题）的结果。我们展示了BAWIM成功求解数独谜题，并为数字分区问题提供了良好的近似解。此外，我们将其性能与模拟分岔算法进行了比较，证明BAWIM表现更优。

参见图注 图1：基于体声波的伊辛机（BAWIM）。BAWIM架构采用两个菊花链连接的石英BAW延迟线，用于时分复用射频脉冲循环。PSA是参量相敏放大器，LA模块是微波线性放大器。PSA强制执行二进制相位，而测量反馈路径读取脉冲相位并注入由FPGA计算的耦合。输入和输出薄膜换能器（TFT）用于激发和接收传播的体声波。插图显示了延迟线的照片。

## 2 结果与讨论

### 2.1 体声波

体声波（BAW）是指在整个材料体积内传播的机械振荡，使其成为电子系统中射频滤波、传感和延迟线等应用中信号传输的高效载体[hashimoto2009rf,liu2020materials]。与局限于衬底表面且因此更容易受到环境污染、温度变化和可能损害信号完整性的制造缺陷影响的表面声波（SAW）[mandal2022surface,tang2024review]相比，BAW具有多项优势，包括由于体能量分布而具有更高的功率处理能力，能够实现通常超过10 GHz的高频操作，同时降低插入损耗并提高Q因子以实现优越的频率选择性[liu2020materials]。此外，BAW器件表现出对表面异常的更强鲁棒性，通过温度补偿设计等机制提供更好的热稳定性，并通过薄膜集成实现更大的微型化潜力[terzieva2016overview]，从而在紧凑、高要求的场景（如5G移动通信[aigner2018baw]）中实现可靠性能，在这些场景中，在密集频谱环境中保持信号保真度至关重要。

参见图注 图2：BAWIM的实验演示。(a) 求解的MAX-CUT实例图，边缘密度为10%，包含209,610条边，每条边权重在0到2^15之间；为清晰起见，仅显示2,096条边（1%）。(b) 求解过程中前200个自旋的时间轨迹。在第40次循环后，当耦合开启时，自旋翻转以绿色高亮显示。(c) 所有运行中伊辛能量的时间演化，较暗的蓝色曲线显示平均解。在前40次循环中，MFB关闭，让自旋稳定到随机状态。在第40次循环时，MFB开启，开始求解过程。虚线表示目标伊辛能量，设置为模拟分岔获得的最佳伊辛能量的90%。(d) MAX-CUT问题的解概率，显示求解过程开始前的伊辛能量和完成后的最终伊辛能量。虚线显示目标伊辛能量，即模拟分岔最佳结果的90%。

### 2.2 体声波伊辛机的设计

图1（https://arxiv.org/html/2607.02112#S1.F1）显示了BAWIM的示意图，其灵感来自CIM[honjo2021100,inagaki2016coherent]、SWIM[litvinenko2023spinwave]和SAWIM[litvinenko202550]中的时分复用方法。设计的核心是一个基于石英的体声波707 μs延迟线，3-dB带宽为8 MHz，中心频率为20.5 MHz，色散延迟τp,disp仅为50 ns，可忽略不计。由于相敏放大依赖共振机制，每个脉冲至少需要5–10个周期，这设定了脉冲持续时间的下限约为250–500 ns。此约束占主导地位并有效确定了脉冲周期。我们选择了665 ns的脉冲周期，占空比为50%，对应于每个脉冲中20.5 MHz载波信号的6–7个周期。这一选择通过图1（https://arxiv.org/html/2607.02112#S1.F1）中所示的Mini-Circuits ZASWA-2-50DRA+开关强制执行。自旋状态+1和-1通过脉冲的相对相位编码，而双稳态相位则通过使用相敏放大器（PSA）对传播的射频脉冲进行相位二值化来实现。PSA由一个相敏衰减器和一个线性放大器组成，采用Mini-Circuits ZYSWA-2-50DR+器件实现，该器件表现为0/1时间门控，因此当门控窗口与信号峰值（φ=0°,180°）对齐时，输出信号分量最大，而当它们靠近零交叉点（φ=±90°）时则被强烈抑制。除上述组件外，BAWIM还使用Analog Devices AD835乘法器作为混频器，Analog Devices AD8302作为相位检测器，以及Mini-Circuits Z99SC-62-S+器件作为耦合器。由于单个BAW延迟线在665 ns脉冲宽度下支持多达1062个自旋，我们采用菊花链连接两个延迟线，总延迟为1.41 ms，可容纳总计2124个自旋。其中，2048个脉冲用作伊辛自旋，其余76个脉冲未使用。

BAW延迟线与线性放大器和PSA一起构成了一个多物理场环形振荡器。设计的关键步骤是在该环路内建立稳定的射频脉冲循环。这需要满足巴克豪森稳定性准则：环路增益必须大于1，并且环路总相移必须是2π的整数倍。延迟线引入36 dB衰减，可由线性放大器补偿，而相位累积可通过合理选择参考信号来保证，从而满足巴克豪森准则。PSA进一步将稳定性准则缩小到仅那些相对于泵浦信号（频率为参考信号的两倍）相位为0或π的信号。

为了实现伊辛机，我们开发了一个类似于CIM[honjo2021100,inagaki2016coherent]的测量反馈模块（MFB）。在此，循环自旋脉冲的一部分通过1:10耦合器分出来，其相对于参考信号的相位由AD8302相位检测器测量。所得信号由8位AD9280 ADC数字化，并由AMD Zynq ZCU104 FPGA处理。FPGA输出随后通过AD9708 DAC转换回模拟信号，使用AD835芯片与参考信号相乘，并通过耦合器重新注入相应的自旋。

FPGA根据耦合矩阵Jij和自旋sj计算耦合脉冲ci：

ci = ∑_{j=1}^{N} Jij sj  (2)

这里耦合项Jij具有15位分辨率（0到+2^15）。ci控制注入循环射频信号的信号的相位和幅度。耦合信号的幅度可通过DAC的电位计调节，从而提供额外控制，确保注入信号保持在循环射频信号的5-30%范围内，不会压倒它，避免振荡电路混沌化。

### 2.3 伊辛机的性能

我们使用BiqMac库[rudy_gen,helmberg2000spectral]中的图实例上的MAX-CUT问题评估BAWIM的性能。图2（https://arxiv.org/html/2607.02112#S2.F2）(a)显示了一个2048节点图，边缘密度为10%，有209,610条边，每条边权重可从0到2^15。图2(b)展示了前200个自旋的时间演化，观察到BAWIM立即开始搜索更低能量状态，并在达到更好解时逐渐减慢。图2(c)显示了多次运行中伊辛能量的时间演化；不同运行中相似的能量演化证明了我们设计的可靠性，同时它也指示了基于模拟分岔算法的目标伊辛能量（详见下一节）。对于连续运行，我们使用占空比为3%、重复周期为2秒的控制信号开启和关闭环路中的放大，使BAW脉冲完全衰减。MAX-CUT问题的定量结果如图2(d)所示，通过超过100次运行的伊辛能量和MAX-CUT得分的直方图以及目标伊辛能量来说明。BAWIM的性能取决于耦合强度，并且存在依赖于问题实例的最优耦合强度。

对于MAX-CUT问题，切割数由下式给出：

Cuts = -1/2 ∑_{i<j} Jij - 1/2 H, (3)

其中H是式(1)中的哈密顿量（伊辛能量）。

参见图注 图3：与加热弹道模拟分岔算法的比较