大规模MST-Direct：基于Sinkhorn最优传输的多元条件地质统计模拟

# 2603.18036），该文在二元、无条件、小网格设置中引入了 MST-Direct；本文贡献了可扩展的、多变量和条件扩展。
来源：https://arxiv.org/html/2606.07578
## MST-Direct 规模扩展：通过 Sinkhorn 最优传输实现多变量和条件地质统计模拟††感谢：本文是作者先前工作（arXiv:2603.18036）的后续，该文在二元、无条件、小网格设置中引入了 MST-Direct；本文贡献了可扩展的、多变量和条件扩展。

###### 摘要

本文将 MST-Direct（通过 Sinkhorn 传输进行匹配的多变量地质统计模拟方法）从原始公式的二元、无条件、小网格设置扩展到*多变量*、*条件*和*大网格*模式。我们解决了该工作中识别的三个开放限制：(i) 通过具有 O(nC) 内存的稀疏、候选限制 Sinkhorn 匹配器，可扩展到数千节点以上；(ii) 扩展到多个变量，通过将目标值元组匹配到承载指定变差函数的独立 FFT-MA 高斯骨架上；(iii) 硬数据条件化，通过将数据元组固定到其位置，同时通过克里金法对骨架进行条件化。由于传输计划仍然是目标元组的排列，因此多变量联合分布得以*精确*保持。我们在与直接多变量模拟（DMS）相同的 6 变量、异方差、强非线性参考分布上验证了该方法，包括无条件（200×200）和条件（100×100，200 个硬数据）设置，并与投影寻踪多变量变换（PPMT）进行了基准比较。MST-Direct 以零直方图误差重现了联合分布，精确地符合硬数据，并重现了指定的空间相关性，而 PPMT 仍然是一个近似值。

## I. 引言

地质统计模拟生成地质模型的多重实现，这些模型重现数据的空间特征并支持不确定性量化[5 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib14), 2 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib13)]。许多地质关系是强非线性和异方差的，无法用经典多变量方法依赖的线性相关系数来描述。逐步条件变换（SCT）[7 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib5)]、投影寻踪多变量变换（PPMT）[1 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib4)]和直接多变量模拟（DMS）[4 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib1)]通过将变量变换到高斯空间并返回来解决这一问题；该变换仅在渐近情况下精确，且误差随变量数量增加而增长。

在先前的工作中，我们引入了 *MST-Direct*（通过 Sinkhorn 传输进行匹配）[10 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib2)]，该方法将模拟视为一个熵正则化最优传输（OT）问题[12 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib23), 8 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib22), 3 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib21)]：目标值元组通过 Sinkhorn 算法[11 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib20)]（增加了关系 k 近邻项）被*匹配*到空间模板上，所得排列在精确保持联合分布的同时重现了空间结构。该公式在五个复杂的*二元*关系上实现了 100% 的形状保持，但仅在与高斯-连接函数和 LU 分解基线的对比中在 25×25 网格上进行了展示，并明确留下了三个开放问题[10 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib2)]：扩展到超过约 10,000 个节点、扩展到两个以上变量，以及带有硬数据的条件模拟。

本文解决了这三个限制，并在 DMS 验证问题上对该方法进行了基准测试。我们的贡献是：

1. 1. 一个*可扩展的* MST-Direct 匹配器——稀疏、候选限制的 Sinkhorn 与贪心双射补全——在远小于一分钟的时间内运行 200×200（40,000 节点）和 100×100 网格；
2. 2. 一个*多变量*公式，将目标云匹配到承载指定变差函数的独立 FFT-MA 高斯骨架[6 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib9)]上，在六个变量上进行了演示；
3. 3. *条件*模拟，通过固定数据元组并通过简单克里金法对骨架进行条件化，精确地符合硬数据；
4. 4. 与 DMS [4 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib1)] 相同的 6 变量、异方差、非线性参考分布上，与 PPMT 的头对头验证。

## II. 方法

我们首先总结在 [10 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib2)] 中引入的 MST-Direct 原理；本节的其余部分介绍构成当前贡献的三个扩展（可扩展匹配、多变量骨架和条件化）。设 \(\{z^{(k)}\}_{k=1}^{N}\)，\(z^{(k)} \in \mathbb{R}^{d}\)，是来自一个目标 \(d\) 变量非参数分布 \(p(z_1, \dots, z_d)\) 的 \(N\) 个元组的样本（数据或代表性训练集），要放置在一个包含 \(n=N\) 个位置的网格上，使得实现重现 \(p\) 和指定的空间协方差。将目标元组和一个空间模板 \(\{g_j\}\) 写为离散测度，一个实现是一个将每个元组分配给每个位置的耦合；MST-Direct 通过熵正则化最优传输问题[3 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib21)] 选择它：

\[\min_{M \in \Pi} \; \langle C, M \rangle - \frac{1}{\beta} H(M),\] (1)

在传输多面体 \(\Pi = \{M \ge 0: M\mathbf{1} = \frac{1}{n}\mathbf{1}, M^{\top}\mathbf{1} = \frac{1}{n}\mathbf{1}\}\) 上，其中 \(C_{ij} = \lVert \tilde{g}_i - \tilde{z}^{(j)} \rVert^2\) 是每个变量标准化空间中的平方距离，\(H\) 是熵，\(\beta\) 是正则化参数。解 \(M = \mathrm{diag}(\mathbf{r}) K \mathrm{diag}(\mathbf{c})\)，\(K = \exp(-\beta C)\)，通过对数域中的 Sinkhorn 不动点[11 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib20)] 求得。

然后，一个关系 k 近邻奖励增强成本，使得空间相邻的位置匹配到相互相似的元组[10 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib2)]；设 \(A\) 为行归一化的网格邻接矩阵：

\[M_{ij} \propto \exp\big(\beta(-C_{ij} + \lambda [AMA^{\top}]_{ij})\big),\] (2)

通过交替进行奖励 \(AMA^{\top}\) 和 Sinkhorn 归一化求解。软耦合通过贪心赋值（按置信度递减顺序）舍入为排列 \(\pi\)。由于 \(\pi\) 是到目标元组的双射，因此实现 \(z_i^{*} = z^{(\pi(i))}\) 是*相同的多重集合*的元组：每个边缘分布和每个非线性交叉依赖关系都被精确重现。OT 仅决定*每个元组去哪里*。

模板承载指定的空间结构。与 DMS 一样，我们通过 FFT-MA[6 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib9)] 生成 \(d\) 个*独立*的标准高斯场，具有目标（球状）变差函数：\(g^{(c)} = \mathcal{F}^{-1}\{\sqrt{S(\omega)} \mathcal{F}\{W^{(c)}\}\}\)。相邻位置接收相似的特征向量，并在匹配后接收相似的元组，将变差函数传递到每个变量。匹配本身*不*施加各向同性或平稳性要求：所选高斯模拟器可接受的任何协方差——包括各向异性模型——都可以在骨架中使用；我们仅为了与 DMS [4 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib1)] 的可比性而采用各向同性球状模型。

密集耦合在内存上是 \(O(n^2)\)，每次关系迭代约为 \(O(n^3)\)，在 \(n=40,000\) 时不可行[10 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib2)]。我们改为将每个位置限制到其 \(C\) 个最近的目标元组（通过 k-d 树），因此耦合具有 \(O(nC)\) 个非零元素，并且 Sinkhorn 更新变为对候选边列表的段规约。贪心舍入产生排列；少数没有空闲候选的位置通过最近未使用赋值修复，保证完整的双射。关系项 (2) 作为几次细化传递应用，将每个查询拉向 \(\overline{Z}_{\mathcal{N}(i)}\)，即当前分配给位置 \(i\) 的空间 k 近邻 \(\mathcal{N}(i)\) 的平均元组（算法 1）。

**算法 1：可扩展 MST-Direct**

1. 1. 输入目标元组 \(Z \in \mathbb{R}^{n \times d}\)；坐标；变差函数；硬数据（可选）。
2. 2. 标准化 \(Z\)；构建骨架 \(G\)（如果存在硬数据，则进行克里金条件化）。
3. 3. 将硬数据位置固定到其元组；从池中排除。
4. 4. 候选：每个 \(G_i\) 的 \(C\) 个最近 \(Z\) 行（k-d 树）。
5. 5. 在候选边上进行稀疏对数域 Sinkhorn (1)。
6. 6. \(r\) 次关系传递 (2)：\(G_i \leftarrow (1-\lambda)G_i + \lambda \overline{Z}_{\mathcal{N}(i)}\)，重新匹配。
7. 7. 贪心舍入为排列 \(\pi\)；修复剩余位置。
8. 8. 返回 \(z_i^{*} = Z_{\pi(i)}\)（\(Z\) 的一个排列）。

位于位置 \(\{\ell\}\) 的硬数据 \(\{z_{\ell}^{\mathrm{d}}\}\) 分两步处理。首先，通过简单克里金法[6 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib9)] 对骨架进行数据条件化（在匹配空间中），以便它插值数据并在其他地方保持指定的协方差。其次，数据位置被*固定*：它们的元组被固定并从池中移除，只有其余位置进入 (1)。因此，实现精确地符合数据，而克里金骨架保持周围环境的一致性。

## III. 实验设计

我们重现了 DMS [4 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib1)] 的两个实验，使用*相同*的 6 变量目标分布，该分布是强非线性和异方差的（图 1 和 3 的左面板）。在每个比较中，目标（*真实*）分布与 PPMT 和 MST-Direct 的实现一起按顺序显示；对角线是边缘分布，非对角线是双变量直方图。我们通过实验直方图与参考直方图之间的均方误差（MSE）来量化两种方法的重现程度，并通过实验变差函数评估空间重现性。我们以 PPMT [1 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib4)] 为基准，而不是二元研究[10 (https://arxiv.org/html/2606.07578#bib.bib2)] 中使用的高斯-连接函数或 LU 分解基线：那些基线本质上是高斯的，因此无法重现复杂的非线性联合关系，这将使比较失去信息性，而 PPMT 是一种非参数多变量变换，正是为此类分布设计的。PPMT 通过投影寻踪高斯化实现，并使用相同的 FFT-MA 骨架。无条件网格为 200×200，球状变差函数范围 40；条件网格为 100×100，包含 200 个均匀分布的硬数据，从数据拟合的球状变差函数（范围 ≈ 16，而 [4] 中为 18）。

## IV. 结果

对于无条件实验（200×200 网格，球状范围 40），图 1 比较了实验分布。MST-Direct 实现（右）与参考（左）无法区分——这是相同元组的空间排列——而 PPMT（中）恢复了大致结构但扭曲了精细的非线性联合关系。表 I 报告了两种方法的直方图 MSE：MST-Direct 为零，PPMT 的数量级为 \(10^{-6}\) 到 \(10^{-5}\)。图 2 显示两种方法都重现了施加的范围 40 模型；MST-Direct 精确地匹配基台（其方差通过构造等于参考），而 PPMT 超出 10-20%。可扩展双射留下了一个轻微的短滞后分量，通过关系传递减少了。

（图 1 标题：无条件实验分布：*真实*（左）、PPMT（中）、MST-Direct（右）。MST-Direct 与参考相同；PPMT 扭曲了精细的非线性联合关系。）

（表 I 标题：无条件直方图 MSE 与参考的比较（×10^{-5}）：MST-Direct（左）和 PPMT（右）。对角线：边缘分布；非对角线：双变量直方图。）

（图 2 标题：无条件实验变差函数：MST-Direct（蓝色）和 PPMT（红色）对比施加的球状模型（范围 40，虚线）。）

对于条件实验，参考模型构建为 100×100 网格上的无条件实现，其中 200 个节点成为硬数据。两种方法都符合数据——MST-Direct 通过固定精确符合（在 200 个位置和所有六个变量上最大绝对误差为 0），PPMT 达到机器精度（约 \(10^{-14}\)）。图 3 比较了分布（同样 MST-Direct 精确，PPMT 近似），MSE 见表 II。图 4 显示了三个实现的地图（参考 / PPMT / MST-Direct），所有都符合数据；图 5 验证了精确的数据重现（测量值与模拟值在 45°线上）。图 6 显示两种方法都近似重现了参考变差函数，MST-Direct 精确跟踪基台，PPMT 略微低于基台——与 [4] 一致。

（图 3 标题：条件实验分布：*真实*（左）、PPMT（中）、MST-Direct（右）。）

（图 4 标题：100×100 网格上的条件实现，行：*参考 / PPMT / MST-Direct*，列：\(z_1\)–\(z_6\)（每列共享颜色尺度）。黑点标记 200 个硬数据位置，所有方法都符合。）

（图 5 标题：条件 MST-Direct：200 个硬数据位置的测量值与模拟值。所有点都在 45°线上（最大绝对误差 0）。）

（图 6 标题：条件实验变差函数：参考模型（黑色）、MST-Direct（蓝色）、PPMT（红色）。）

（表 II 标题：条件直方图 MSE 与参考的比较（×10^{-5}）：MST-Direct（左）和 PPMT（右）。）

## V. 讨论

实验解决了 [10] 中留下的三个限制。*可扩展性*：稀疏候选限制