和声解析：迈向音乐科学理论的进展（2012）

# 迈向音乐的科学理论
来源：https://arxiv.org/html/1202.4212 arXiv:1202.4212v2 (http://arxiv.org/abs/1202.4212v2)[cs.SD] 2014年6月9日

## 和声解析：迈向音乐的科学理论
**大调音阶、标准和弦词典，以及大、小三和弦情感差异的物理学与计算学第一原理解释；赫姆霍兹理论的不完整性及特哈特等人的理论评述**

Daniel Shawcross Wilkerson
2006年9月23日开始撰写；第一版发表于2012年2月19日；第二版发表于2014年7月9日。

## 摘要与引言
大多数音乐理论书籍就像中世纪医学教科书：充斥着无根据的迷信、非理性推理以及被拉丁短语神化的奇怪符号。音乐，特别是和声，*究竟*如何运作？我们呈现一个真正*科学*的音乐理论。我们方法的核心是不仅考虑自然的*物理*现象，还要考虑任何必须聆听和理解声音的机器（如人脑）的*计算*现象；通过将这种计算方法与物理方法相结合，那些迄今未解释的和声现象便自然而然地浮现出来，即以一种直接的方式被推导出来。特别地，我们从物理学和计算学的第一原理出发，推导出音乐的以下三个基本现象：
- 大调音阶，
- 标准和弦词典，
- 大、小三和弦的情感差异。

虽然大调音阶之前已有他人以与我们类似的方式独立推导出来 [Helmholtz1863, p. 300], [Birkhoff1933, p. 92]，但我相信标准和弦词典以及大、小三和弦情感差异的推导是对科学与艺术的原创贡献。我们认为我们的观察应能直接转化为一种算法，以类似人类的方式对调性音乐的基本方面进行分类。我们还审视了迄今为止该领域公认的权威、19世纪德国物理学家赫尔曼·赫姆霍兹的理论 [Helmholtz1863]，并证明他的理论虽然做出了正确的观察，也算得上科学，但并未真正解释上述三个观察到的现象；赫姆霍兹并非真的错了，只是未能真正正确。赫姆霍兹理论作为和声解释的失败，通过一个迄今未被承认的简单观察变得极为清晰：他的理论说某些音符在一起演奏时是"协和的"，因为它们的共同声音比不那么协和的音符组合"不那么糟糕"；但这个理论只是*减法*性质的，也就是说，额外的音符只能带来惩罚，只是某些音符比另一些惩罚更轻，因此最和谐的声音应该是单独一个音符（！），而和声作为音乐的一种现象*根本*不会存在。然而和声确实存在，并且存在的原因在于人们体验和声时感觉它*增加*了某些超越单独音符演奏的东西；这种和声的加法性质很容易被我们的理论解释。我们还考虑了更近期的、更具计算性的特哈特理论 [Terhardt1974-PCH]（及其他人的理论），并证明，虽然他的方法（以及似乎随后跟进的其他人的方法）也试图进行计算的解释，并推导出一些看似与我们在分析初始部分得出的某些观察相似的结论，但我们似乎走得更远。

我希望这篇文章能让科学家们满意，作为对科学的原创贡献（作为一组可检验的、解释观察现象的猜想），同时我也希望它能让音乐家和其他好奇的公众易于理解，他们可能长久以来一直对调性音乐的奇特属性感到好奇，并对缺乏令人满意、可读的相关论述感到沮丧。因此我特意采用平实、对话式的风格，避免不必要的正式语言；本杰明·富兰克林和理查德·费曼经常以平实、对话式的风格写作，所以如果你不喜欢，借用理查德·费曼的话说："别烦我，老兄！"

## 目录
- **1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_0_0) 音乐的问题** 
  - 1.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_1_0) 现代"音乐理论"读起来像中世纪医学教科书
  - 1.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_2_0) 什么是令人满意的*科学*理论？
  - 1.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_3_0) 音乐"理论"不是任何事物的科学理论
  - 1.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_4_0) 我们能建立令人满意的音乐理论吗？
  - 1.5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_5_0) 物理科学：无处不在的泛音列
    - 1.5.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_5_1) 音色：理想泛音列的系统性扭曲
  - 1.6 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_6_0) 计算科学：与物理科学同等基础
    - 1.6.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_6_1) 算法是普适的
- **2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_0_0) 生活在计算卡通世界中**
  - 2.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_1_0) 搜索泛音
    - 2.1.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_1_1) 虚拟音高：即使泛音列不存在也能听到它
    - 2.1.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_1_2) 使用最大公约数作为缺失的基频
    - 2.1.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_1_3) 甚至动物似乎也能计算理想泛音列
  - 2.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_2_0) 优化的产物
    - 2.2.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_2_1) 相对音高：声音之间的差异
    - 2.2.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_2_2) 八度：归一化到2倍因子的声音
  - 2.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_0) 和声：甜美是理想
    - 2.3.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_1) 使用具有系统性扭曲音色的乐器重建理想泛音列
    - 2.3.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_2) 和声引出两种音程：音符内部的水平方向与音符之间的垂直方向
    - 2.3.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_3) 垂直音程具有纯比率
    - 2.3.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_4) 垂直音程具有平衡的振幅
    - 2.3.5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_5) 垂直音程都是相同比率
    - 2.3.6 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_3_6) 和声甜过甜美
  - 2.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_4_0) 趣味性：恰到好处的复杂性
    - 2.4.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_4_1) 主题的简单性
    - 2.4.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_4_2) 歧义的复杂性
  - 2.5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_5_0) 识别：特征向量
    - 2.5.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_5_1) 软计算
    - 2.5.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_5_2) 错误识别
    - 2.5.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_2_5_3) 立体主义：由于冗余、过度确定的特征向量导致的部分识别
- **3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_0_0) 和声音乐的解释**
  - 3.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_1_0) 大三和弦
  - 3.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_2_0) 大调音阶
    - 3.2.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_2_1) 互锁的三和弦
    - 3.2.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_2_2) 使用对数可视化音高/音符之间的距离
    - 3.2.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_2_3) 键盘的揭示
  - 3.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_3_0) 音阶与调性
    - 3.3.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_3_1) 转调：演奏其他组三和弦
    - 3.3.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_3_2) 转调破坏和声
    - 3.3.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_3_3) 纯律与平均律
  - 3.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_4_0) 小调
    - 3.4.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_4_1) 小三和弦
    - 3.4.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_4_2) 小调作为听觉立体主义
    - 3.4.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_4_3) 小调音阶
  - 3.5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_0) 和弦
    - 3.5.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_1) 标准和弦词典
    - 3.5.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_2) 如何把甜美变成泥泞：过度使用八度
    - 3.5.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_3) 源于泛音列的和弦
    - 3.5.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_4) 引发歧义的和弦
    - 3.5.5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_5) 使用小三和弦的和弦
    - 3.5.6 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_3_5_6) 保持音程但不保持泛音的和弦
- **4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_0_0) 各种异议**
  - 4.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_1_0) 但五度圈呢！
    - 4.1.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_1_1) 五度构成一个圈
    - 4.1.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_1_2) 五度圈只是组合上的巧合
    - 4.1.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_1_3) 五度圈允许酷炫的和弦转换
    - 4.1.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_1_4) 五度圈的对称性是一个糟糕的误导
  - 4.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_2_0) 但其他文化有不同音乐音阶！
    - 4.2.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_2_1) 一种文化可能仅仅没有完全利用所有普适的和声特征
    - 4.2.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_2_2) 但秘鲁的纳斯卡人使用线性音阶，而不是对数音阶！
  - 4.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_3_0) 但你可以创作一首完全基于那个极不和声音程——增四度的音乐！
  - 4.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_4_4_0) 但我一辈子都是音乐家/在大学学过音乐，以前从未听说过这些！
- **5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_0_0) 赫姆霍兹未能解释和声**
  - 5.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_1_0) 赫姆霍兹的理论仅依赖于干扰的泛音，但和声远不止于此
  - 5.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_2_0) 赫姆霍兹的理论不蕴含虚拟音高
  - 5.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_3_0) 赫姆霍兹的理论是愉悦仅源自痛苦的缺失
    - 5.3.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_3_1) 和声是狂喜
  - 5.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_4_0) 赫姆霍兹的理论未能完全解释大、小三和弦之间的性质差异
  - 5.5 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_5_5_0) 赫姆霍兹并非真的错了，他只是未能真正正确
- **6 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_6_0_0) 其他现代理论，如特哈特的"融合或模式匹配"理论**
  - 6.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_6_1_0) 特哈特认识到大脑在寻找某物
  - 6.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_6_2_0) 特哈特未能解释挂留和弦和小和弦
- **7 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_0_0) 未来工作：迈向统一的音乐理论**
  - 7.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_1_0) 旋律作为琶音
    - 7.1.1 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_1_1) 音阶作为主题：从和声联想到旋律联想
    - 7.1.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_1_2) 流：连续发生的多个相似现象被大脑解释为一个移动的物体
    - 7.1.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_1_3) 旋律可以轻松创造有趣的歧义
  - 7.2 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_2_0) 叙事的普遍作用
  - 7.3 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_3_0) 具身化与情感
  - 7.4 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_7_4_0) 统一物理与计算音乐理论的提议
- **8 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_8_0_0) 致谢**
- **9 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_9_0_0) 参考文献**

---

## 1 音乐的问题
人们在钢琴上按下不同的琴键；有些组合和模式听起来好听，有些则不然。这是如何运作的？看看钢琴，它的布局模式如下（w=白键，b=黑键）

![[我的键盘。]](http://arxiv.org/html/1202.4212v2/my_keyboard.png)

`` ... wbwbw wbwbwbw wbwbw wbwbwbw ... ``

嗯，白键和黑键*大致*交替排列，但这些交替区域的长度分别是5个键和7个键，然后这个5/7区域对重复出现，在这些区域的交界处有两个相邻的白键。似乎有某种模式，但这是一个相当奇怪的模式。

> *钢琴键盘看起来真的很奇怪且临时拼凑。*

难道像声音这样简单的事物不应该有一个简单的设备来产生它吗？此外，这种怪异并非钢琴独有：键盘布局反映了作为所有西方音乐基础的大调音阶 [maj (http://en.wikipedia.org/wiki/Major_scale)]。这种黑白模式在某种程度上是声音和音乐本身的基础吗？还是它们真的只是一种文化上的巧合，是我们从小听到大、被训练与不同情感联系的声音组合？这里是否有某种耳朵和声音本身的基础在起作用？

## 1.1 现代"音乐理论"读起来像中世纪医学教科书
![[[Mehegan1959] 第1册第1部分第1课的第一页。]](http://arxiv.org/html/1202.4212v2/mehegan_first_page-1959.png)

这些问题困扰了我 literally 几十年（从大约十岁开始，我看着家里的钢琴键盘问"什么？！"；我基本上就是在那个时候写下了上面的 **第1节 (http://arxiv.org/html/1202.4212v2/#sec_1_0_0)** "音乐的问题"）。查阅"音乐理论"也从未帮助过我，因为

> *读音乐理论书就像读中世纪医学教科书：这类书充满了无根据的迷信、非理性推理和用拉丁短语神化的奇怪符号。*

例如，这是一本著名的爵士乐理论书，《爵士即兴演奏1：调性与节奏原理》[Mehegan1959] 的第一页。注意，这是*第1册第1部分第1课的第一页*，是学生读到的最初内容！

> "十二个音阶中的每一个都是构成和声系统的框架。"

什么是"音阶"？它们从何而来？为什么有且仅有*十二个*？什么是"和声系统"，说音阶"框架"它又是什么意思？

> "自然音阶和声在两个方向移动：横向和纵向。"

真的吗？！我看它们两个方向都很斜。哦，但这是"自然音阶"！听起来像拉丁语，所以我猜这些人很聪明。

> "通过结合这两种运动……我们推导出了C调的音阶七和弦。"

什么是"和弦"？什么是"调性"？*他们到底在说什么！* 你不能这样开始一本科学教科书。你必须从人类可以做的简单观察开始。你必须从简单的结构构建出复杂的结构。你必须为你的区分提供动机。即使你说"和弦是同时演奏的三个或更多音符"，那也几乎是"调性"的定义；我们做这种区分有什么目的？你可以说"嗯，调性的音符是同时演奏的但不是在同一时间"，但那也适用于琶音和弦；再次，区别是什么？即使你说"C大调和弦是C-E-G"，这里也有