数学和理论计算机科学领域的十项进展

# 数学与理论计算机科学领域的十项进展 来源：https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/ - 结果 (https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/#the-results) - 对数学界的责任 (https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/#responsibility-to-the-mathematical-community) 我们希望为科学家和数学家提供加速发现的工具。因此，我们最近宣布了 ChatGPT for Academic Researchers（https://openai.com/index/chatgpt-for-academic-researchers/），该计划为 100,000 名科学家和数学家免费提供我们最好的 ChatGPT 模型。我们还继续在开发过程中评估我们的模型在开放研究问题上的表现。 今年五月，我们分享了一个 AI 生成的驳斥（https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/），针对 Erdős 单位距离猜想，该结果是在评估一个未发布模型时发现的。这项工作已经在数学和理论计算机科学领域激发了进一步的发展 1 (https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/#citation-bottom-1)。今天，我们分享十个问题的结果，这些问题一直处于开放状态，且主结果至少十年没有进展，大多数情况下更久。这些问题涵盖高维几何、编码理论、算术电路复杂度、群论、算子代数、量子复杂性、格密码学和极值组合学。所有这些问题都对其各自的数学界具有重大意义，其中几个在整个数学界受到广泛关注。 ## 结果 我们为以下问题提供了新的结果。这些结果由我们下一个主要模型 Astra 的内部版本取得。以 Sol API 费率计算，找到这些问题的解决方案所需的总 token 数大约花费 2,000 美元。随后，人类使用同一个模型将这些论证整理成手稿。之后，该模型将每个论证形式化为 Lean 证书(在新窗口中打开) (https://github.com/openai/ten-proofs)。我们还为每个解决方案发布了模型对其思维过程的叙述。 1. **高维球堆积。** 新的球堆积密度上界，直至 Cohn–Elkies 阈值。 2. **二元码和球面码：** 在任意给定最小距离下，二元码最大规模的指数级改进上界，并对高维球面码有类似结果。 3. **非 sofic 群。** 一个构造，确立了非 sofic 群的存在性，回应了群论中的一个核心开放问题。 4. **Connes 刚性猜想。** 驳斥了一个长期存在的猜想，即某些群由其 von Neumann 代数唯一确定。 5. **算术电路复杂性。** 使用算术电路和公式计算积和式的新下界，包括一个阶为 n4/log n 的算术公式下界。 6. **量子并行重复。** 关于一般双人量子博弈的指数级并行重复定理，扩展了经典复杂性理论中的一个基础原理。 7. **最近向量问题。** 最近向量问题的多项式因子近似困难性，这是一个与后量子密码学相关的基础格问题。 8. **Ehrhart 体积猜想。** 确定在每个维度中，其质心是唯一内部格点的凸体的最大可能体积。 9. **多色 Ramsey 数。** 关于多色三角形 Ramsey 数的超指数下界，解决了 Erdős 问题 183。 10. **极值数猜想。** 关于极值图论中紧致性和退化性猜想的结果，解决了 Erdős 问题 146 和 180。 ## 对数学界的责任 能够为数学研究做出贡献的系统的出现，提出了不能仅由技术公司回答的问题。关于 AI 在数学中的角色存在许多观点，我们深切尊重和理解那些担心其影响的人，包括《莱顿人工智能与数学宣言》(在新窗口中打开) (https://leidendeclaration.ai/) 的签署者。我们认为，署名应诚实地反映结果的产生方式：将完全由 AI 系统生成的证明归于人类作者，会同时歪曲系统的贡献和真正人类智力工作的本质。我们帮助准备了手稿并在 Lean 中形式化了证明，我们对其正确性负责，而数学论证本身是由我们的系统生成的。我们希望数学界能深入审视这些结果，将它们置于适当的背景中，并通过新的研究和发现让这些背后的思想焕发生机。 随着 AI 系统演变为更复杂的研究合作者，确保广泛的可及性对于支持科学家和数学家在这一变革时代导航并定义其学科未来至关重要。 - 2026 (https://openai.com/research/index/?tags=2026) ## 脚注 1. 1后续研究包括 Bloom、Sawin、Schildkraut 和 Zhelezov 的“The sum-product conjecture is false for real numbers(在新窗口中打开) (https://arxiv.org/abs/2605.28781)”；Pohoata 的“Split primes and the Elekes-Rónyai problem(在新窗口中打开) (https://arxiv.org/abs/2606.13619v2)”；Saha、Xu 和 Ye 的“Furthest Pair Requires Quadratic Time in Superconstant Dimension under SETH(在新窗口中打开) (https://arxiv.org/abs/2606.25887)”；Goh 和 Hatami 的“Communication complexity of point-line incidences over the reals(在新窗口中打开) (https://arxiv.org/abs/2606.25192)”；以及 Lee、Pohoata 和 Zhu 的“The Minkowski grid has robustly many repeated distances(在新窗口中打开) (https://arxiv.org/abs/2607.05374)”。