面向物理系统群体动力学学习的双参数流

# 学习物理系统群体动力学的双参数流
来源: https://arxiv.org/html/2605.26285

###### 摘要

本文解决了一个问题：如何利用未标注样本学习高维概率密度随时间演化的动力学，且不假设能够访问轨迹信息。我们引入双参数流，该流仅学习从基础分布到每个边际分布的采样时间传输，然后通过对耦合的合成轨迹进行回归来提取物理时间速度。我们证明，由此产生的物理时间动力学是唯一的，并且继承了采样时间传输的正则性。由于我们可以利用成熟且发展完善的**条件流匹配**技术来学习基础到边际的传输，我们的方法能够扩展到高维空间，避免了逐步最优传输耦合，同时允许非梯度动力学，这可以自然地解释旋转或循环的物理现象。

双参数流，群体动力学推断，条件流匹配，随机插值，时间边际学习，非梯度传输，物理时间速度场

## 1 引言

### 1.1 学习群体动力学

#### 动机：代理建模

从数据中学习动力学是科学与工程中的一个核心挑战，特别是在为复杂物理系统构建代理模型时。这样的代理模型对于逆问题、不确定性量化和设计等外环应用至关重要，这些应用需要在众多参数配置和初始条件下重复评估底层动力学（Peherstorfer et al., 2018 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib35)）。在这些场景中，仅依赖高保真数值求解器通常在计算上过于昂贵。因此，即使存在高保真数值模型可用于生成训练数据，它对于解决外环应用也是不够的，因为在外环中所需的多次重复模拟成本过高。因此，目标是从数据中推断出动力学规律，这些规律可用于在外环应用中对之前未见过的参数和初始条件进行快速准确的预测。

#### 样本动力学与群体动力学

在可获得完整轨迹数据的确定性环境中，学习动力学通常被表述为通过在训练轨迹上最小化逐点差异（例如均方残差）来拟合模型。我们称之为学习**样本动力学**（或逐点拟合），因为目标是近似单个训练轨迹（Li et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib28); Lu et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib31); Kovachki et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib25)）。相比之下，我们关注随机和混沌系统，在这些系统中，学习单个轨迹的动力学通常没有意义且信息量不足（参见例如 Neklyudov et al. (2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib34)); Blickhan et al. (2025 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib9)) 的讨论）。因此，我们寻求其动力学在**定律**上与训练数据一致的模型，这意味着目标不是预测单个样本轨迹，而是学习描述底层概率定律演化的**群体动力学**。

#### 示例：随机游走的群体动力学

一个简单的例子说明了群体动力学的有用性以及样本轨迹学习的局限性。考虑随机微分方程 (SDE) dx_t = σ dW_t，并假设 x_0 ~ N(0, I) 与维纳过程 W_t 独立。相应样本的定律是 ρ(t) = N(0, (1 + t σ²) I)。该系统的样本轨迹（路径）几乎处处不可微，这使得对样本轨迹进行逐点回归本身就很粗糙。相比之下，相同的边际演化可以由一个确定性常微分方程组 (ODE) ẋ_t = u(x_t, t) 生成，其中速度 u(x_t, t) = σ² x_t / (2(1 + σ² t))，初始条件 x_0 ~ ρ(0)，其解是光滑的，并明确给出为 x_t = √(1 + σ² t) x_0。因此，虽然样本轨迹难以（并且在精确意义上不可能）逐点捕捉，但关联的群体动力学却具有简单、光滑的表示，并且可以从数据中推断出来。

#### 推断群体动力学

给定定义在域 X ⊆ R^d 上的时间边际分布 (ρ(t))_{t∈[0,T]}，该分布具有密度 ρ(·,t): X → R，我们寻求一个速度场 u: R^d × [0,T] → R^d，使得诱导的流常微分方程 (ODE)

d/dt x_t = u(x_t, t), x_0 ~ ρ(0),

能够产生指定的边际分布 (ρ(t))_t，即对于所有 t∈[0,T]，有 x_t ~ ρ(t)。若速度场 u 对于 (ρ(t))_t 是**可接受的**，则它在分布意义下满足连续性方程

∂_t ρ(x,t) + ∇·(ρ(x,t) u(x,t)) = 0, 在 X 上,        (1)

我们注意到，可接受的速度场通常不是唯一的。实际上，如果 u 是可接受的，并且 w 满足 ∇·(ρ w) = 0，则 u + w 也是可接受的。这种非唯一性突出表明，学习群体动力学通常需要一个额外的选择原则（例如结构约束或最优性准则）来识别可接受向量场中的规范代表。

a
x_{t,s} = Φ(a, t, s)
x_{t',s}
v(x_{t,s}, t, s)
u(x_{t,s}, t, s)
v(x_{t',s}, t', s)
u(x_{t',s}, t', s)
图 1：**纵向学习，横向预测**：沿着 v 的采样时间 s 中的纵向流：∂_s Φ = v∘Φ 通过现有可扩展的生成建模方法来学习。训练后，我们隐式定义了一个横向流 u∘Φ = ∂_t Φ，我们可以在第二步回归中将其显式化，并用于物理时间 t 中的快速推断。

参见图注

参见图注

图 2：来自曲线 t ↦ ρ(t)（从左到右：t∈[0,1]）的快照。第一行显示分段最优传输：样本在所有 t 中保持其颜色，并按照 (Terpin et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib45)) 中的分段 OT 在边际之间移动。第二行显示 TPF 动力学相似，但更规则：特别是在较晚的时间，由连续 OT 映射定义的流在 d x_{t,1}/d a 中发展出尖锐的梯度。

### 1.2 我们的方法：双参数流

我们引入双参数视角来学习群体动力学：我们学习将参考（基础）分布传输到每个时间边际 ρ(t)，然后利用诱导的结构获得物理时间方向上的动力学，以随时间 t 演化 ρ(t)。从参考到时间边际的传输可以通过例如标准条件流匹配模型和随机插值器（Lipman et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib29); Albergo & Vanden-Eijnden, 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib3)）获得，该模型将所有 t 的 ν 动态映射到 ρ(t)。

我们的关键观察是，一旦固定了从基础到所有 t 的 ρ(t) 的传输，就存在一种唯一一致的方式在物理时间 t 上连接这些传输。换句话说，指定一个方向上的流（从基础到 ρ(t)）会隐式地从与边际分布 (ρ(t))_t 通过 (1) 兼容的众多可接受速度场中选择一个单一的、定义良好的物理时间速度。

我们证明，诱导的物理时间速度场保证产生正确的边际演化，并且从基础到 ρ(t) 的传输中继承正则性。特别地，我们证明了物理时间速度场的正则性界限，这些界限可以直接用训练好的（条件流匹配/随机插值器）从基础到时间边际的速度的正则性来表示，这意味着如果从基础到时间边际的传输是规则的，那么物理时间中的动力学也是规则的。

总的来说，我们的双参数流方法为学习群体动力学提供了一种原则性和可扩展的管道：使用成熟且可扩展的工具训练采样时间（纵向）条件流，然后提取相应的物理时间（横向）动力学，以生成新初始条件和参数的新轨迹；参见图 1 (https://arxiv.org/html/2605.26285#S1.F1)。

### 1.3 相关工作与最优传输

#### 最小动能速度场

现有文献在很大程度上关注最小动能场，这是一个特定的可接受速度场，定义为在可接受 u 中受连续性方程约束的情况下，最小化

E(u) = 1/2 ∫_0^1 ∫ ||u(x,t)||^2 ρ(x,t) dx dt        (2)

的唯一解。该最小化器具有梯度形式，因此可以表示为 u_min = ∇φ，其中势 φ: R^d × [0,T] → R。

#### 学习势的方法

Neklyudov et al. (2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib34)); Berman et al. (2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib8)); Blickhan et al. (2025 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib9)) 旨在推断这个特定的最小动能速度场。特别是，这些方法通过参数化然后学习势 φ 来硬编码梯度结构 u = ∇φ。

#### 成对最优传输耦合

另一类工作，例如 (Terpin et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib45))，受到最优传输 (OT) 理论的启发。这里，计算了连续时间点云之间的 OT 耦合。计算这些耦合后，可以基于连续应用 OT 映射定义的轨迹来学习速度场。由于沿曲线 t ↦ ρ(t) 的无穷小最优传输映射在极限 δt → 0 处收敛于可接受的最小能量向量场（Ambrosio et al., 2005 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib5), 命题 8.4.6），这种方法最终针对的是可接受的最小动能场。看待这个特定选择的另一种方式是学习时间相关 Wasserstein 梯度流的势。这些方法通常以 Jordan-Kinderlehrer-Otto (JKO) 形式命名（Jordan et al., 1998 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib23)），并且近年来受到了相当大的关注（Tong et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib46); Alvarez-Melis et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib4); Bunne et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib10); Lavenant et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib26); Persiianov et al., 2026 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib36)）。

#### 薛定谔桥

JKO 方法的随机类比，薛定谔桥匹配通过随机过程而非 OT 映射连接时间边际 ρ(t_j) 和 ρ(t_{j+1})（Chen et al., 2019 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib12), 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib11); Shen et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib40); Hong et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib20)）。这种方法将推断视为 SDE 积分。得到的向量场也具有梯度形式，但遵循不同的选择标准，参见 (Léonard, 2014 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib32), 定义 2.1) 和 (Villani, 2009 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib47), 第 7 章)。

#### 轨迹数据的自回归生成建模及其他相关文献

有一系列方法（Hoogeboom et al., 2022 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib21); Rühling Cachay et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib39); Chen et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib13); Price et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib38)）用于学习自回归扩散和基于流的模型，其基础例如 (Sohl-Dickstein et al., 2015 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib41); Ho et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib19); Hyvärinen, 2005 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib22); Song et al., 2019 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib43); Song & Ermon, 2019 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib42); Song et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib44); Albergo et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib2); Lipman et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib29); Liu et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib30)）。这些方法旨在学习描述从当前状态到下一状态转移的条件定律，这与我们考虑的问题截然不同，它更类似于学习样本级轨迹动力学而非群体动力学。作为附带说明，我们注意到有些方法学习分布的得分，并额外利用漂移和/或扩散系数来推导生成模型（Li et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib27)）。在以下内容中，我们无法获取漂移和扩散系数，仅能访问数据。此外，我们注意到有关于学习时间条件归一化流的工作（Arend Torres et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.26285#bib.bib6)）；相比之下，我们使用从基础度量到时间边际的传输只是迈向提取显式物理时间速度的可扩展第一步。

### 1.4 双参数流与最优传输

#### 为什么我们不针对最小动能场

最优传输/最小动能场在数学上是规范的，但它通常不是建模要求。由于 u 在缺乏额外结构的情况下无法识别，选择最小动能表示是一种原则性的惯例，但是