通过分布式反馈控制实现无人机运动角度稳定的积分微分方程

# 基于分布式反馈控制的无人机运动角度稳定中的积分微分方程
来源：https://arxiv.org/html/2607.18251 \\nameAlexander Domoshnitsky2, Oleg Kupervasser1,2and Anatoly Polonsky2 ###### 摘要 本文提出使用积分算子形式的分布式反馈控制来实现无人机运动的角度稳定。需要强调的是，该积分算子的记忆可能无界。直观上，较长的观测时间长度为基于控制对象先前状态构建更优控制开辟了新的可能性。控制中的无界记忆需要创建一种不同于标准方法来研究积分微分方程的方法。本文的目标之一就是提出一种通用方法，使我们能够研究在稳定化过程中，反馈控制由积分算子指定且记忆无界时的积分微分方程的稳定性。我们提出的方法允许将积分微分方程的研究简化为常微分方程组的分析。一般来说，这样的系统可以由无限多个方程组成。对于角度稳定问题中所谓的线性近似，我们可以将积分控制限制在相对简单的指数核上，从而得到一个有限个方程的系统。例子表明，更复杂的核，例如指数核的线性组合，可以增强稳定能力。我们获得了关于积分微分方程指数稳定性的新的、意想不到的结果。然后我们将这些结果应用于无人机飞行的稳定。AMS分类 45M10, 34K20, 45D05 ###### 关键词：指数稳定性；积分控制；角度稳定；无人机运动；自动控制；分布式反馈控制 ## 1 引言 积分微分方程被用作广泛的技术、生物和过程数学模型的工具。演化积分方程及其应用是书籍[50 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib50)]的主题。具有有限波速的热传导理论在[37 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib37)]中提出。带记忆的相场方程在[45 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib45),53 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib53)]中研究。使用积分微分方程作为模型研究聚合物的粘弹性性质在[31 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib31)]中进行。粘弹性中的数学问题，涉及积分微分方程，已在[30 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib30),52 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib52)]中表述和研究。线性粘弹性中的边值问题在[35 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib35)]中考虑。粘弹性中积分微分方程的稳定性在[23 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib23)]中研究。积分微分方程在流行病模型中的重要应用可见[4 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib4),15 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib15),27 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib27),22 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib22),29 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib29),51 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib51),58 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib58),59 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib59)]。各种应用是发展这些方程理论的主要原因之一。这里需要强调，积分微分方程对于理论分析，尤其是数值求解方法来说是一个复杂对象，因为积分项会累积计算误差。记忆长度越大，这些误差就越大。将积分微分方程的分析简化为某些平均常微分方程的分析，然后可以用已知的数值方法近似求解，这种想法早已存在。求解积分微分方程的平均化方法在书籍[32 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib32)]中提出。在转向考虑平均方程时，误差估计的困难，以及很多情况下不可能估计误差，给研究人员带来了严重问题。这一困难导致了新的稳定性方法和积分微分方程解估计的创建。注意一些关于积分微分方程理论的书籍[13 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib13),17 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib17),16 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib16),36 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib36)]。它们以带Volterra算子的方程形式进行的推广在[6 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib6),7 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib7)]中提出。积分微分方程的稳定性在[11 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib11),24 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib24),25 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib25),26 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib26),28 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib28)]中研究。Floquet理论在积分微分方程中的版本在[3 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib3),8 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib8),9 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib9)]中构建。我们试图提出一种研究积分微分方程的相应方法。在自然假设下，积分微分方程可以简化为常微分方程组。在一般情况下，这些系统可以由无限多个微分方程组成。在现代实际应用中，核足够简单；例如，有限个指数核的线性组合，我们得到有限维系统。然后可以使用现有的分析方法和数值求解方法。我们的主要动机在于无人机运动的角度稳定任务。无人机飞行控制任务最近已成为工业和军事航空技术数学建模的关键。飞机及类似形状飞行器飞行的空气动力学方面已经发展了相当长的时间，并包含在基础教科书中（例如，参见1961年的书籍[12 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib12)]）。随着技术的发展，无人驾驶飞行器（UAV）近几十年来已成为全球非常重要的研究领域（例如，参见论文[55 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib55),60 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib60),61 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib61),2 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib2)]中的最新进展，其中考虑了四旋翼模型并给出了许多重要参考文献。固定翼无人机也得到了发展[56 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib56)]）。将此类无人机运动建模为时滞微分方程组在论文[5 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib5)]中描述。注意我们在该领域中的项目，研究无人机飞行（这些项目由中国私营公司杭州艾维思电子有限公司的资助[19 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib19)]以及以色列创新局、以色列国经济和贸易部的NOFAR[21 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib21)]和KAMIN[20 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib20)]资助完成）。将此类无人机运动建模为时滞微分方程组可在论文[5 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib5)]中找到。在本文中，我们使用积分项形式的分布式反馈控制来稳定无人机飞行。我们将重点关注无人机在垂直平面内运动的角度稳定问题。直观上，可以通过积分项形式的反馈控制描述的长时间观察，使得研究人员能够构建比仅使用单一先前状态更好的控制。这为稳定开辟了新的可能性。基于我们研究积分微分方程稳定性的方法，我们在此方向上获得了一些意想不到的结果。为什么积分项形式的控制看起来自然？这个问题的答案非常简单。首先，噪声可能影响测量。工程师为了抑制噪声，倾向于使用多次测量的平均值。这是积分平均值的方法，在互联网上广泛存在（参见积分控制）。但在构建无人机飞行控制时，工程师使用位于不同地点的不同设备的测量结果。它们之间的距离可能达数公里。来自不同设备的信号延迟以及每个设备测量错误的可能性，导致在积分控制中使用复杂的核。只有少数论文提到与无人机飞行相关的主题（参见[61 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib61)]及其参考文献）。我们论文的主要目标是填补这一空白，并提出通过积分时滞反馈控制实现无人机角度稳定的便捷检验方法。我们研究稳定性的想法是构建一个比原始系统维数更高的辅助系统。原始积分微分方程组的解向量与该构建的常微分方程组的解向量的对应分量一致。尽管维数更高，但这个新系统对于基于现有方法的稳定性分析来说却简单得多。我们解释如何构建这个辅助系统。与已知的需要小记忆长度的积分微分方程稳定性研究方法不同，记忆可以无界的事实不是我们分析的障碍，反而有助于稳定性研究。我们还强调，我们不需要在控制设备的存储器中存储无人机所有先前的状态，因为扩展系统由常微分方程组成，并且它以隐式形式“吸收”了无人机飞行的所有先前状态。在此，强调以下事实对我们很重要。使用所谓采样数据的自动观测器和控制器设计的理论研究在过去20年中已成为一个重要课题（例如，参见其在[33 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib33)]中的描述）。注意，采样数据的想法在书籍[34 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib34)]中使用过。论文[14 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib14)]证明，针对特定类观测器出现时变增益可能是有效的。通常，切换到采样数据是因为控制只使用某些离散点处的解值。也就是说，可能的x\(t\)值范围被缩小到几个离散状态x\(t1\),...,x\(tm\)。当我们在反馈控制中使用积分算子∫0tk\(t,s\)x\(s\)ds时，我们似乎走向相反方向，将x\(s\)的可能值扩展到连续统，控制效果建立在此基础上。看似矛盾的是，尽管如此，我们将积分微分系统简化为常微分方程组的做法实际上“缩小”了数据。在未来的研究中，我们将研究积分反馈控制与采样数据的显式组合。这可能导致全新的稳定性检验方法和通过分布式反馈控制进行稳定的方法。本文结构如下。在第2节中，我们构建了无人机飞行的模型。据我们所知，这是数学文献中首次使用带指数核的积分项形式的反馈控制。在第3节中，我们描述了我们分析积分微分方程的方法。在第4节中，我们获得了依赖于控制参数的稳定区域，用于积分微分方程的研究。在第5节中，我们展示了我们的结果如何在无人机飞行稳定中发挥作用。

## 2 无人机飞行模型的构建
让我们考虑确定无人机在垂直于地面海平面的垂直平面内纵向运动时角度位置的设备描述、角度运动方程的推导、使用前面部分描述的理论对无人机角度位置进行稳定，以及找到确保这种稳定的控制参数。为此，我们使用文献[5 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib5),12 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib12),1 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib1),43 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib43),44 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib44),40 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib40),38 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib38)]。无人机在垂直于地面海平面的垂直平面内纵向运动时的角度位置由两个角度表征：a^\(t ̄\) - 攻角，即无人机纵轴与无人机速度在无人机对称面上投影之间的夹角；θ\(t ̄\) - 俯仰角，即无人机纵轴与水平面之间的夹角，这里t ̄表示时间。让我们看看测量这些角度的仪器。俯仰角θ\(t ̄\)通过对MEMS陀螺仪的读数进行积分来测量，陀螺仪测量旋转角速度。恒速运动时的累积误差通过测量与由重力加速度g确定的垂直重力场的偏差来校正。g相对于无人机的方向和大小使用MEMS加速度计测量[1 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib1),43 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib43),44 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib44)]。攻角a^\(t ̄\)使用指示空速空速计测量[40 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib40),38 (https://arxiv.org/html/2607.18251#bib.bib38)]。这两个设备测量速度非常快，几乎为零时间延迟。无人机的飞行由以下稳态参数表征：α0 - 攻角，即无人机纵轴与无人机速度在无人机对称面上投影之间的夹角；θ0 - 俯仰角，即无人机纵轴与水平面之间的夹角；V0 - 飞行速度（相对于空气）沿轨迹切线方向；H0 - 无人机飞行相对于平均海平面的高度；\(Uy\)0 - 沿y轴的风速。让我们考虑这些稳态参数的扰动：V\(t ̄\)=V0+ΔV\(t ̄\)，α^\(t ̄\)=α0+Δα\(t ̄\)，θ^\(t ̄\)=θ0+Δθ\(t ̄\)，