用于二维浅水方程的有限体积信息神经网络框架：崎岖的损失景观与数据指导的重要性

# 面向二维浅水方程的有限体积信息神经网络框架：崎岖的损失景观与数据引导的重要性

来源: https://arxiv.org/html/2605.11001
###### 摘要

物理信息神经网络（PINNs）是一种用于偏微分方程的简单代理建模范式，但其标准的强形式残差公式并不适合浅水方程（SWE）。它无法强制局部守恒、处理间断，或利用实际应用中使用的符合边界的非结构化网格。我们引入了“数据引导型 FVM-PINN”，这是一个用可微的、在平衡态下表现良好的 Roe 黎曼求解器有限体积（FVM）损失替代强形式残差的框架，该损失在非结构化网格上计算。主要发现是，仅基于物理的 FVM-PINN 训练在现实的二维问题上经常失败：网络会崩溃到一个平凡的低动量状态，该状态几乎满足 FVM-PINN 残差，但与真实流场毫无相似之处。损失景观诊断显示，零动量处的 FVM-PINN 损失仅比训练解处大 $7 \times$，这是一个普通优化器容易陷入的浅盆地；即使添加稀疏数据，也能将这种分离扩大至 $310 \times$，从而打破简并性。在一个二维通道内障碍物基准测试中，仅使用 200 个随机速度测量值，相较于仅使用物理约束，速度场的 $L_2$ 误差降低了 $22 \times$；50 个测量值仍能带来 $7 \times$ 的误差降低。受控消融实验隔离了 FVM-PINN 损失的贡献：在稀疏数据 regime 下，它将速度场的 $L_2$ 误差降低了约 $23\%$，而在密集参考数据可用时基本无影响。在一个真实的萨凡纳河段（1306 个单元，3600 秒模拟，五个曼宁系数区域）上，该框架利用 SRH-2D 锚定数据构建了准确的代理模型，通过时间窗口分解和渐进式初始条件交接，误差单调减少。

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宾夕法尼亚州立大学土木与环境工程系，美国宾夕法尼亚州大学公园
宾夕法尼亚州立大学计算与数据科学研究所，美国宾夕法尼亚州大学公园

\textbackslash correspondingauthor

刘晓锋 xzl123@psu\.edu

\{keypoints\}

*   为非结构化网格上的二维浅水 PINN 引入了一种可微的、平衡态表现良好的 Roe 有限体积损失
*   仅基于物理的 FVM-PINN 的损失景观崎岖不平，存在许多浅局部极小值，这些极小值几乎满足偏微分方程
*   数据引导，即使是稀疏测量数据，也能打破简并性，对于收敛到正确解至关重要

## 通俗语言摘要

洪水、风暴潮、海啸淹没、湖泊和水库循环以及地球科学中的其他自由表面水流，通常由在非结构化网格上工作的数值求解器进行模拟。虽然这些求解器准确，但每次新场景都需要从头重新运行，且难以与现场测量数据结合。神经网络代理承诺提供更快的预测和内置的敏感性分析，但标准的物理信息神经网络不尊重质量和动量守恒，且不适合实际应用中使用的网格类型。我们用基于流行 SRH-2D 模型的真实网格上计算的有限体积平衡替换了神经网络的物理约束。我们的核心发现是，仅靠物理约束是不够的：网络可能崩溃到一个平凡的近零流状态，该状态名义上满足方程但不符合现实，即使少量的速度测量也足以打破这种简并性并将网络锁定到正确解。对于真实河段的长时间模拟，将时间间隔分割成相互交接初始条件的较短窗口能进一步提高精度。相同的方法直接适用于其他深度平均流问题，如沿海风暴潮、海啸淹没以及湖泊或水库循环。

## 1 引言

浅水方程（SWEs）是水资源和地球物理流体动力学中的骨干数学模型。它们描述了河流、河口、沿海地区、湖泊和城市洪泛区的自由表面流；以及冰川湖溃决洪水和溃坝波等地球物理灾害。SWEs 的各种简化形式也是水文陆地表面模型和地球系统模型中嵌入地表水路由方案的基础，在其中提供了大陆水文、沿海海洋和气候系统之间的动力桥梁。这些领域的运行预报、气候影响评估和风险映射都依赖 SWEs 作为主力模型，SWEs 求解方法的改进直接传播到许多领域的实际运作中。

基于有限体积法（FVM）的数值模型，如 HEC-RAS、SRH-2D 和 LISFLOOD\[brunner1995hec,lai2010srh2d,lai2008srh2d\_manual,van2010lisflood\]，在任意非结构化网格上提供准确解，是河流 hydraulics 和沿海流中洪水灾害评估、基础设施设计、洪泛区映射和沿海淹没研究的标准工具。尽管准确，但从机器学习和反问题角度来看，FVM 求解器存在根本局限性。每组新的边界条件、初始条件或参数值都需要独立的模拟。解相对于输入和参数的解析梯度不易获得。对于运行预报和集合尺度不确定性量化，实时推断是不可行的。

这些局限性使 SWEs 处于近期推动物理感知机器学习和流动建模可微计算的中心\[liu2025uswe\]。物理信息和算子学习代理承诺提供带有梯度、评估快速的传统双曲求解器替代方案，直接应用于上述地球物理领域中的反问题、敏感性分析、参数校准和数据同化。在现实应用配置（通常包括非平凡的地形、多个粗糙度区域和类似激波的特征）中实现这一承诺，需要在操作水文和水力模型所使用的非结构化网格上，将守恒律结构与神经代理进行忠实于离散化的耦合。这一方向是向可微地球系统组件更广泛转变的一部分，其中耦合水文-沿海-气候管道的每个模块都具备梯度感知能力，并适用于大规模集合数据同化、反问题和不确定性量化\[Shen2023\]。非结构化网格上的二维 SWEs 是首批完全可微、平衡态表现良好、激波捕捉神经代理触手可及的组件之一\[liu2025uswe\]。

在众多构建神经代理的方法中，物理信息神经网络（PINNs）\[raissi2019pinn\]或许是最简单的一种。本文使用 PINN。然而，该方法可以相对容易地扩展到神经算子学习等其他方法。PINN 提供了一种互补能力：神经网络参数化解 $\mathbf{Q}(\mathbf{x},t)$，并通过最小化编码偏微分方程（PDEs）、边界/初始条件及可用观测值的损失进行训练。一旦训练完成，网络可在毫秒内评估任意时空点，提供解析梯度，并可相对于未知物理参数进行微分以实现反演。然而，标准 PINNs 存在众所周知的弱点，对于 SWEs 而言至关重要：$(i)$ 强形式残差假设解光滑，但 SWE 解通常包含间断；$(ii)$ 最小化点对点残差不能保证质量或动量在局部和全局守恒；$(iii)$ 没有机制来强制区分物理激波和非物理激波的熵条件；$(iv)$ PINNs 在离散配点上运行，没有网格连通性概念，难以利用实践中使用的符合边界的非结构化网格。

在文献中，第一波工作应用强形式 PDE 残差在配点上的 PINNs 来解决 SWE 问题。\citeAbihlo2022pinn\_swe\_sphere 使用多模型时间窗口方法在球面上求解 SWE，\citeAdazzi2024pinn\_swe 处理了带地形的 SWE 并将数据同化作为次要特性讨论。\citeAbrecht2025pinn\_tsunami 将 PINNs 扩展到海啸淹没建模，\citeAtian2025pinn\_swe 解决了带有降雨和地形源项的二维 SWE。\citeAqian2024pinn\_swe\_datafree 展示了在简单分析基准上针对二维 SWE 的无数据 PINNs。这些工作均未涉及单元级守恒、通过黎曼求解器进行激波捕捉或符合边界的非结构化网格，而这三者共同定义了我们要针对的真实世界应用场景。

第二条研究路线开始通过将强形式 PDE 残差替换为基于有限体积或 Godunov 的损失来解决这些局限性。\citeAwei2025fvmpinn 和 \citeAwei2025ffvpinn 用结构化网格上不可压缩流的 FVM 离散化替换自动微分，实现了巨大的加速。\citeAcassia2025godunov\_loss 引入使用 HLLC 黎曼求解器的 Godunov 损失函数用于二维可压缩欧拉方程，证明了强形式 PINNs 无法提供的激波捕捉能力。\citeAsu2024fvpinn 使用高斯定理降低所需导数的阶数，\citeAmei2024ufvpinn 嵌入了针对异质 PDE 的可微 FVM 求解器，\citeAzhu2026sfvnet 开发了带有 FVM 损失的 U-Net 用于可压缩欧拉系统。对于一维问题，\citeAurban2025lrpinn 结合 Roe 的黎曼求解器用于水动力学，\citeAoubarka2026wepinn 提出了在无网格控制体积上的弱形式和熵感知 PINNs，\citeApatsatzis2025gorinns 引入了 GoRINNs，结合浅神经网络与 Godunov 型 FVM 方案学习未知通量闭合，在一维系统（包括 SWE）上进行了演示。所有这些方法要么在结构化笛卡尔网格上操作，要么无网格，要么限于一维，没有任何一种针对非结构化网格上的二维 SWEs，这是现实世界应用中的标准配置。

互补文献记录了标准 PINNs 在刚性或双曲系统中的失败模式并提出替代公式。\citeAkrishnapriyan2021failure 表征了强形式 PINNs 的优化失败并提出时间推进课程作为补救措施。特别针对双曲守恒律，\citeAderyck2024wpinn 引入了 *wPINNs*（弱 PINNs），惩罚对范数残差，并证明它们近似熵解；其构建是无网格的并在 Burgers 方程上测试。\citeAjagtap2020cpinn 在离散域上引入了守恒 PINNs（cPINNs），\citeApatel2022conservative 提出了热力学一致的空间-时间控制体积 PINNs 用于双曲系统，以概念相关但不同于我们基于面的 Roe 公式的方式强制守恒。我们在本工作中记录的失败模式与这些互补：而不是错误的波速，我们识别出 FVM 残差的一个平凡低动量极小值，在缺乏监督数据的情况下优化器会陷入其中，这是任何在零速度下面通量贡献消失的单元守恒损失的结构特性。

原始 PINN 公式\[raissi2019pinn\]支持观测数据作为额外的损失项，主要作为反问题的特征。对于简单几何的前向问题，数据传统上被视为可选。对于现实二维 SWEs 上的 FVM-PINN，我们相反地表明数据是必需的：它是打破平凡极小值简并并引导优化器走出损失景观中浅盆地的机制。我们此外通过物理开/关消融量化了 FVM 残差本身在不同数据密度下的贡献。据我们所知，这种贡献分解方法此前未应用于 FVM-PINN 训练。

为了解决上述局限性，本工作的贡献如下。我们提出了数据引导型 FVM-PINN，一个保留基于 FVM 损失的守恒强制属性同时结合观测或模拟数据以在现实问题上稳健收敛的框架。具体来说，$(i)$ 我们构建了一个可微的、平衡态表现良好的 Roe 近似黎曼求解器，来自 \citeArogers2003mathematical 和 \citeAliu2025uswe，直接在扰动形式状态 $\mathbf{Q}=[\xi, uh, vh]^T$ 上工作；不同于所有先前的 FVM-PINN 方法\[wei2025fvmpinn,wei2025ffvpinn,su2024fvpinn,mei2024ufvpinn,zhu2026sfvnet,cassia2025godunov\_loss\]，这些方法在结构化笛卡尔网格上操作并针对不可压缩流或可压缩欧拉系统，我们的框架原生支持非结构化网格；$(ii)$ 我们记录并定量诊断了一种仅基于物理的失败模式，其中 FVM 残差损失允许一个近平凡的低动量极小值，优化器容易陷入其中，产生几乎满足守恒但与真实流场毫无相似之处的解；损失景观诊断（第 6.1 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S6.SS1)）显示零动量处的 FVM 盆地仅比训练解处深 $7 \times$，而数据损失区分了这两种状态；$(iii)$ 我们表明稀疏观测数据足以打破二维 SWEs 中的平凡极小值简并性；$(iv)$ 我们将框架应用于 11 公里长的萨凡纳河段，使用 SRH-2D 锚定数据作为监督，其中时间窗口分解通过渐进式初始条件交接单调减少误差。

本文其余部分组织如下。第 2 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S2) 描述了扰动形式下的二维 SWEs、FVM 离散化和标准 PINN 公式。第 3 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S3) 提出了包括数据引导训练的 FVM-PINN 公式。第 4 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S4) 描述了可扩展性策略。第 5 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S5) 报告了数值实验。第 6 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S6) 讨论了损失景观诊断和 FVM 残差依赖于 regime 的贡献。第 7 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S7) 反思了本工作的局限性并概述了未来方向。第 8 节 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S8) 总结。

## 2 控制方程、FVM 离散化和 PINN 公式

### 2\.1 扰动形式下的二维浅水方程

我们采用由 \citeArogers2003mathematical 引入并由 \citeAliu2025uswe 的通用 SWE 可微求解器使用的二维 SWEs 的平衡态扰动形式。二维 SWEs 扰动形式的示意图如图 1 (https://arxiv.org/html/2605.11001#S2.F1)(a) 所示。守恒变量为

$$
\mathbf{Q}=\begin{pmatrix}\xi\\ uh\\ vh\end{pmatrix},\qquad\xi(\mathbf{x},t)=h(\mathbf{x},t)-h_{s}(\mathbf{x}), \quad (1)
$$

其中 $h$ 是水深，$h_{s}=\max(0, w_{s}-z_{b})$