Operator Learning for Cubic Nonlinear Schr\"odinger Equation on Periodic Domains

Operator Learning for Cubic Nonlinear Schrödinger Equation on Periodic Domains  
Source: https://arxiv.org/html/2606.27459  
Emmanuel E\. Oguadimma, Victory C\. Obieke, and Xueying Yu  

Emmanuel E\. Oguadimma  
Department of Mathematics, Oregon State University  
Kidder Hall 368 Corvallis, OR 97331  
oguadime@oregonstate\.edu (https://arxiv.org/html/2606.27459v1/mailto:[email protected])  

Victory C\. Obieke  
Department of Mathematics, Oregon State University  
Kidder Hall 368 Corvallis, OR 97331  
obiekev@oregonstate\.edu (https://arxiv.org/html/2606.27459v1/mailto:[email protected])  

Xueying Yu  
Department of Mathematics, Oregon State University  
Kidder Hall 368 Corvallis, OR 97331  
xueying\.yu@oregonstate\.edu (https://arxiv.org/html/2606.27459v1/mailto:[email protected])  

###### 摘要\. 本文考虑二维平坦环面上具有变化长宽比的三次非线性薛定谔（NLS）方程。在该公式中，长宽比的选择决定了傅里叶共振结构，因此有理几何与无理几何可能表现出不同的高频级联行为。我们提出了一种针对三次散焦NLS方程的几何条件傅里叶神经算子（FNO），其输入包括解的实部和虚部以及长宽比参数ω2\\omega^\{2\}。该模型被训练来近似单步解算子，并在使用傅里叶伪谱法从随机相位初始数据生成未见轨迹上进行评估。我们的数值实验表明，学习得到的算子能捕捉两个环面上的主要解动力学行为，并再现两种几何的显著Sobolev范数行为：有理环面上H2H^\{2\}增长更强，无理环面上则更受约束，这与hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13)的发现一致。我们进行了消融研究，以考察保留傅里叶模式、激活函数、傅里叶层深度和显式几何条件的作用。结果表明，包含ω2\\omega^\{2\}能提高长时间预测精度，尤其是对于有理几何，这支持使用几何感知神经算子来学习非线性色散偏微分方程中的谱转移现象。  

###### 关键词与短语: 弱湍流，NLS，算子学习  

###### 目录  
1\. 1引言 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S1)  
2\. 2预备知识 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S2)  
3\. 3算子学习 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S3)  
4\. 4数值实验 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S4)  
5\. 5结论 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S5)  
6\. 参考文献 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib)  

## 1\.引言  

非线性薛定谔（NLS）方程是数学物理中一个核心的色散偏微分方程（PDE）。它出现在非线性光学和等离子体物理中，包括Kerr介质中强光束的自聚焦和坍塌（NewellMoloney1992, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib22);SulemSulem1999, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib32)）、深水波的调制（Zakharov1968, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib39)），以及超低温下玻色-爱因斯坦凝聚态的Gross–Pitaevskii描述（bao2007nonlinear, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib1)）。除了作为典型的非线性波动方程，三次NLS还是研究不同几何中傅里叶模式间长时间能量重新分布的基础模型。近年来，这一问题在弱湍流理论的更广泛视角下得到了研究，人们试图理解能量如何从低频迁移到高频（Bourgain1996 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib3);hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13)）。在该公式中，底层域的几何直接塑造共振结构，从而影响级联的效率。最近关于无理环面上三次散焦NLS能量转移的研究（hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13)）从分析上表明，与有理情况相比，无理长宽比显著减弱了能量向高频的转移。该分析证明了一般无理环面上Sobolev范数增长的改进上界，建立了初始频率局部化数据的傅里叶支撑传播障碍，并研究了相关的准共振系统。同样重要的是，数值研究表明，无理环面上的能量级联始终慢于有理环面，并通过准共振集的几何解释了这一差异。这超出了纯分析的具体含义。它对用于波湍流的周期域模拟提出了一个重要警示，因为两个不同域长宽比的模拟可能不代表相同的小尺度级联物理，即使分辨率很高。换句话说，当使用周期盒计算作为大尺度或有效无界域上均匀湍流的替代时，必须解释色散关系与域几何之间的相互作用。  

经典数值方法是求解NLS方程及其变体的标准方法。分步傅里叶、时间分裂谱和伪谱技术可以提供高精度，并且特别适用于色散波传播（weideman1986splitstep, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib33);bao2003timesplitting, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib2)）。然而，针对许多初始条件、参数值或几何的重复模拟可能计算成本高昂，且其精度可能依赖于时间积分方法的结构及其对对称性和不变量的处理（oguadimma2026foundational, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib25)）。这一局限性激发了人们对科学机器学习方法的越来越大的兴趣，这些方法直接从数据中学习解的行为。  

一般来说，深度学习用于PDE的方法可分为两类。一类包括基于实例的求解器，如物理信息神经网络（PINNs）（Raissi2019PINNs, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib28)）及相关方法，包括Deep Ritz方法（Yu2018DeepRitz, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib38)）、Deep Galerkin方法（SirignanoSpiliopoulos2018, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib30)）、弱对抗网络（ZangBaoYeZhou2020, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib40)）以及域分解扩展如cPINNs（JagtapKharazmiKarniadakis2020, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib15)）和XPINNs（JagtapKarniadakis2020, (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib14)），这些方法通常准确但通常在参数等条件变化时需要重新训练。结构保持学习方法也表明，结合几何和物理约束可以提高长时间保真度并减少学习动力系统中的漂移（zhong2020symoden (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib42);obieke2025structure (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib23);jin2020sympnets (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib16);cranmer2020lagrangian (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib5);obieke2026structure (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib24);greydanus2019hamiltonian (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib9);hernandez2021structure (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib11)）。另一类包括算子学习方法，旨在学习无限维函数空间之间的映射，因此可以泛化到PDE实例族（Lu2021DeepONet (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib21);Li2021FNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib20);Kovachki2021FNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib17)）。在这些方法中，傅里叶神经算子（FNO）因其在傅里叶空间中对积分核进行参数化、有效捕捉多尺度结构且非常适合动力学自然由频率相互作用组织的PDE而成为了一个特别有影响力的架构（Li2021FNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib20);Kovachki2021FNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib17)）。其频域公式支持了流体-结构相互作用（xiao2024fourier (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib36)）、多相流（wen2022u (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib34)）以及异质材料建模（You2022IFNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib37)）中的应用。  

现有工作已表明，FNO算法能有效捕捉由薛定谔方程控制的非线性波动力学。特别是，它已被用于研究NLS、Hirota以及PT\\mathcal\{PT\}对称NLS方程中的参数孤子态跃迁，表明单个训练好的网络可以学习跨参数范围的复杂非线性波族（ZhongYanTian2023 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib41)）。它也被扩展到耦合NLS系统，其中多分量、多物理效应以及参数依赖的局域波之间的相互作用使得动力学更加复杂（RenTian2026 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib29)）。  

本文基于两个观察。一方面，无理环面NLS问题在科学上很丰富，因为最近的数学分析揭示了有理和无理几何之间清晰且具有实际意义的差异（hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13);deng2019growth (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib6);planchon2017growth (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib27)）。另一方面，文献中少量工作表明，当基本动力学编码在频域相互作用中并且人们试图学习整个解族时，算子学习架构特别有效（Li2021FNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib20);ZhongYanTian2023 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib41);RenTian2026 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib29)）。在本文中，我们提出了一种用于有理和无理环面上二维三次散焦NLS的几何条件傅里叶神经算子。与之前主要关注显式孤子或怪波解参数族的研究（ZhongYanTian2023 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib41);RenTian2026 (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib29)）不同，我们的重点在于环面长宽比如何改变傅里叶晶格的共振结构，从而改变观察到的能量转移动力学。我们的公式遵循先前FNO工作的时间推进视角（Li2021FNO (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib20)），但将环面的长宽比参数作为额外输入通道，使得单个学习算子能够区分有理和无理几何。该模型学习从当前复值状态到下一状态的单步解算子，长时间预测通过将每个预测反馈回网络来自回归获得。这种设置对于当前问题很自然，因为它允许学习算子传播几何依赖的动力学在长时间区间上。  

我们的数值设置遵循hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13)的科学框架。我们考虑具有紧傅里叶支撑的随机相位初始数据，比较有理环面和无理环面上的动力学，并使用四阶Runge-Kutta时间步进的傅里叶伪谱方法生成参考解。  

论文其余部分组织如下。第2节 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S2)介绍了理论背景，并提出了有理和无理环面上的NLS模型。第3节 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S3)描述了本文考虑的算子学习框架，包括傅里叶神经算子。第4节 (https://arxiv.org/html/2606.27459#S4)介绍了数值实验，包括数据生成、计算设置、训练、评估和消融研究。  

### 致谢  
我们感谢Alexander Hrabski的有益讨论。X\.Y\.部分受NSF DMS\-2306429资助。  

## 2\.预备知识  

在本节中，我们介绍平坦环面上的二维三次非线性薛定谔方程，定义本文考虑的有理和无理几何，并建立通篇使用的符号。我们还简要回顾与数值研究最相关的分析结果。更多细节，包括严谨陈述和证明，请参见hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13);staffilani2020stability (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib31);colliander2010transfer (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib4);giuliani2022sobolev (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib7)。  

### 2\.1\.环面上的傅里叶变换  

在hrabski2021energy (https://arxiv.org/html/2606.27459#bib.bib13)中，作者考虑标度环面  
\(2\.1\)  
Tω ̄2=R/ω1Z×R/ω2Z,ω ̄=\(ω1,ω2\)∈R\+2,\\displaystyle\\mathbb\{T\}^\{2\}\_\{\\underline\{\\omega\}\}=\\mathbb\{R\}/\\omega\_\{1\}\\mathbb\{Z\}\\times\\mathbb\{R\}/\\omega\_\{2\}\\mathbb\{Z\},\\quad\\underline\{\\omega\}=\(\\omega\_\{1\},\\omega\_\{2\}\)\\in\\mathbb\{R\}\_\{\+\}^\{2\},  
其中ω1\\omega\_\{1\}和ω2\\omega\_\{2\}表示两个空间方向上的周期，从而决定几何。若ω12/ω22∈Q\\omega\_\{1\}^\{2\}/\\omega\_\{2\}^\{2\}\\in\\mathbb\{Q\}，则域称为*有理*环面；否则称为*无理*环面；这两种情况对应可公度和不可公度的边长平方。不失一般性，可简化为ω ̄=\(1,ω\)\\underline\{\\omega\}=\(1,\\omega\)，使得  
\(2\.2\)  
Tω ̄2:=R/Z×R/ωZ,\\mathbb\{T\}^\{2\}\_\{\\underline\{\\omega\}\}:=\\mathbb\{R\}/\\mathbb\{Z\}\\times\\mathbb\{R\}/\\omega\\mathbb\{Z\},  
并且若ω2∉Q\\omega^\{2\}\\notin\\mathbb\{Q\}，则Tω ̄2\\mathbb\{T\}^\{2\}\_\{\\underline\{\\omega\}\}为*无理*环面；否则为*有理*环面。  

为了更好地适应我们的模拟，我们采用一个等价的2π2\\pi\-周期公式，其中几何通过各向异性拉普拉斯算子而非通过域引入。我们将问题置于方形环面上  
\(2\.3\)  
T2=R/2πZ×R/2πZ,\\displaystyle\\mathbb\{T\}^\{2\}=\\mathbb\{R\}/2\\pi\\mathbb\{Z\}\\times\\mathbb\{R\}/2\\pi\\mathbb\{Z\},  
并用各向异性算子  
\(2\.4\)  
Δω:=∂x2\+ω2∂y2,\\displaystyle\\Delta\_\{\\omega\}:=\\partial\_\{x\}^\{2\}+\\omega^\{2\}\\partial\_\{y\}^\{2\},  
替代标准拉普拉斯算子，在上下文清楚时将Δ\\Delta简记为Δω\\Delta\_\{\\omega\}。对于每个f∈L2\(T2\)f\\in L^\{2\}\(\\mathbb\{T\}^\{2\}\)，我们写出其傅里叶展开式  
\(2\.5\)  
f\(x,y\)=∑k=\(m,l\)∈Z2f^kei\(mx\+ly\),f\(x,y\)=\\sum\_\{k=\(m,\\ell\)\\in\\mathbb\{Z\}^\{2\}\}\\widehat\{f\}\_\{k\}\\,e^\{i\(mx\+\\ell y\)\},  
傅里叶系数为  
\(2\.6\)  
f^k:=1\(2π\)2∫T2f\(x,y\)e−i\(mx\+ly\)dxdy\.k=\(m,l\)∈Z2\.\\widehat\{f\}\_\{k\}:=\\frac\{1\}\{\(2\\pi\)^\{2\}\}\\int\_\{\\mathbb\{T\}^\{2\}\}f\(x,y\)\\,e^\{\-i\(mx\+\\ell y\)\}\\,dx\\,dy\.\\qquad k=\(m,\\ell\)\\in\\mathbb\{Z\}^\{2\}\.  
Parseval恒等式为  
\(2\.7\)  
‖f‖L2\(T2\)2=\(2π\)2∑k∈Z2\|f^k\|2\.\\\|f\\\|\_\{L^\{2\}\(\\mathbb\{T\}^\{2\}\)\}^\{2\}=\(2\\pi\)^\{2\}\\sum\_\{k\\in\\mathbb\{Z\}^\{2\}\}\|\\widehat\{f\}\_\{k\}\|^\{2\}\.  
在此基下，各向异性拉普拉斯算子对角作用