基于受限Logit建模的大规模需求转移估计

# 通过受限逻辑模型进行大规模需求转移估计
来源: https://arxiv.org/html/2608.12680
Lakshya Garg, Deep Narayan Mishra, Swapnil Yadav, Haoan Wang, Sujal Alugubelli, Karthik Kumaran, Anupriya Sharma  
所属机构：沃尔玛全球技术，美国加利福尼亚州桑尼维尔  
\{lakshya\.garg, deep\.mishra, swapnil\.yadav, haoan\.wang, sujal\.alugubelli, karthik\.kumaran, anupriya\.sharma0\}@walmart\.com

###### 摘要

商品需求预测是门店品类优化 \(SAO\) 中不可或缺的组成部分。现有文献主要关注学习合适的顾客选择模型，并利用该模型来确定目标函数 \(即预期需求\) 相对于某个品类提案的价值。然而，对于包含许多类别的大型商品集合，这种方法可能效率低下，因为需要对每一种可能的商品组合分别进行需求预测。针对 SAO 存在另一种方法，它将独立预测商品需求的效率与对独立预测进行调整相结合，以考虑商品需求与货架上其他类似商品可得性之间的关系。

这种方法的核心是估计需求转移 \(DT\) 系数。这些 DT 系数表示，当目标商品 \(顾客进店想要购买的商品\) 从货架上移除时，其需求中有多少百分比会重定向到商品集合中的其他商品。我们提出了一种方法，可以在大型商品集合 \(拥有 100 万+ 商品的品类\) 上计算这些 DT 系数。对数据的实验以及对多个地区类别内商品的历史交易数据的实验表明，当关于替代行为的某些合理假设得到满足时，我们的方法能够准确估计潜在的 DT 系数，并改进需求预测。

###### 索引术语：

需求转移、多项逻辑回归、马尔可夫链模型、商品替代、需求预测

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## I 引言

随着电子商务零售平台的广泛采用，实体店比以往任何时候都更需要做出数据驱动的决策以保持竞争力。实体零售商可以做出的最重要决策之一是门店品类优化 \(SAO\)，即决定在特定货架上存放哪些商品，以及每种商品携带多少数量\[4, 7\]。此类系统通常涉及在满足某些约束 \(例如物理货架空间\) 的情况下，最大化某个目标函数 \(通常是收入、需求或其他业务指标的函数\)。SAO 框架最重要的输入之一是单个商品的需求预测。这些预测用于估算与特定提案品类相对应的预期总收入。

然而，由于物理约束，实体店环境中的商品需求预测可能很困难，因为货架上单个商品的需求特征通常取决于其他可能满足类似需求的类似商品的可得性。商品之间的这种相关性意味着我们不能独立于我们打算与其一起放在货架上的其他商品来对商品需求对应的时间序列进行建模。这种需求蚕食和顾客购买其他商品的偏好的现象也是需求转移 \(DT\) 的一部分，并且当货架上的品类被持续修改时，这种现象会被放大 \[12\]。

下面我们讨论 DT 的数学表述。考虑一个商品集合A=\{i,j\}中的两个商品i和j，它们都满足某种顾客需求 \(即它们是可替代产品，如第 III-A 节 \(商品替代\) 所述\)。让我们对该集合的预期总需求D_A进行估计，由下式给出

E\[D_A\]=E\[D_{i,A}\]+E\[D_{j,A}\], (1)

其中D_{i,A}和D_{j,A}是随机变量 \(具有已知分布\)，分别表示在集合A下商品i和商品j的需求。我们假设，当商品i不可购买但集合中的所有其他商品均可购买时，原本有兴趣购买商品i的顾客也愿意购买商品j——因为它们是可替代商品——其概率为ρ_{ij}:=P(i→j)。

假设我们希望计算仅包含商品j的修改后集合A'的预期总需求E\[D_{A'}\]。这意味着，如果商品i从货架上移除，我们不能简单地减去并使用等式1来计算修改后集合的预期需求：

E\[D_{j,A'}\]≠E\[D_{j,A}\]=E\[D_A\]−E\[D_{i,A}\], (2)

因为我们不能认为商品i在集合A下本应获得的所有需求都完全损失了。其中一部分P(i→j)预计会转移到商品j，前提是商品j可购买，正如集合A'中的情况。因此，E\[D_{A'}\]的正确表述应为：

E\[D_{A'}\]=ρ_{ij} E\[D_{i,A}\]+E\[D_{j,A}\] (3)

这里ρ_{ij} \(P(i→j)\) 捕获了会转移到商品j的额外需求。这个ρ_{ij}被称为从商品i到商品j的*需求转移 \(DT\)*。

大多数解决类似商品需求的方法都将选择模型用作描述收入或某个合适目标函数的更广泛函数的组成部分，然后对其进行优化，如 Abdallah 和 Vulcano \[3\]、Fisher 和 Vaidyanathan \[7\] 所述。这对于大型商品集合以及我们下游 SAO 用例 \(确定每个 SKU 应上架多少件\) 来说在计算上是不合适的。对于我们的用例，需要商品之间的显式转移系数，而 Blanchet 等人 \[5\]、Şimşek 和 Topaloglu \[14\] 等一些工作使用马尔可夫链模型来处理这个问题。然而，Blanchet 等人 \[5\]、Şimşek 和 Topaloglu \[14\] 用来估计转移概率的方法在非常大的商品集合上存在扩展性和稳定性问题。*我们在本文中提出的工作是对马尔可夫链模型的修改，利用一个替代框架来估计商品之间的显式转移系数，使原始算法能够扩展到巨大的商品集合 \(100 万+ 商品\)*。这种可扩展性至关重要，因为：

- •与大多数现代零售商一样，无论规模大小，商品品种通常至少包含数万种商品。
- •随着消费者对日益多样化的选择的需求不断增长，尤其是在一般商品 \(GM\) 类别中，商品品种规模持续增长。

由于我们提出的方法可以扩展到巨大的商品集合，我们可以将 DT 扩展到所有类别，从而使任何规模的零售商都能做出更数据驱动的品类决策。

## II 相关工作

在需求建模过程中考虑 DT 效应的一种方法，是通过在每种可能的商品集合a∈{X∣X⊆U}下分别对商品需求D_{i,a}进行建模来控制这些效应，其中U表示所分析的商品 \(全集\) 集合。这一表述已在许多相关文献中被采用，其中通过识别来自商品全集的最优子集来最大化一般收入函数r:2^U→R。DT 通过包含一个顾客选择模型来纳入，该模型提供在货架上提供子集S⊆U的情况下顾客购买商品j的概率。

另一种解决 DT 问题的方法侧重于识别合适的选择模型，然后估计其参数 \(Abdallah 和 Vulcano \[3\]、Fisher 和 Vaidyanathan \[7\]\)，或者如果是非参数模型则直接估计其函数，如 Arias 等人 \[6\]。这些方法因两个主要原因不适合我们的目的。

1. 1.大型零售业务可能包含数千个类别，每个类别都有非常大的商品数量，这使得此类方法在计算上不可行。对于单个类别U，对所有可能的商品可用性组合执行优化可能需要多达\|U\|⋅2^{\|U\|}次单独的时间序列预测。
2. 2.由于商品数量庞大，大多数可能的商品组合在历史上可能从未在任何门店中实施过，导致缺乏数据来对这些商品组合进行可靠的需求预测。这种对历史上未见组合的需求预测的不可靠性，可能会妨碍在优化步骤中发现新的最优商品组合。
3. 3.最后，上述方法只考虑了应该将哪些商品放在货架上的问题，而没有考虑应该将所选商品中的每一种放多少在货架上。由于我们的优化引擎必须回答这两个问题，因此我们需要显式的 DT 系数。

我们还研究了 Fisher 和 Vaidyanathan \[7\] 的工作，该工作考虑了相对于某个属性估计所有商品间 DT 概率 \(那里称为替代概率\)。然而，该工作的重点主要是改善下游收入；概率估计与主要需求估计一起在观测销售数据的联合似然函数的优化中计算。此外，没有专门针对概率估计质量的验证程序；它们被视为全局收入优化中的潜在参数，如上所述，这不适合我们的用例。

一个重要的研究路线起源于 Blanchet 等人 \[5\] 的工作，并由 Şimşek 和 Topaloglu \[14\] 继续。这些作者将顾客 DT 行为分析为马尔可夫链中状态 \(对应于商品\) 之间的转移序列，其转移矩阵可以解释为我们期望的 DT 矩阵ρ。然而，Blanchet 等人 \[5\] 提供的转移概率估计方法要求在历史可用的商品组合中具有非稀疏性，而这在我们的设置中并不成立；虽然 Şimşek 和 Topaloglu \[14\] 提供的期望最大化算法避免了这个问题，但他们的方法在大规模时存在数值不稳定性，因为所涉及的线性系统可能对大型商品集合不一致，并且在考虑许多可能子集时计算缓慢 \[14\]。一种变通方法是估计多个较小的此类模型的参数，每个模型针对整体商品全集的一个不相交分区。然而，在我们的上下文中，由于需求状态重叠，无法自然地对商品类别进行分区。在我们的用例中，需求状态由商品为顾客实现的目的来定义。因此，原始马尔可夫链模型的实现在我们的设置中是不合适的。

Blanchet 等人 \[5\] 的一个关键结果是，当马尔可夫链的转移矩阵秩为 1 时——即每个商品对所有其他商品具有相同的转移概率模式时——马尔可夫链选择模型在数学上等同于多项逻辑回归 \(MNL\) 模型。这种等价性很重要，因为 MNL 模型比一般马尔可夫链模型具有更好的可扩展性和计算效率。因此，我们利用这一结果——连同关于顾客需求的合理假设——来估计 MNL 模型的参数。一旦估计出 MNL 参数，我们应用一个简单的变换，将它们解释为等效马尔可夫链选择模型的转移概率。

我们还注意到，当商品从货架上移除时，其需求的一部分通常*不*会转移到任何其他商品。这对应于*不购买选项* \[14\]，可以解释为需求转移到一个特殊商品φ，该商品始终可购买，但不被视为任何商品组合的一部分。我们使用基于业务规则的确定性逻辑，从历史商品可用性和观察到的需求保留行为中估计所有i∈U \(U 表示商品全集\) 的数量ρ_{iφ}，然后按照其标准 DT 系数的比例，将剩余的可转移需求份额分配给其他商品。

除了品类优化和选择建模文献之外，产品蚕食效应已在营销科学和零售分析中得到广泛研究。Mason 和 Milne \(1994\) \[19\] 研究了识别产品线扩展和多品牌策略中蚕食效应的方法，强调了量化相关产品之间需求再分配的重要性。最近，Xu \(2025\) \[20\] 提出了一种基于聚类的方法，利用价格效应来检测产品蚕食，展示了越来越多地使用数据驱动方法来刻画替代行为。这些研究强化了理解产品之间需求交互的重要性，尽管大多数侧重于蚕食检测，而不是在本工作所考虑的大规模下估计显式的商品间需求转移系数。

## III 商品替代框架

在以下部分中，我们将介绍我们的商品替代框架，当与我们提出的 MNL 算法修改结合使用时，该框架使原始算法具有可扩展性。

### III-A 商品替代

商品替代是一种对称、反自反\[1\]且非传递的关系，对应于从顾客角度出发两个商品的相似性。两个商品之间的高可替代性意味着通常顾客愿意购买一个商品来代替另一个商品，或者认为它们在功能上等效。这表明，相对于给定目标商品的所有可替代商品，可以隐式地刻画目标商品在同一需求状态内的特征。

这种刻画提供了一个额外优势：结合秩一马尔可夫链转移矩阵与 MNL 模型之间的已知等价性 \[5\]，我们可以无缝地整合选择模型的参数，以产生最终的 DT 系数。由于我们的选择模型假设 IIA \(不相关选择的独立性，在第 4.1 小节讨论\)，我们直接将可替代商品集合作为边际购买概率的条件纳入。

根据假设 3 \(在第 4.1 小节讨论\)，将概率分布以特定集合 S 为被移除商品 i 的替代品集合为条件，等同于以 i 的需求状态为条件。这种关系提供了所需的条件概率，以刻画需求转移行为。综合来看，这些假设意味着对商品间 DT 系数ρ_{ij}进行建模简化为两