动力系统辨识的自适应对称性发现

# 动力系统辨识的自适应对称性发现

来源：https://arxiv.org/html/2608.08091

Behrooz Tahmasebi¹¹哈佛大学约翰·A·保尔森工程与应用科学学院，马萨诸塞州剑桥市 02138，美国。电子邮件：\{behrooz\_tahmasebi,mweber\}@seas\.harvard\.edu

###### 摘要

动力系统对由固定底层动力学生成的轨迹数据进行建模，其应用涵盖从生物学到物理学。特别是在科学场景中，动力系统并非一般性的，而是常常表现出由物理定律所强加的对称性，这种对称性通过关于群作用的等变性加以形式化。辨识问题涉及从观测轨迹中恢复系统的参数。本文研究用于动力系统辨识的*自适应对称性发现*，并探讨当一个系统关于某个未知对称群等变时，如何从单条轨迹中辨识该系统。为此，我们首先证明，对于已知对称性，系统可以比一般情形下所需的单条轨迹显著更短地从轨迹中辨识出来，并精确刻画了这一改进。随后我们考虑自动对称性发现场景，提出一种直接从单条轨迹中学习对称群并将其纳入辨识流程的方法，达到与已知对称性情形相同的轨迹最优长度。我们的分析依赖于群表示论和凯莱图展开性质的工具，这些工具对于动力系统中对称性的研究可能具有独立的价值。

###### 目录

1. 1引言 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S1)
2. 2相关工作 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S2)
3. 3问题陈述 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S3)1. 3\.1 特征提升线性动力系统 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S3.SS1)
2. 3\.2 等变动力学 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S3.SS2)
3. 3\.3 单条轨迹的可辨识性 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S3.SS3)
4. 4主要结果 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S4)1. 4\.1 等变辨识的样本复杂度 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S4.SS1)
2. 4\.2 自适应对称性发现 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S4.SS2)
5. 5结论与未来工作 (https://arxiv.org/html/2608.08091#S5)
6. 参考文献 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib)
7. A预备知识 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A1)1. A\.1 群、表示与等变性 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A1.SS1)
2. A\.2 凯莱图、展开图与随机生成元 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A1.SS2)
8. B主要结果的证明 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A2)1. B\.1 定理4\.1的证明 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A2.SS1)
2. B\.2 自适应对称性发现的证明 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A2.SS2)
3. B\.3 定理4\.11的证明 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A2.SS3)
9. C实验 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A3)
10. D符号说明 (https://arxiv.org/html/2608.08091#A4)

## 1引言

经典科学方法长期依赖于发现以简洁可解释方程表达的基本自然规律。近年来数据的丰富以及机器学习和深度学习的快速发展催生了一种互补的科学范式：利用有原则的方法而非特设的建模假设，直接从数据中推断控制规律和方程。在众多建模框架中，动力系统是描述科学中流动、轨迹数据和非独立演化过程的最基本数学形式之一，其应用范围从生物系统到物理流动(Brunton et al.,2016 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib105); Yu and Wang,2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib99); Wang and Yu,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib101))。从数据中发现控制方程的问题，通常通过动力系统的视角来表述(Brunton et al.,2016 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib105))，这一方向有潜力揭示先前未知的科学原理，并大幅加速科学发现。为此，一项核心任务是从数据（观测轨迹）中学习动力系统的参数，这一问题通常被称为*动力系统辨识*。作为系统辨识中一个被广泛研究的话题，针对不同场景已经发展出大量的方法和算法来解决该问题(Van Overschee and De Moor,2012 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib103); Isermann and Münchhof,2011 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib104))。然而，在从数据中进行科学发现的语境下，动力系统通常不是一般性的。相反，它们是有结构的，并且常常表现出由物理定律所强加的（可能是未知的）对称性，这种对称性被形式化为关于某个（可能是未知的）群作用的等变性。几何机器学习领域研究如何以及何时利用此类对称性来改进学习和泛化(Bronstein et al.,2021 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib20); Weber,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib46))。

本文关注几何机器学习与动力系统辨识的交叉领域。受上述考虑启发，我们研究用于动力系统辨识的*自适应对称性发现*问题。我们聚焦于单条轨迹数据和有限群，探讨的核心问题是：当系统关于某个未知对称群等变时，如何辨识该系统，以及如何自动发现并利用这种对称性来提高样本效率，即实现从更短的轨迹中进行辨识。首先，我们证明当对称群已知时，系统可以从比一般情形显著更短的轨迹中辨识出来，并精确刻画这一改进。其次，我们转向自动对称性发现场景，提出一种直接从单条轨迹中学习对称群并将其纳入辨识流程的方法。我们的方法达到与已知对称性情形相同的轨迹最优长度。因此，在温和条件下，对称性发现几乎不产生额外开销，从而可以充分发挥等变性的优势。需要指出的是，虽然近期一些研究与我们的工作密切相关（如相关工作部分所述），但大多数现有方法是启发式的或针对特定模型的，且对于动力系统中对称性发现的可证明定量保证仍然缺乏。相比之下，我们的重点是理解这一问题的理论和基础极限，据我们所知，文献中对这些问题尚未充分探索。最后，我们强调本文使用的工具来自群表示论和有限群凯莱图的展开性质，这些技术在该语境中是全新的，对于研究动力系统乃至更广泛领域中的对称性可能具有独立价值。

简而言之，本文做出如下贡献：

- •我们研究动力系统辨识中的自动对称性发现问题，重点关注对未知有限群不变性的自适应。
- •我们证明对称性可以大幅缩短辨识系统所需的轨迹长度，并且即使对称性未知，也可以通过一种能够自适应底层对称性的新公式实现这一收益。
- •我们的分析利用了群表示论和凯莱图展开性质的工具，这些工具对于对称和等变动力系统的更广泛研究可能具有独立价值。

## 2相关工作

近年来，从数据中学习动力系统的问题受到特别关注，这得益于科学应用和物理引导机器学习的驱动(Brunton et al.,2016 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib105); Yu and Wang,2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib99); Wang and Yu,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib101); Sivaranjani et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib100))。从理论角度看，刻画动力系统何时以及如何从数据中被辨识是一个经典的、已被充分研究的系统辨识问题(Van Overschee and De Moor,2012 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib103); Isermann and Münchhof,2011 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib104))。最近，大量工作聚焦于从带噪声观测中学习动力系统，这一场景超出了无噪声辨识范围，且更具挑战性。例如，Simchowitz et al. (2018 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib79)) 研究从单条带噪轨迹中辨识线性动力系统，随后在类似的单条轨迹假设下扩展到了非线性系统(Foster et al.,2020 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib76); Ziemann et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib80))。除此之外，先前工作还研究了线性时不变系统的有限样本辨识(Sarkar and Rakhlin,2019 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib77); Sarkar et al.,2021 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib75))、涉及多条轨迹的场景(Tu et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib78))，以及单条轨迹上的系统辨识与控制(Fefferman et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib107); Carruth et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib108),2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib109))。相比之下，本文的重点是在辨识动力系统的*同时*进行对称性发现。作为迈向这一目标的第一步，我们聚焦于无噪声单条轨迹场景，这使我们能够在不引入额外统计复杂性的情况下研究对称性的基本作用。

虽然已知的对称性在学习和估计中已被证明能带来经验和理论上的收益，包括改进泛化保证(Tahmasebi and Jegelka,2023 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib8),2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib18))，但在许多应用中，相关的对称性存在但并非*a priori*已知。在这种情况下，对称性必须直接从数据中被检测或发现，这常见于受微分方程控制的物理规律发现中。*自动对称性发现*这一研究方向旨在以有原则的方式识别底层对称性，超越特设或手动设计的方法。文献中已经提出了多种对称性发现方法。深度学习方法用于对称性发现的研究已有若干工作(Desai et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib42); Yang et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib25); Perin and Deny,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib94))，包括基于李代数的卷积网络(Dehmamy et al.,2021 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib43))；另见(Romero and Lohit,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib13); Ko et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib82); Hu et al.,2025c (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib93))。基于无穷小生成元在非线性动力学数据中发现对称性的方法也得到了研究(Hu et al.,2025a (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib85))；参见(Shaw et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib87))的相关方法。此外，已有工作提出在潜空间中发现非线性群作用的方法(Yang et al.,2024a (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib45))，包括超越仿射变换并处理流形结构数据的方法(Shaw et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib44); Bhat et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib95))。另一条研究路线从层梯度中学习对称性以放松硬不变性约束(van der Ouderaa et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib27))，而流匹配最近被用于发现李群对称性(Park et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib90))。关于微分方程和偏微分方程中的对称性发现，参见(Kreider et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib84); Hu et al.,2025b (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib88); Yang et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib91),2024b (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib98))。其他方法包括基于二次型的方法(Karjol et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib89))和可学习的数据增强策略(Santos-Escriche and Jegelka,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib92))。关于使用表示论工具对有限群进行对称性发现，参见(Huh,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib57))。联合发现和强制对称性也已被研究(Otto et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib97))。最后，我们指出对称性发现与对数据中是否存在对称性的（二元）假设检验有本质区别(Soleymani et al.,2025b (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib60))。

近期也有专门针对动力系统中的对称性发现工作。Gabel et al. (2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib102)) 研究了连续动力系统中李点对称性的数据驱动检测，而Calvo-Barlés et al. (2025a (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib81),b (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib86)) 考虑了动力系统中有限对称群的发现。Li et al. (2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib96)) 提出了一种相关方法，引入了对称性的潜混合来表示具有多个对称潜组件的动力系统。最后，我们注意到已有多种方法被提出用于在学习中引入和利用对称性，从规范化(Kaba et al.,2023 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib35); Tahmasebi and Jegelka,2025b (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib30),a (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib31); Shumaylov et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib33))和帧平均(Puny et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib34); Atzmon et al.,2022 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib50); Lin et al.,2024 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib28))到数据增强(Tahmasebi et al.,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib72))。相比之下，本文引入了一种基于群的生成集及其展开性质的方法，与近期关于近似对称性(Tahmasebi and Weber,2025 (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib74))和不变性下的学习(Soleymani et al.,2025c (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib49),a (https://arxiv.org/html/2608.08091#bib.bib73))的工作紧密相关。

## 3问题陈述

我们首先引入基本符号并形式化本文研究的一类动力系统。所需背景的详细回顾见附录A (https://arxiv.org/html/2608.08091#A1)。

#### 动力系统。

一个（离散时间）动力系统由函数