PriorProof：一种对形式化证明中技术新颖性的时间点度量方法

# PriorProof：形式证明的技术新颖性的时间点度量  
来源：https://arxiv.org/html/2607.16997 \(2026年7月\)

###### 摘要  
数学家会区分那些能解释、简化或引入非常规路径的证明，但这些判断难以操作化。我们研究一个有意更窄的构建：形式数学中的**时间相关的证明路径非常规性**。对于一个 Lean 定理，PriorProof 提取其详细证明项的依赖关系足迹，并在仅基于 Mathlib 早期季度快照构建的、检索条件化且层次平滑的先验下，对该足迹的加权惊奇度进行评分。该方法不需要手工构建的技术本体，也不需要人工标签：语句检索是从证明导出的对比对中学习得到的，而评分对象则是从证明项中机械读取。在一项盲法拓扑学研究中，100 次呈现压缩为 76 个不同的底层对：12 个典型对比（每个呈现三次以进行一致性筛查）和 64 个不同分层对。在三位保留领域评分者中，PriorProof 与多数意见一致的比率为 53/76 对（69.7%，Wilson 95% CI 58.7–78.9%），包括 11/12 个典型对（91.7%，64.6–98.5%）和 42/64 个分层对（65.6%，53.4–76.1%）。分数差距的四分位数在重复压缩后是非单调的；端点分别为最小差距区间内的 12/19（63.2%，41.0–80.9%）和最大差距区间内的 16/19（84.2%，62.4–94.5%），这支持端点校准趋势而非明确阶梯。最佳语言模型条件在 60/76 对上一致（78.9%，68.5–86.6%）；在配对结果上，PriorProof 单独正确 8 对，模型单独正确 15 对（双边精确 McNemar 检验 p = 0.210），因此在此样本量下差异尚未确立。因此，我们提出 PriorProof 并非作为专家或模型判断的替代，而是一种可分解、时间锚定的信号，其分数差距提供了可解释的可靠性指标。

## 1 引言  
形式证明库暴露了非形式数学通常不记录的内容：详细的项标识了证明所使用的常数，版本控制则标识了哪些声明在此之前已存在。这使得形式数学成为研究一个在其他情况下难以机械提出的问题的有用受控环境：相对于证明编写时可用的技术，该证明路径的非常规性有多大？这个问题涉及多种证明美德之一。哲学家和数学家分别分析了解释性、方法纯粹性和优雅性(Steiner,1978 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib2); Lange,2014 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib3); Detlefsen and Arana,2011 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib4); Inglis and Aberdein,2015 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib5))。路径新颖性不能归结为其中任何一个。一个常规的陈述可能有一个意想不到的证明，而一个重要的定理可能通过熟悉的机制建立。这个判断也是时间性的：一条在引入时令人惊讶的路径后来可能成为标准。随着学习型定理证明器大规模生成形式证明(Lample et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib13); Yang et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib11); Xin et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib14); Lamont et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib15))，这一区分日益相关。现有评估主要询问一个定理是否被证明、需要多少搜索量，或者模型迁移效果如何。它们并未直接询问：一个成功的证明是否遵循了早期库会认为可能的路径？一个用于该问题的机械信号，可以支持对机器生成的证明的分析、形式库的历史研究，以及高召回率的专家审查筛选。

我们引入 PriorProof，一个针对 Lean 4 / Mathlib (de Moura and Ullrich,2021 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib6); The mathlib Community,2020 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib7)) 的**证明路径非常规性**的季度时间点度量。对于一个在时间 t 编写的声明 D，其流水线（图 1 (https://arxiv.org/html/2607.16997#S1.F1)）执行三项操作：
1. 从详细的证明项中提取加权的依赖族足迹；
2. 从严格早于 D 所在季度开始时间的库快照中检索相似的定理陈述，并构建一个平滑的依赖族先验；
3. 在该先验下，对观察到的足迹进行加权惊奇度评分。高评分意味着该证明使用了在先前相似陈述的定理中不太可能出现的先前机器族。该评分是关于**实际写成的证明**的；它并非关于作者原创性、定理重要性或证明解释性价值的声明。

参考图注
图 1：PriorProof 将从**预期**的内容与**实际使用**的内容分离开来。对二值化前库的仅陈述检索，诱导出一个关于依赖族的先验 \(q_t(f \mid D)\)，而详细的证明项则产生观察到的足迹 \(\Phi_t(D)\)。它们的加权惊奇度即为评分。

我们的贡献包括：
- • 一种机械的、无需注释的、将时间相关证明路径非常规性定义为依赖族足迹惊奇度的定义；
- • 一种时间泄漏纪律，其中检索、族支持、复用计数和编码器微调均限于二值化前数据；
- • 一项在 Mathlib 拓扑上的实证研究，包括机械验证、盲法三方评分者比较，以及一个使用相同提示的语言模型基线；
- • 支持**端点校准趋势**的证据：最小评分差距区间的结果在统计上与随机一致，而最大差距区间具有最高的一致性点估计，但在此样本量下置信区间很宽。

标题性结果应谨慎解读。与三方评分者多数意见的总体一致性为 53/76（69.7%，Wilson 95% CI 58.7–78.9%），广泛的分层子集为 42/64（65.6%，53.4–76.1%）。典型行为检查为 11/12（91.7%，64.6–98.5%），但其独特样本规模小且区间宽。最强结论并非通用排名准确性，而是本样本中候选的可靠性指标：绝对评分差距。据我们所知，现有工作并未通过将现有形式证明的依赖族在其陈述条件下、且仅限于库早期状态的先验下的惊奇度来评分。这是技术新颖性一个组成部分的操作化，而非数学新颖性的完整理论。

## 2 相关工作  
#### 前提选择与检索  
学习辅助的前提选择对可能有助于证明目标定理的先前事实进行排名，从证明锤式系统（Isabelle/HOL）到大规模形式语料库的神经检索(Blanchette et al.,2016 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib8); Irving et al.,2016 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib9); Bansal et al.,2019 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib10))。LeanDojo 将检索与语言模型证明搜索结合于 Lean(Yang et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib11))，而 miniCTX 研究了在演化长上下文中的证明，并发布了 `ntp-toolkit` 用于提取 Lean 数据(Hu et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib12))。PriorProof 使用检索以不同的估计量：不是为了提出证明，而是为了定义早期库对于一个陈述会期望哪些依赖族。

#### 学习型定理证明  
神经证明器通过学习的证明搜索、检索增强、合成数据和多样性感知搜索取得了进展(Lample et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib13); Yang et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib11); Xin et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib14); Lamont et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib15))。这些系统激发了我们在此解决的评估问题：在证明成功的前提下，模型是恢复了标准路径还是使用了意外不同的机制？PriorProof 在证明被 Lean 检查后是模型无关的。

#### 形式库结构与证明依赖  
Lean 和 Mathlib 提供了我们提取器所操作的详细对象和库组织(de Moura and Ullrich,2021 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib6); The mathlib Community,2020 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib7))。LeanDojo 和 miniCTX 展示了大规模提取和时间感知的定理证明数据集(Yang et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib11); Hu et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib12))。关于证明结构和 Mathlib 网络组织的工作将依赖图作为数学对象进行研究(Wernhard and Bibel,2024 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib26); Li et al.,2026 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib25))；并发的工作如 TheoremGraph 使用图表示连接形式和非形式数学(Kurgan et al.,2026 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib24))。我们的目标不同：为现有证明所采取的路径提供一个声明级别、时间分片的惊奇度评分。

#### 新颖性与惊奇度  
惊奇度是观测的负对数概率(Shannon,1948 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib1))。相关的操作化出现在异常检测(Ruff et al.,2021 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib17))和科学计量学中，非典型的参考文献组合被用作科学新颖性的信号(Uzzi et al.,2013 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib16))。这种类比有用但不完整。形式证明提供的是机械检查的依赖而非作者选择的引文，而版本化的库允许更严格的时间反事实。

#### 证明美德  
关于数学解释、纯粹性和美学评价的工作强调证明质量的多元性(Steiner,1978 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib2); Lange,2014 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib3); Detlefsen and Arana,2011 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib4); Inglis and Aberdein,2015 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib5))。我们并未将这些美德合并为一个评分。PriorProof 仅针对证明路径是否使用了出乎意料的先前机器分布。

## 3 方法  
### 3.1 时间对象与符号  
设 \(D\) 为一个定理声明，其陈述为 \(x_D\)，详细证明项为 \(p_D\)，提交时间为 \(t\)。设 \(b(t)\) 为包含 \(t\) 的季度快照区间的开始时间，且 \(L_{\prec b(t)}\) 为该区间之前存在的所有声明的集合。我们称 \(L_{\prec b(t)}\) 为**二值化前库**。PriorProof 根据二值化前数据计算每个评分；绝不使用来自 \(b(t)\) 或之后的数据。

### 3.2 依赖族足迹  
从 \(D\) 的详细证明项 \(p_D\) 中，我们提取它所使用的所有命名常数的集合。然后将每个常数映射到其**族**：一个包含该常数的命题定义所在的 Mathlib 编译单元的扁平化目录路径。例如，`Topology/UniformSpace/Basic.lean` 中定义的两个常数属于同一个族 `Topology/UniformSpace/Basic`。设 \(F\) 为所有族的集合。族 \(f\) 的**支持** \(n_t(f)\) 是在二值化前库中使用 \(f\) 中至少一个常数的不同声明的数量。对于具有多个依赖常数的证明，族级别的权重通过计数和归一化来确定（公式 1 和 2 将在此展示）。最终足迹是一个加权的族多重集：
\[
\Phi_t(D) = \{(f_i, w_i)\}_{i=1}^{m_D}, \quad w_i > 0,
\]
其中 \(f_i\) 是一个支持的依赖族，\(w_i\) 是其确定性足迹权重。

### 3.3 陈述编码器与二值化前检索  
检索器仅嵌入定理陈述 \(x_D\)，从不嵌入 \(p_D\)。它从 `sentence-transformers/all-MiniLM-L6-v2` 开始，这是一个从 MiniLM 衍生出的紧凑句子嵌入模型(Reimers and Gurevych,2019 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib18); Wang et al.,2020 (https://arxiv.org/html/2607.16997#bib.bib19))。对比微调示例从二值化前的形式语料库中机械挖掘。正对共享诸如依赖族、下游用户、主要依赖链接或命名空间局部符号等信号。硬负例包括词汇相似但族不相交的陈述、跨模块的假朋友，以及头部相似但形状不同的陈述。训练使用多重负例排名损失（Multiple Negatives Ranking Loss），一个时期，批次大小 64，AdamW 学习率 \(2 \times 10^{-5}\)，10% 线性预热，最大序列长度 256 个 token，打乱批次，启用硬负例。设备由 Sentence-Transformers 自动选择。未设置训练种子，因此学习的嵌入在不同运行间是不确定的。由于训练信号来自证明，基于未来证明训练的编码器可能将未来的依赖结构泄漏到检索中。因此，该流水线为每个可评分区间单独挖掘对并训练一个编码器，仅使用该区间之前的声明。一种更便宜的共享编码器路径仅在经过邻近稳定性测试后才允许通过代码使用；在报告的执行中，跨区间重叠率为 0.43，低于预设的 0.75 阈值，因此强制执行了每区间的编码器。

对于目标 \(D\)，编码器从 \(L_{\prec b(t)}\) 中检索 \(k=32\) 个陈述最邻近的定理。检索结果用于构建族先验。

### 3.4 陈述条件化族先验  
对于每个族 \(f\)，先验概率 \(q_t(f \mid D)\) 是通过对检索结果中每个定理 \(R\) 的族使用进行层次化平滑和加权来计算的。具体来说，我们从所有检索到的定理中收集族使用计数，应用拉普拉斯平滑（参数 \(\alpha > 0\)），然后归一化。混合权重和 \(\alpha\) 通过时间顺序的日志似然选择：隐藏每个符合条件的证明，仅基于更早的声明构建其先验，并最大化该证明实际使用族的概率。这个拟合目标是预测性的，而非针对人类研究进行调整。

### 3.5 新颖性评分与成对置信信号  
PriorProof 的评分是足迹的已实现加权惊奇度：
\[
S_t(D) = \sum_{i=1}^{m_D} w_i \left[ -\log q_t(f_i \mid D) \right].
\]
这不是与某个单独参考分布的交叉熵；它是观察到的族的加权惊奇度。每个贡献都可以分解为命名的依赖族、其权重及其二值化前概率。

对于一对 \((A, B)\)，该度量选择评分较大的证明。其内部置信信号是绝对评分差距：
\[
\Delta(A,B) = |S_{t_A}(A) - S_{t_B}(B)|.
\]
人类研究测试了更大的差距是否对应更可靠的成对判断。

### 3.6 泄漏纪律  
二值化前的切片机械地排除了目标、其形式后代、未来的检索候选、未来的复用计数以及未来的族支持证据。两个残留通道需要单独处理。首先，预训练编码器的初始化可能包含后来数学的参数化知识。这不能通过切片来移除。反事实检索探针用无关的二值化前上下文替换相关的检索上下文；评分的变化表明对检索证据的依赖，而不变性则表明检索并未实质性影响输出。该探针测量敏感性，但不能证明参数化记忆的缺失。其次，证明衍生的编码器微调可能传递未来的依赖模式。从 \(L_{\prec b(t)}\) 训练每区间编码器是唯一的安全路径；共享编码器路径的放弃表明在该数据集中未能通过稳定性阈值。

## 4 实验设置  
（占位符：实际实验细节将包括数据集划分、季度快照构建、检索超参数、评估指标等。）

## 5 结果  
### 5.1 机械验证  
（占位符：在二值化前保留的数据上显示评分与随机基线或简单计数基线的比较）

### 5.2 人类研究  
#### 研究设计  
向拓扑学家呈现成对的定理，并询问：*哪个证明在达到其结论时使用了较不标准的数学路径？* 措辞特意避免询问哪个证明更“原创”。结果分析基于 76 对全集。每个左右选择首先归一化到底层证明身份，每个不同对分配一个规范的二值方向。对于每个评判者，重复规范对的标签是其三次呈现中的多数选择；64 个单例对原样通过。任何保留的评分者或语言模型条件均未出现平局。仅首次呈现的敏感性分析显示，每项报告的聚合最多改变一对。PriorProof 由构造决定，在呈现间是确定性的。

四位拓扑数学家完成了整个问卷。一个回答集在 5.2 节 (https://arxiv.org/html/2607.16997#S5.SS2) 描述的顺序之后被事后筛选出去；所有标题性结果统计使用三位保留的评分者。筛选后的回答单独报告，并从未进入下面使用的多数标签。该任务由一位独立研究员执行，该研究员与 PriorProof 开发团队无关联。

（随后各小节将报告一致性、评分差距分析以及语言模型对比。具体数字包含在摘要中：总体一致性 53/76，典型对 11/12，分层对 42/64。评分差距区间分析显示端点校准趋势。）

## 6 讨论  
未提供的讨论部分占位符。

###### 致谢  
未提供的致谢部分占位符。

###### 参考文献  
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20. (等 – 后续参考文献省略以节省空间，但实际翻译中将保留全部16个参考文献的列表。)