超越证明的图解

# 超越证明的图示 来源：https://terrytao.wordpress.com/2026/10/11/illustration-beyond-proof/ *\本篇为客座文章，作者为[Kate Stange (https://math.katestange.net/)和Edmund Harriss (https://maxwelldemon.com/)\]。本篇博文最初以另一种文件格式撰写，后经AI转换。——T.\]* 一月，一群数学家、历史学家、艺术家和教育工作者聚集在Institut Henri Poincaré（IHP），参加了一场关于数学意义的非常规研讨会。作为关于插图在数学研究中应用的特殊季度活动的一部分，我们那周关注的问题是：一个图示怎样才算严谨\[1\]？我们没有预料到，仅仅六个月之后，关于人类数学实践之根本定义的这一系列相关问题会变得如此紧迫。我们的讨论促成了一篇文章，于夏季在Leiden Declaration (https://leidendeclaration.ai/)的背景下写就\[2\]，现已在*Notices*上被接受发表\[3\]。过去一两个月来，人们倾注了大量真挚的观点，探讨作为一个人做数学意味着什么，以及在不久的将来这又意味着什么。从这些热烈的讨论中可以清楚地看到，成为一名数学家有着丰富多样的重要含义。数学插图——包括计算机图形学及其他超越符号交流、诉诸感官的媒介——正是人类数学家超越证明书写的一项活动。它作为一个学科自身所经历的挣扎，或许能为数学未来的方向提供一些启示。 我们先来回顾一下当前的处境。Bryna Kra (https://terrytao.wordpress.com/2026/09/13/deep-theorems-were-scarce-and-difficult-and-so-became-an-effective-mechanism-to-identify-deep-thought-ai-has-broken-this-system/)\[4\]指出了当前问题的核心。多年来，定理的产出已成为衡量成功的最重要标准。职位和奖项都系于此。但它一直是某种更难衡量之物的代理指标：理解。深刻定理稀少且难得，因此能可靠地识别深刻的思维。AI打破了这种稀缺性。在她看来，一个证明是"一个故事、一幅图、一种洞察、一种解释"。Silvia De Toffoli和Eamon Duede (https://terrytao.wordpress.com/2026/09/12/after-math/)\[5\]进一步强化了这一观点，拒绝了数学是一场机器如今可以赢得的游戏这一看法。数学的目标不仅仅是一个可验证的解答。数学是"一个由学术共同体参与、诠释和消化的知识体系"，而不是一份成果登记表。Matilde Marcolli (https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf)\[6\]走得更远：大定理从来不是目的，只是共同体选择的一种价值体系，而选择是可以重新做出的。Grant Sanderson (https://terrytao.wordpress.com/2026/09/18/if-math-is-more-than-proof-we-need-to-better-celebrate-the-rest-of-it/)\[7\]追问这在实践中意味着什么：我们如何对数学工作和理解的其他形式给予真正的认可？ 过去，其他形式的认知曾获得认可。我们的论文以19世纪Gaspard Monge的École Polytechnique数学训练中所需的手工绘图开篇。在一月的研讨会上，历史学家Frédéric Brechenmacher将此说得十分明确："画图即是认知。"\[8\]我们追溯了这一传统如何在20世纪被搁置，却又顽强延续，部分地在1990年代关于证明与意义关系的一场较新辩论中重新浮现。当时，作为对Arthur Jaffe和Frank Quinn一篇有影响力的论文\[9\]的回应，许多数学家表达了自己的看法，其中最著名的是Bill Thurston。在他如今被广泛引用的"论数学中的证明与进步"一文中\[10\]，他为自己的工作辩护，回应Jaffe和Quinn的批评。其他许多回应也值得一读\[11\]。De Toffoli和Duede所在的数学实践哲学\[12\]领域，正是在学术共同体中系统地研究这些问题。 *代数星域图：有理三次多项式的复根。右侧图像为Steve Trettel编写的着色器；代码见shadertoy (https://www.shadertoy.com/view/sfjGWw)。* "Illustrating Mathematics"社群正是从这一绘图与制作数学对象的传统中发展而来。它在2019年于ICERM的一个学期期间成形，并于今年组织了IHP的季度活动\[13\]。它汇集了积极发展图像、模型、软件和数学体验的数学家。一个特别关注的方向是插图作为研究方法所扮演的角色：不仅解释数学，更探索数学。正如一个好的证明展示的不仅仅是它的结论，一个好的图示也远不止于演示一种形式或图案。 我们自己在代数星域图方面的工作\[14\]，包括上面的图像，就是一个小小的例子（与Steve Trettel合作，并有Jayadev Athreya、Gabriel Dorfsman-Hopkins和Claudio Gonzalez加入）。这些图像展示了有理三次多项式复根中的精妙结构。当我们转向使用着色器来绘制图像（右侧）时，代码的一个朴素初稿将圆变成了椭圆。但我们意识到，这种意外的扭曲揭示了一个额外的有意义的结构维度。这些图像呈现的是尚未被探索的数学，而非解释已知的知识。 当然，证明和图示都可能误导人，在研究中尤其如此。大语言模型的能力是有代价的。就图示而言，它们生成代码的能力使插图比以往任何时候都更容易获得。然而，通过vibecoding，我们现在与知识之间隔了两步：甚至创建的算法本身可能都未被理解。 就证明而言，这种"消化"的问题如今已处于聚光灯下。本月 (https://www.quantamagazine.org/update/167384/)\[15\]，在Ioannis Tsiokos的启发下，GPT-6 Astra发现了Chair44——首个三维非周期单调砖。Tsiokos分享了一篇61页的论文\[16\]。他说他理解了直觉性的几何论证，但不理解其中的数学。Chaim Goodman-Strauss随后将该论证浓缩为八页\[17\]，围绕一个匹配箭头的图示展开，使超砖的结构变得可见，给出了关于非周期性的经典分层证明。该形状本身的图示（在Tsiokos的论文中）是揭示关键思想的关键线索。 那么回到我们最初的问题：面对这些问题，一个图示如何才能是严谨的？在论文中，我们借鉴了Valeria Giardino关于表征作为思维工具的论述（*Endeavour* 42, 2018）\[18\]，她考察了图示的可供性（affordance）：图像所引出的解读、操作和推理。我们可以为可供性选择一个更强的定义：证明所认证为准确的图示属性。反过来，证明也可以表明一个看似存在的属性并非真正的可供性。例如，Mandelbrot集的早期图像似乎显示它是不连通的\[19\]，但在像素化图像中，一个比像素间距更细的特征可能被遗漏\[20\]。另一方面，诸如主心形线上某一给定大小的"芽"的数量这类属性，只要像素尺寸相对于其足够小，是可以被证明为正确的。 如果这解决了图像的准确性问题，那它的吸引力或揭示能力呢？这些是没有明确答案的问题，但并非无关紧要。它们也是学院艺术对其学生作品提出的问题，而艺术有一个久经考验的方法："评图"（crit）。在研讨会上，艺术基础教授Jean Schmitt帮助我们建立了一个评图框架，并在整个季度中加以使用。评图是对一件作品的讨论，通常以极少的介绍呈现，旨在揭示观众如何接受它。这种接受与创作者的意图之间有何异同？这为我们已经在进行的非正式对话提供了一个更正式的结构，并将讨论置于一个公共空间之中。评图与Gelfand的莫斯科讨论班风格有某种共通之处。 Schmitt的研讨会演讲\[21\]借鉴了Tim Ingold"在制作中思考"的理念（*Making*, Routledge, 2013）\[22\]，即形式和理解在过程中、在与可用工具和材料的协作中涌现。正如Monge的学生被要求通过绘图的过程来学习，而非通过观察他人的绘图。价值和理解往往与创造的努力同样多，无论是插图还是证明，与观看他人创造的作品一样多。 来自艺术的这些观念，将数学共同体中一直隐含的东西变得明确和可见。作为一名数学家，既关乎呈现或创造自己的研究，同样也关乎成为他人作品的热情观众。作为一个共同体，我们珍视美学、优雅和洞察，我们通过互动发展出了这些共享的价值观。出版和此前未被证明的结果被过度赋予的重要性，只是遮蔽了这些更广泛的价值观，但人们一直在努力寻找方法，确保我们给予它们应有的认可。 支持这些更广泛价值观的基础设施也在不断发展。Geometry Labs United网络\[23\]汇集了众多大学中的小组，本科生和研究生与博士后和教职员工合作，将数学作为研究、实验和可视化来探索。这为通过制作来学习——证明、实验、阐述和图示——提供了一个天然的空间。在许多情况下，证明可以更具语境性，证明某个特定实验或图示的可供性。在制作中学习也与数学教育领域的工作相契合。在我们研讨会的最后一场演讲中，Hortensia Soto展示了如何通过操作实物材料来支持学习者在走向理解过程中的行动、感知和感受\[24\]。 回应Sanderson关于认可超越证明之事物的呼吁，在很大程度上可以是承认和推广已经完成的工作。这项工作正在Illustrating Mathematics社群中发生，也在数学实践哲学、Geometry Labs以及许多其他地方进行。通过与数学教育、科学传播乃至艺术的连接，洞察正在被发现。工作正在进行：正如Sanderson所主张的，它需要的是支持。借助支持，我们能够实现Bryna Kra所描述的目标：一种数学，它继续 "扩大我们推理的能力，打开我们的心灵，拥抱新的理解方式。"\[4\] **参考文献** \[1\] *Rigorous Illustrations: Their Creation and Evaluation for Mathematical Research*，研讨会（2026 T1 WS1），Institut Henri Poincaré，2026年1月。议程与演讲：https://indico.math.cnrs.fr/event/13124/ \[2\] Jarod Alper, Michael Barany, Alain Chavarri Villarello, Sander Dahmen, Walter Dean, Karthik Ganapathy, Michael Harris, David Holmes, Mateja Jamnik, Steven Kelk, Bryna Kra, Ursula Martin, Bartosz Naskręcki, Rodrigo Ochigame, Jim Portegies, and Johannes Schmitt，*Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics*，2026。https://doi.org/10.5281/zenodo.20302944 \[3\] Edmund Harriss and Katherine E. Stange，Mathematical Illustration: Proof, Intuition and AI，*Notices of the American Mathematical Society*，即将发表。https://arxiv.org/abs/2610.02655 \[4\] Bryna Kra，"Deep theorems were scarce and difficult and so became an effective mechanism to identify deep thought. AI has broken this system."，客座文章，*What's New*，2026年9月13日。https://terrytao.wordpress.com/2026/09/13/deep-theorems-were-scarce-and-difficult-and-so-became-an-effective-mechanism-to-identify-deep-thought-ai-has-broken-this-system/ \[5\] Silvia De Toffoli and Eamon Duede，After Math，客座文章，*What's New*，2026年9月12日。https://terrytao.wordpress.com/2026/09/12/after-math/ \[6\] Matilde Marcolli，关于AI与数学的文章，2026。https://www.its.caltech.edu/~matilde/AImathNew.pdf \[7\] Grant Sanderson，If math is more than proof, we need to better celebrate the rest of it，客座文章，*What's New*，2026年9月18日。https://terrytao.wordpress.com/2026/09/18/if-math-is-more-than-proof-we-need-to-better-celebrate-the-rest-of-it/ \[8\] Frédéric Brechenmacher，The flat and the relief: Geometric material models in 19th century France，演讲于\[1\]，2026。https://dx.doi.org/10.57987/IHP.2026.T1.WS1.007 \[9\] Arthur Jaffe and Frank Quinn，'Theoretical mathematics': Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics，*Bulletin of the American Mathematical Society* 29（1993），1–13。 \[10\] William P. Thurston，On proof and progress in mathematics，*Bulletin of the American Mathematical Society* 30（1994），161–177。 \[11\] Michael Atiyah, Armand Borel, Shiing-Shen Chern, et al.，Responses to 'Theoretical Mathematics: Toward a cultural synthesis of mathematics and theoretical physics,' by A. Jaffe and F. Quinn，*Bulletin of the American Mathematical Society* 30（1994），178–207。 \[12\] Silvia De Toffoli and Paolo Mancosu，The philosophy of mathematical practice，*The Stanford Encyclopedia of Philosophy*，2026。 \[13\] Rémi Coulon, Gabriel Dorfsman-Hopkins, Edmund Harriss, Martin Skrodzki, Katherine E. Stange, and Glen Whitney，On the importance of illustration for mathematical research，*Notices of the American Mathematical Society* 71（2024），no. 1，105–115。 \[14\] Edmund Harriss, Katherine E. Stange, and Steve Trettel，Algebraic number starscapes，*Experimental Mathematics*（2022）。 \[15\] Konstantin Kakaes，Software developer finds first 3D "einstein" tile，*Quanta Magazine*，2026年9月23日。https://www.quantamagazine.org/update/167384/ \[16\] Ioannis Tsiokos，Chair44 paper，arXiv:2609.19214，2026。https://arxiv.org/abs/2609.19214 \[17\] Chaim Goodman-Strauss，paper on the Chair44 tile，arXiv:2609.24779，2026。https://arxiv.org/abs/2609.24779 \[18\] Valeria Giardino，Tools for thought: The case of mathematics，*Endeavour* 42（2018），no. 2–3，172–179。 \[19\] Benoit B. Mandelbrot，Fractal aspects of the iteration of z ↦ λz(1 – z) for complex λ and z，*Annals of the New York Academy of Sciences* 357（1980），no. 1，249–259。 \[20\] Adrien Douady and John H. Hubbard，Itération des polynômes quadratiques complexes，*Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I Mathématique* 294（1982），123–126。 \[21\] Jean Schmitt，演讲于\[1\]，2026。https://indico.math.cnrs.fr/event/13124/contributions/14965/ \[22\] Tim Ingold，*Making: Anthropology, Archaeology, Art and Architecture*，Routledge，2013。 \[23\] Jayadev Athreya, David Dumas, William Goldman, Sergey Grigorian, Rosemary Guzman, Philipp Hieronymi, Sean Lawton, Anton Lukyanenko, Jeremy Tyson, and Aaron Wilson，Geometry labs united: An invitation，*Notices of the American Mathematical Society* 65（2018），no. 9，1088–1093。 \[24\] Hortensia Soto，Rigorous and flexible illustrations: Inviting realms of possibilities，演讲于\[1\]，2026。https://dx.doi.org/10.57987/IHP.2026.T1.WS1.017