用于双材料系统中弹性动力学波传播的物理信息神经网络框架

# 一种用于双材料系统中弹性动力学波传播的物理信息神经网络框架
来源：https://arxiv.org/html/2607.06479

\[1\]\\fnmBo\\surZhang

\[1\]\\orgdivDepartment of Mechanical Engineering,\\orgnameNorthern Illinois University,\\orgaddress\\street1425 W Lincoln Hwy,\\cityDeKalb,\\postcode60115,\\stateIL,\\countryUSA

###### 摘要

物理信息神经网络（PINNs）为求解偏微分方程提供了一个有前景的框架，同时将底层物理定律直接嵌入学习过程中。本研究提出了一种基于PINN的框架，用于模拟由线性弹性轴对称方程控制的双材料系统中的瞬态弹性动力学波传播。考虑了一个代表分离式霍普金森压杆配置的钢-铝试件，并且将控制弹性动力学方程连同相应的初始条件、边界条件和界面条件通过一个物理信息损失函数直接纳入网络中。使用ANSYS Workbench Explicit Dynamics执行的高保真有限元模拟用于验证，并在训练期间作为补充数据约束。该提出的框架准确预测了双材料界面处的波透射和反射，并再现了轴向和径向位移历史、面平均响应以及主要的应力和应变演化，与有限元解高度一致。训练后的网络进一步展示了在未见过的时刻以及修改材料属性时预测波响应的能力，而无需额外的有限元模拟，为弹性动力学分析提供了一个连续的代理模型。网格敏感性研究证实了数值鲁棒性，而额外的材料组合证明了所提方法论的通用性。结果表明，将物理信息神经网络与显式有限元分析相结合，为异质固体中的弹性动力学波传播提供了一个准确且计算高效的框架，为高应变率固体力学和冲击工程应用提供了一种有效的代理建模方法。

###### 关键词：

物理信息神经网络，弹性动力学波传播，双材料系统，分离式霍普金森压杆，有限元方法，代理建模

## 1 引言

科学机器学习的最新进展\[Raissi\_2019a,Raissi\_2020a,Karniadakis\_2021a,Yang\_2021a,Lu\_2021a,Schoenholz\_2021a,Pickering\_2022a,Bezgin\_2023a,Zhang\_2023a,Zhang\_2023b,Xue\_2023a,Cao\_2024a,Zhang\_2025a,Zhang\_2026a\]为解决计算力学和机械工程中出现的复杂偏微分方程创造了新的机会。在这些发展中，物理信息神经网络（PINNs）\[Raissi\_2019a,Yang\_2021a\]通过将控制方程、初始条件和边界条件直接嵌入神经网络训练过程，成为一种有前景的计算框架。与纯粹数据驱动的方法不同，PINNs将底层物理定律纳入优化过程，从而能够求解由已知方程控制的正向问题，以及根据有限的实验或数值观测推断未知材料属性或系统参数的逆向问题。

弹性固体中的瞬态波传播在结构动力学、冲击工程和材料科学中扮演着基础角色。准确预测应力波透射和反射对于理解多层结构、防护系统、航空航天部件及其他承受高应变率载荷的工程系统的动态行为至关重要。在异质材料中，问题变得更加具有挑战性，因为材料属性的不连续性和不完美界面强烈影响波传播、应力再分布和能量传递。尽管传统的有限元方法为弹性动力学波传播提供了高度精确的解，但参数研究、优化和逆向分析所需的重复模拟计算成本高昂，这促使了高效代理建模技术的发展。

大量的研究致力于弹性波传播的解析、数值和实验研究。Barzkar和Adibi\[Barzkar\_2015a\]提出了一个统一的粘弹性框架，连接了Navier-Lamé和Navier-Stokes方程，为弹性和粘性波传播提供了共同描述，尽管他们的公式仅限于一维问题。Ivanova等人\[Ivanova\_2010a\]使用剪切滞后解析模型研究了层状结构中的动态分层，并证明了界面应力集中的重要性，但忽略了塑性变形和时间相关材料行为。Towfighi等人\[Towfighi\_2002a\]开发了各向异性圆柱板中波传播的解析模型，突出了材料各向异性和几何曲率对波特性的影响。Coker等人\[Coker\_2005a\]实验和数值研究了剪切冲击载荷下的摩擦滑动，展示了由界面摩擦和加载条件控制的裂纹状和脉冲状滑动模式之间的转变。Ojha等人\[Ojha\_2025a\]使用LS-DYNA研究Weldox 700E钢的高速冲击，揭示了应变率、塑性变形和温度对断裂行为的耦合效应。Bertholf和Karnes\[Bertholf\_1975a\]的实验研究建立了分离式霍普金森压杆（SHPB）测试的理论基础，并量化了摩擦力、惯性和试件几何形状对应力波测量的影响。最近，Shin\[Shin\_2022a\]开发了Pochhammer-Chree方程的数值解，以改进SHPB实验的色散校正，从而提高了实验测量的波响应的准确性。

与这些发展并行，物理信息神经网络已迅速成为一种有效的无网格方法，用于求解计算力学中的偏微分方程。Peng和Panesar\[Peng\_2024a\]成功地将PINNs应用于增材制造中的多层热模拟，证明了与有限元解的高度一致性，同时克服了与演变几何和材料不连续性相关的挑战。Wang和Thai\[Wang\_2025a\]将经典层合板理论与基于能量的PINN公式相结合，使用有限的训练数据准确预测了复合板的弯曲行为。Margenberg等人\[Margenberg\_2024a\]提出了一个混合深度神经网络-多重网格框架，将神经网络与有限元求解器相结合，以显著降低的计算成本实现有限元精度。尽管取得了这些进展，但针对具有真实界面条件的异质固体中瞬态弹性动力学波传播的PINN建模研究仍然相对较少。特别是，能够准确捕获双材料界面处的应力波透射和反射，同时与高保真有限元模拟保持一致的物理信息公式仍然有限。

为填补这一空白，本研究开发了一个用于双材料系统中瞬态弹性动力学波传播的物理信息计算框架。线性弹性动力学控制方程针对一个具有部分界面滑移的钢-铝试件进行公式化，以考虑波透射和反射过程中的摩擦效应。将耦合的偏微分方程以及相应的初始、边界和界面条件直接纳入PINN框架中，以预测整个试件中的瞬态位移和应力场。所提出的方法通过与在分离式霍普金森压杆实验条件下使用ANSYS Workbench Explicit Dynamics执行的高保真有限元模拟进行验证。训练后的PINN准确预测了位移、应力和应变响应，包括在未见时刻的波传播，同时显著降低了与重复有限元模拟相关的计算成本。因此，所提出的框架为异质固体中的瞬态弹性动力学分析提供了一种准确且计算高效的代理建模方法，在抗冲击结构、多层材料、航空航天工程及其他高应变率固体力学问题中具有潜在应用。

## 2 方法论

### 2.1 控制方程

双材料试件中的瞬态波传播由线性、各向同性弹性固体的Navier–Lamé方程控制，

ρ∂2u∂t2=\(λ\+μ\)∇\(∇⋅u\)\+μ∇2u，\\rho\\frac\{\\partial^\{2\}\\mathbf\{u\}\}\{\\partial t^\{2\}\}=\(\\lambda\+\\mu\)\\nabla\(\\nabla\\cdot\\mathbf\{u\}\)\+\\mu\\nabla^\{2\}\\mathbf\{u\}，\(1\)
其中u\\mathbf\{u\}是位移向量，ρ\\rho是材料密度，λ\\lambda和μ\\mu是拉梅参数。为了表示分离式霍普金森压杆（SHPB）试件的圆柱几何形状，控制方程在轴对称坐标系中使用径向和轴向位移分量ur\(r,x,t\)u\_\{r\}\(r,x,t\)和ux\(r,x,t\)u\_\{x\}\(r,x,t\)进行公式化。这种基于位移的公式在解析模型、有限元模拟和物理信息神经网络（PINN）中始终一致地使用。

在无限小变形假设下，圆柱坐标系\(r,θ,x\)\(r,\\theta,x\)中的非零应变分量为

εrr=∂ur∂r，εθθ=urr，εxx=∂ux∂x，εrx=12\(∂ur∂x\+∂ux∂r\)。\\varepsilon\_\{rr\}=\\frac\{\\partial u\_\{r\}\}\{\\partial r\}，\\qquad\\varepsilon\_\{\\theta\\theta\}=\\frac\{u\_\{r\}\}\{r\}，\\qquad\\varepsilon\_\{xx\}=\\frac\{\\partial u\_\{x\}\}\{\\partial x\}，\\qquad\\varepsilon\_\{rx\}=\\frac\{1\}\{2\}\\left\(\\frac\{\\partial u\_\{r\}\}\{\\partial x\}\+\\frac\{\\partial u\_\{x\}\}\{\\partial r\}\\right\)。\(2\）
体积应变为

tr⁡\(ε\)=εrr\+εθθ\+εxx，\\operatorname\{tr\}\(\\boldsymbol\{\\varepsilon\}\)=\\varepsilon\_\{rr\}\+\\varepsilon\_\{\\theta\\theta\}\+\\varepsilon\_\{xx\}，\(3\)
其中ε\\boldsymbol\{\\varepsilon\}表示无限小应变张量。

对于各向同性线弹性材料，拉梅参数为

λ=Eν\(1\+ν\)\(1−2ν\)，μ=E2\(1\+ν\)，\\lambda=\\frac\{E\\nu\}\{\(1\+\\nu\)\(1\-2\\nu\)\}，\\qquad\\mu=\\frac\{E\}\{2\(1\+\\nu\)\}，\(4\)
其中EE是杨氏模量，ν\\nu是泊松比。

相应的柯西应力分量由胡克定律得到，

σrr\\displaystyle\\sigma\_\{rr\}=λtr⁡\(ε\)\+2μεrr，\\displaystyle=\\lambda\\,\\operatorname\{tr\}\(\\boldsymbol\{\\varepsilon\}\)\+2\\mu\\varepsilon\_\{rr\}，\(5\)σθθ\\displaystyle\\sigma\_\{\\theta\\theta\}=λtr⁡\(ε\)\+2μεθθ，\\displaystyle=\\lambda\\,\\operatorname\{tr\}\(\\boldsymbol\{\\varepsilon\}\)\+2\\mu\\varepsilon\_\{\\theta\\theta\}，σxx\\displaystyle\\sigma\_\{xx\}=λtr⁡\(ε\)\+2μεxx，\\displaystyle=\\lambda\\,\\operatorname\{tr\}\(\\boldsymbol\{\\varepsilon\}\)\+2\\mu\\varepsilon\_\{xx\}，σrx\\displaystyle\\sigma\_\{rx\}=2μεrx。\\displaystyle=2\\mu\\varepsilon\_\{rx\}\.
将式 \(5 (https://arxiv.org/html/2607.06479#S2.E5)\) 代入线性动量方程，得到控制径向和轴向波传播的轴对称弹性动力学方程\[Mitchell\_2017a\]，

ρ\(x\)∂2ur∂t2=∂σrr∂r\+∂σrx∂x\+σrr−σθθr，\\rho\(x\)\\frac\{\\partial^\{2\}u\_\{r\}\}\{\\partial t^\{2\}\}=\\frac\{\\partial\\sigma\_\{rr\}\}\{\\partial r\}\+\\frac\{\\partial\\sigma\_\{rx\}\}\{\\partial x\}\+\\frac\{\\sigma\_\{rr\}\-\\sigma\_\{\\theta\\theta\}\}\{r\}，\(6\)
ρ\(x\)∂2ux∂t2=∂σrx∂r\+∂σxx∂x\+σrxr。\\rho\(x\)\\frac\{\\partial^\{2\}u\_\{x\}\}\{\\partial t^\{2\}\}=\\frac\{\\partial\\sigma\_\{rx\}\}\{\\partial r\}\+\\frac\{\\partial\\sigma\_\{xx\}\}\{\\partial x\}\+\\frac\{\\sigma\_\{rx\}\}\{r\}。\(7\)
在PINN框架内，二阶时间导数

ur,tt=∂2ur∂t2，ux,tt=∂2ux∂t2，u\_\{r,tt\}=\\frac\{\\partial^\{2\}u\_\{r\}\}\{\\partial t^\{2\}\}，\\qquad u\_\{x,tt\}=\\frac\{\\partial^\{2\}u\_\{x\}\}\{\\partial t^\{2\}\}，\(8\)
通过自动微分进行计算。控制方程通过最小化物理残差来强制执行，

Resr=ρur,tt−\(∂σrr∂r\+∂σrx∂x\+σrr−σθθr\)，\\mathrm\{Res\}\_\{r\}=\\rho u\_\{r,tt\}\-\\left\(\\frac\{\\partial\\sigma\_\{rr\}\}\{\\partial r\}\+\\frac\{\\partial\\sigma\_\{rx\}\}\{\\partial x\}\+\\frac\{\\sigma\_\{rr\}\-\\sigma\_\{\\theta\\theta\}\}\{r\}\\right\)，\(9\)
Resx=ρux,tt−\(∂σrx∂r\+∂σxx∂x\+σrxr\)，\\mathrm\{Res\}\_\{x\}=\\rho u\_\{x,tt\}\-\\left\(\\frac\{\\partial\\sigma\_\{rx\}\}\{\\partial r\}\+\\frac\{\\partial\\sigma\_\{xx\}\}\{\\partial x\}\+\\frac\{\\sigma\_\{rx\}\}\{r\}\\right\)，\(10\)
这些残差被纳入PINN损失函数，以确保预测的位移场在整个计算域内满足控制弹性动力学方程。

### 2.2 初始、边界和界面条件

控制方程辅以适当的初始、边界和界面条件，以确保弹性动力学问题的适定性。

最初，假设试件未变形且处于静止状态，

u\(x,0\)=0，∂u∂t\(x,0\)=0，\\mathbf\{u\}\(\\mathbf\{x\},0\)=\\mathbf\{0\}，\\qquad\\frac\{\\partial\\mathbf\{u\}\}\{\\partial t\}\(\\mathbf\{x\},0\)=\\mathbf\{0\}，\(11\)
其中u\\mathbf\{u\}表示位移向量。

沿圆柱中心线\(r=0\)\(r=0\)施加轴对称条件，而圆柱外表面假设为自由牵引边界。在入射杆端，施加规定的轴向冲击速度以产生应力波，而透射杆的远端则作为自由牵引边界处理。

在材料界面处，强制执行轴向位移的连续性，

ux−=ux+，u\_\{x\}^\{\-\}=u\_\{x\}^\{\+\}，\(12\)
其中上标\(−\)\(\-\)和\(+\)\(\+\)表示在界面两侧评估的量。

假设界面无摩擦；因此，剪切牵引力为零，

σrx=0。\\sigma\_\{rx\}=0。\(13\)
为了确保物理上一致的波透射和反射，在弱意义上强制施加跨越钢-钢和钢-铝界面的轴向法向应力的连续性，

σxx−=σxx+。\\sigma\_\{xx\}^\{\-\}=\\sigma\_\{xx\}^\{\+\}。\(14\)
这些初始、边界和界面条件通过相应的惩罚项纳入PINN损失函数，确保预测的位移场在整个计算域内满足控制弹性动力学方程和规定的物理约束。

### 2.3 有限元模型

参阅图注  图1:分离式霍普金森压杆（SHPB）组件的示意图，由入射杆、双材料钢-铝试件和透射杆组成。入射冲击产生一个压缩应力波，该波通过试件并穿过材料界面传播。参阅图注  图2:分离式霍普金森压杆（SHPB）组件的有限元模型。（a）由入射杆、双材料钢-铝试件和透射杆组成的三维四分之一对称模型。（b）双材料试件中的细化有限元网格，显示了在钢-铝界面附近采用的离散化，以准确解析应力波透射和反射。