应用模糊隶属函数的回答集编程：一个案例研究

# 采用模糊隶属函数的回答集编程：案例研究
来源：https://arxiv.org/html/2607.03550
11institutetext:迪梅斯系，卡拉布里亚大学，87036 伦德（CS），意大利。
11email:\{luca.ferragina,ilenia.galati,lorena.gullone,francesco.scarcello\}@unical.it###### 摘要

人类推理通常通过语言标签（如“高”、“低”、“昂贵”或“便宜”）表达的定性概念来运作。这些概念的解释依赖于上下文，并且通常是模糊的，尽管它们源自数值数据。本文探讨了一种新颖的基于模糊逻辑的定性扩展——回答集编程（ASP），旨在弥合数值信息与定性推理之间的鸿沟。该底层语言在另一项工作中被正式引入，它提供了一个原则性框架，避免了刚性阈值，并支持在模糊性下的稳健推理。

通过聚焦于一个代表性用例，我们展示了该框架如何将基于数值的输入（例如机器学习模型的输出）与关于定性标签的符号推理集成在一起。关键特性（包括基于学习的隶属函数和语义丰富的谓词）使得能够在统一的声明式设置中结合专家知识、上下文因素和主观解释。

## 1 引言

机器学习的最新进展显著增强了从非结构化数据中提取模式的能力。然而，尽管这些系统具有预测准确性，它们通常仍然难以解释和审计，特别是在决策必须可追溯且基于明确假设的应用中。相比之下，符号推理框架提供了透明性和形式上的严谨性，但它们通常难以捕捉现实世界信息的连续性、噪声性和上下文依赖性。当专家知识通过本质上模糊的定性概念（如“高”、“低”、“严重”、“可接受”）来表达时，这种差距变得尤为明显，即使这些概念源于数值测量。传统方法通常依赖于刚性阈值将数值映射到定性类别，导致行为脆弱，输入的小变化可能引发结果的突然和反直觉变化。

模糊逻辑通过支持基于分级真值的推理，为处理这一问题提供了自然基础。在本工作中，我们建立在一项配套论文中引入的、基于定性标签的ASP模糊扩展之上。该扩展通过隶属函数将语言标签与基于数值的信息明确地耦合。在此框架中，谓词被赋予一组定性标签，其真值程度既受数据驱动的隶属函数（对于输入谓词）约束，也受通过可接受真值配置文件表达的语义兼容性条件（对于派生谓词）约束。让我们通过旅行推荐场景中一个程序中的规则来说明这一点：

推荐\((X,C;affordable)\) ← 客户\((C)\) ⊙ 价格\((F,C;cheap)\) ⊙ 航班\((X,F)\) ⊙ 酒店\((X,H)\) ⊙ 价格\((H,C;cheap)\)\\begin\{split\}\\mathtt\{recommend\}(X,C;\\textit\{affordable\})\\leftarrow&\\mathtt\{client\}(C)\\ \\odot\\mathtt\{price\}(F,C;cheap)\\ \\odot\\\\ &\\mathtt\{flight\}(X,F)\\ \\odot\\mathtt\{hotel\}(X,H)\\odot\\\\ &\\mathtt\{price\}(H,C;cheap)\\end\{split\}
谓词`recommend`包含标签`infeasible`和`affordable`，而`price`由`cheap`、`medium`和`expensive`描述。该规则将`affordable`的程度限制为由体部通过t-范数⊙（例如⊙min）聚合得到的结果，从而反映了可负担性取决于航班和酒店是否都足够便宜。

请注意，这一概念是模糊的，从实际货币价值到“便宜”程度的映射由与谓词`price`相关联的适当隶属函数提供。这种映射可以由那些研究不同个体对货币实际感知价值（通常取决于其年收入）的研究来确定。也就是说，“便宜”的概念并非普遍适用，而是依赖于上下文和主观因素：200美元对于富裕客户来说是中等价格，但对于低收入客户来说则非常昂贵。因此，在这个模糊程序中，经济状况不是作为被动过滤器，而是作为适应概念定义的语义维度。特别地，同一旅行套餐可能从不同用户那里获得不同的可负担性分级评价。

这个例子反映了一个通用设置：数值信息（通常由统计或学习方法产生）被集成到一个逻辑框架中，允许专家自然地表达规则，同时保持对分级结果的控制。

值得注意，我们的语言是经典二值ASP的直接扩展，并且它自然地允许定义和操作清晰谓词与规则。当只有清晰谓词时，所有模糊算子都退化为其经典对应物，即合取、析取和否定，我们恰好恢复了回答集语义。

本文的重点是在一个具体场景（即与工业合作伙伴合作产生的螺丝生产线损伤检测）中说明此方法的实际有效性。在此类环境中，自动视觉检测系统产生来自图像处理和机器学习组件的数值特征（如缺陷大小、形状不规则性或颜色强度）。然后，这些特征必须用与领域专业知识一致的定性术语进行解释，比如评估缺陷是“小”、“中等”还是“严重”，以及螺丝是“可修复”还是应该“丢弃”。

我们的框架通过将每个定性标签与一个隶属函数相关联，实现了这种转换。该函数将数值观测映射到隶属度，从而保留了领域固有的模糊性。在这些输入谓词之上，通过声明式规则定义更高层次的概念，同时可接受的真值配置文件确保最终的定性评估在语义上保持一致。这使得系统能够在出现冲突证据时检测不一致性，并在相关的定性维度之间传播部分信息。

我们阐述了该方法如何支持一个完整的质量控制推理管道：从低级感知，经过定性抽象，到决策行动（如“丢弃”、“返工”或“接受”）。该例子强调了基于数值的数据和符号规则如何无缝集成，产生既灵活又符合特定领域解释的结果。虽然该语言的形式化属性在配套工作中得到了证明，但本文侧重于其在一个具体用例中实现对现实世界决策过程的健壮且富有表现力的建模。

本文的主要贡献是：(i) 在现实的工业损伤检测场景中实例化所提出的定性模糊ASP框架，以及(ii) 设计和原型化一个完整的推理管道，集成数据驱动的隶属函数与基于规则的定性推理。

## 2 相关工作

将不确定性集成到基于规则的推理中，已经从逻辑编程的定量扩展发展到神经符号方法。早期工作 van Emden (1986 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib16)) 引入了衰减因子，而模糊逻辑编程 (FLP) Vojtás (2001 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib7)); Ebrahim (2001 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib18)); Medina 等 (2001 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib20)); Achs and Kiss (1995 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib17)) 采用了真值函数观点。这些想法后来被扩展到结构化形式体系，如描述逻辑和回答集编程 (ASP)。

使用非单调否定处理不确定性已经在广义逻辑程序中得到研究。参数化演绎数据库在 Loyer and Straccia (2003 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib33), 2009 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib34)) 中被扩展，采用了近似良基语义和基于格框架。与此同时，多伴随逻辑编程被丰富了非单调推理 Cornejo 等 (2018 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib35), 2020 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib36))，提供了富有表现力的语义和到更简单片段的翻译。

在模糊描述逻辑中 Straccia (2001 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib28)); Bobillo and Straccia (2008 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib29)); Lukasiewicz and Straccia (2008 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib27))，模糊性通过隶属函数建模，同时保持可判定性。在ASP中，模糊扩展 Alviano and Peñaloza (2013 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib25)); Janssen 等 (2009 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib26)) 使用 [0,1] 真值度概括了稳定模型。CFASP Janssen 等 (2012 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib37)) 表明许多构造可以简化为一个核心语言。进一步的研究解决了否定和不一致问题 Blondeel 等 (2013 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib8)); Van Nieuwenborgh 等 (2006 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib9))，引入了诸如无基自由性等概念。模糊语言逻辑编程 Le 等 (2009 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib10)) 则直接对语言项进行推理。最近，带有存在规则的模糊 Datalog Lanzinger 等 (2024 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib11)) 实现了高表达力，同时保持了可管理的数据复杂度。神经符号 AI 通过结合学习与推理补充了这些发展。DeepProbLog Manhaeve 等 (2021 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib21)) 和 NeurASP Yang 等 (2020 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib23))，以及 SLASH Skryagin 等 (2022 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib22))，将神经输出集成到概率或基于ASP的推理中，而逻辑张量网络 Badreddine 等 (2022 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib24)) 将逻辑约束嵌入到可微框架中。注意，所有这些方法从不同角度阐明了非单调推理、不确定性管理和分级真值如何共存。然而，它们并不将隶属函数和定性标签视为程序语义的主要组成部分，即不包括处理基于定性标签隶属函数如何共变所产生的隐式约束。

## 3 预备知识

在本节中，我们介绍语言的核心元素，包括其语法、语义的基本组成部分以及推理过程的主要算法。

### 3.1 FLASP 的语法

FLASP 中的程序 Π 包括一组常量 C、一组变量 V 和一组谓词符号 P。常量和变量在标准逻辑编程中扮演相同角色。然而，谓词被额外结构丰富以捕捉语言项和模糊信息。

与 Datalog 中的惯例一样，我们区分 P 中两类谓词符号：

- • *输入*（或*外延*，EDB）谓词：其真值度作为程序的输入给出；
- • *派生*（或*内涵*，IDB）谓词：其真值度通过程序内的基于规则推理获得。

我们写 p(x;ℓ) 表示由 p、参数元组 x 和标签 ℓ∈Λp 构成的原子，并将其真值度解释为 x 在由 ℓ 命名的模糊概念中的*隶属度*。每个元数 k 的谓词符号 p(k)∈P 关联一个三元组 ⟨Λp, Mp, Σp⟩，其中 Λp 是描述 p 的语言域的*语言标签*的有限集合，Mp 是*隶属函数*族，Σp 是 S-范数的集合。

对于每个标签 ℓ∈Λp，集合 Σp 提供了一个关联的 S-范数 Sℓ: [0,1]×[0,1]→[0,1]，它满足交换律、结合律、单调性和边界条件 Sℓ(x,0)=x。典型的例子包括 Gödel S-范数，定义为 Smax(x,y)=max(x,y)，以及概率和，定义为 Sprob(x,y)=x+y−x·y。S-范数 Sℓ 聚合了从定义谓词 p 的原子的规则中对标签 ℓ 的真值/隶属度的贡献，而隶属函数则用于确定给定值满足某个语言标签的程度。

#### 隶属函数。

对于 EDB 谓词 p，族 Mp 对每个标签 ℓ∈Λp 包含一个隶属函数 μℓ: D→[0,1]，其中 D 表示底层变量域的笛卡尔积。每个函数 μℓ 将元组 x∈D 赋予一个在标签 ℓ 关联的模糊集中的隶属度。隶属函数是*先验*固定的，例如基于领域专业知识或通过应用于数据的机器学习技术 Medasani 等 (1998 (https://arxiv.org/html/2607.03550#bib.bib3))。得到的隶属度 μℓ(x) 以标准模糊集理论意义解释：μℓ(x)=0 表示非隶属，μℓ(x)=1 表示完全隶属，中间值表示部分隶属（见图 1 (https://arxiv.org/html/2607.03550#S4.F1)）。

方便将 Mp 视为单个函数 Mp: D→[0,1]^Λp，其中每个分量提供一个标签的结果。所有兼容标签向量的集合，

γp := Mp(D) ⊆ [0,1]^Λp，

正是 Mp 的像，并且对于 EDB 谓词，它扮演与下文为 IDB 谓词定义的可接受真值配置文件相同的角色：它记录了实际上可能出现的标签真值度的组合。

对于派生谓词 IDB p，我们希望通过程序规则，根据程序的预期语义计算隶属值。然而，并非所有标签真值度的组合在逻辑上都是有意义的，因此对于 IDB 谓词，我们感兴趣的是隶属值兼容集 γp。在这方面，方便用参数 t 以参数化方式表示它，使得 γp 是一个映射

γp: [ap, bp] → [0,1]^Λp, γp(t) = (γp(t)_ℓ)_{ℓ∈Λp}，

其中*闭区间* [ap, bp] 是参数化域，并且 ∀t∈[0,1]，γp(t) = (γp(t)_ℓ)_{ℓ∈Λp}。