基于利润的反事实解释用于产品改进：日本漫画销售案例研究

# 基于利润的反事实解释用于产品改进：以日本漫画销售为例*
来源：https://arxiv.org/html/2607.01610
Keita Kinjo¹ 与 Takeshi Ebina²\* 本研究得到日本学术振兴会科研费资助。¹K. Kinjo 隶属于共立女子大学商学部，地址：日本东京都千代田区一桥2-2-1，邮编101-8437（通讯作者；电话：+81-3-3237-2159；邮箱：[email protected]）²T. Ebina 隶属于明治大学商学部，地址：日本东京都千代田区神田骏河台1-1，邮编101-8301；邮箱：[email protected]

###### 摘要

反事实解释（Counterfactual Explanation, CE）被广泛用于增强机器学习模型的可解释性，并支持基于模型预测的数据驱动决策。然而，现有的 CE 方法通常需要两个外生指定的输入：期望的输出值（目标值）和量化解释变量变化的距离函数。在回归设定中，目标值指定的合理性以及距离度量的实际解释均未得到充分探讨。此外，大多数现有 CE 方法侧重于改变预测结果，而非优化决策目标，尽管现实世界的决策往往需要明确的目标最大化。为解决这些局限性，我们将 CE 构建为管理和营销背景下的利润最大化问题，并提出一个名为基于利润的反事实解释（Profit-Based Counterfactual Explanation, PBCE）的框架。PBCE 通过直接最大化利润作为主要优化目标，消除了对外生目标指定的需求。同时，距离项被重新解释为修改产品属性的成本，从而提供了清晰且具有经济基础的解读。

## I. 引言

人工智能（AI）和机器学习的应用正在各个领域迅速扩展。特别是在经济学、医疗健康和市场营销等领域，基于机器学习的预测和控制方法得到了越来越多的应用。尽管具有强大的预测性能，许多机器学习模型拥有高度复杂的内部结构，通常被视为黑箱模型，其预测背后的推理过程无法明确解释。因此，理解某个预测为何产生，或者决策者应如何应对，往往十分困难。

因此，大量研究致力于提高机器学习模型的可解释性和可说明性[1 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib1)]。许多方法被提出用于从黑箱模型中提取人类可理解的信息。反事实解释（CE）已成为解释个体预测的突出框架[2 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib2), 3 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib3), 4 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib4)]。CE 的基本概念如下：给定一个训练好的机器学习模型和某个特定实例的预测值，CE 识别出解释变量应如何修改，以使预测结果向期望的目标值移动。同时，通常会施加一个约束，确保修改后的解释变量不会过度偏离其原始输入值。这通常通过最小化原始输入与反事实输入之间的距离来实现。换句话说，CE 问题被形式化为寻找那些同时最小化相对于目标值的预测损失以及与原始输入距离的反事实实例。通过呈现反事实例子，CE 使用户能够识别出在生成预测中起重要作用的解释变量。CE 的概念也与算法补救（algorithmic recourse）密切相关，并且在理论上与对抗样本生成的研究有联系[4 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib4)]。目前已有多种 CE 方法被提出，它们在模型类型（例如，可微分模型 vs. 不可微分模型）、提取策略、数据格式（例如，表格、图像或文本数据）以及设计目标（如可操作性、合理性和公平性）上有所不同[4 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib4), 5 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib5)]。

尽管取得了这些技术进步，CE 框架仍然面临几个重要挑战。第一个问题是如何外生指定目标值。在分类问题中，一个自然的目标是通过翻转预测标签来定义。相比之下，在回归设定中，合适的目标值并未明确定义。虽然许多研究假设目标值是外生给定的，但这一假设的实际合理性尚未得到充分讨论。第二个问题是距离函数的解释问题。在 CE 中，最小化原始输入与反事实输入之间的距离是常见的做法[6 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib6)]，因为这被认为可以提高解释的可接受性和可行性[7 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib7)]。然而，距离函数通常是外生定义的，例如使用欧几里得距离，其与修改解释变量的实际成本之间的对应关系往往不明确。第三个问题是，大多数现有 CE 研究主要关注如何改变预测结果，而非应优化哪些决策。在实际决策环境中，定义合适的目标函数并对其进行优化，往往比仅仅将预测结果推向某个特定目标值更为重要。

基于这些动机，本研究旨在回答以下研究问题：如何将 CE 形式化，以直接支持以利润为导向的管理决策？为回答此问题，我们聚焦于营销中的产品策略，将 CE 计算问题重新定义为利润最大化问题，并提出了一个名为基于利润的反事实解释（PBCE）的框架。

本研究做出了三项贡献。首先，我们通过引入一个将利润最大化视为主要目标的框架，避免了在 CE 中外生指定目标值。也就是说，通过调整战略变量以最大化利润，从而消除了对因变量外部目标指定的需求。其次，我们通过将距离函数解释为与产品属性变化相关的成本，解决了距离函数的任意性问题。这种解释为 CE 方法中常用的数学距离度量提供了具有经济意义的表述，并使得能够从经济角度评估反事实解决方案的可行性。第三，我们进行了理论和实证分析以验证所提出的方法。具体而言，我们通过理论分析推导了解析解，通过模拟进行了数值验证，并利用日本漫画市场数据进行了实证分析。这些分析证明了所提方法的有效性，并提供了实际的管理启示。

Tsirtsis 和 Gómez-Rodríguez（2020）将 CE 形式化为决策者与解释对象之间的战略互动，并提出了一个同时优化解释策略和政策的理论模型[8 (https://arxiv.org/html/2607.01610#bib.bib8)]。在他们的框架中，距离函数被解释为努力成本。相比之下，本研究在管理和营销的利润最大化框架内重新构建了 CE，明确赋予了距离和成本的经济解释。本文其余部分组织如下：第二节介绍了问题设定。第三节进行了理论分析。第四节描述了所提方法和实证分析。第五节讨论了结果并指出了未来研究方向。

## II. 问题设定

与需要外生指定目标值的传统 CE 方法不同，PBCE 在以下一般设定下将 CE 重新定义为利润最大化问题。

\((x_n^*, p_n^*) \in \underset{x_n, \, p_n}{\operatorname{argmax}} \; p_n f(x_n, p_n) - c\left(f(x_n, p_n)\right) - c_{cg}(x_n, x_n^b).\)

设 \(x_n = (x_{n,1}, ..., x_{n,K}) \in \mathbb{R}^K\) \((n=1,2,\ldots,N)\) 表示产品 \(n\) 的产品属性，其中 \(N\) 是产品数量，\(K\) 是产品属性数量。设 \(x_n^b = (x_{n,1}^b, ..., x_{n,K}^b) \in \mathbb{R}^K\) 表示基准的 \(K\) 维产品属性向量。\(x_n\) 是基准属性向量 \(x_n^b\) 的一个反事实版本。变量 \(p_n \in \mathbb{R}^+\) 表示价格，是一个一维标量。我们假设一个垄断市场结构，这作为基于利润的 CE 分析的自然起点。

函数 \(f\) 基于价格 \(p_n\) 和产品属性 \(x_n\) 预测需求量 \(y_n\)，并使用机器学习方法估计。具体来说，\(f\) 在数据集 \(D = \{Y, X, P\}\) 上进行训练，该数据集包含 \(N\) 个一维需求观测值 \(Y = \{y_1, y_2, \ldots, y_N\}\)、\(N\) 个 \(K\) 维产品属性向量 \(X = \{x_1, x_2, \ldots, x_N\}\) 以及 \(N\) 个一维价格 \(P = \{p_1, p_2, \ldots, p_N\}\)。我们假设 \(f(x_n, p_n)\) 关于 \(p_n\) 单调递减，即 \(f_{p_n}(x_n, p_n) < 0\)。尽管在实践中可能存在例外，但这一假设基于理论一致性以及关于需求定律的成熟实证发现。一个可能的例外是，较高的价格可能传递高质量信号并刺激需求。然而，在漫画市场中，质量信号主要通过声誉、连载渠道和读者评论来传递，而非价格；漫画单行本的定价范围狭窄且标准化。因此，信号效应不太可能占据主导地位，使得单调性假设在此背景下是一个合理的近似。

函数 \(c\) 表示作为需求 \(f(x_n, p_n)\) 函数的生产成本，并假设为单调递增，即 \(c'(\cdot) > 0\)。函数 \(c_{cg}\) 表示将产品属性从基准 \(x_n^b\) 改变为 \(x_n\) 的调整成本，可以使用距离函数来指定。例如，可以使用平方差之和，或者更一般地，加权闵可夫斯基距离。这种表述等价于引入属性特定的调整成本 \(c_k \geq 0\)，其中非负性确保了修改成本在经济上是合理的。两种典型的规范如下：

\[
c_{cg}(x_n, x_n^b) = \sum_{k=1}^K c_k (x_{n,k} - x_{n,k}^b)^2, \tag{S1}
\]
\[
c_{cg}(x_n, x_n^b) = \left( \sum_{k=1}^K c_k |x_{n,k} - x_{n,k}^b|^q \right)^{1/q}. \tag{S2}
\]

本研究考虑一个垄断企业通过在线商店或类似渠道销售其产品的环境。在这样的环境中，价格调整的成本远低于修改其他产品属性的成本。因此，调整成本函数 \(c_{cg}\) 仅包含非价格属性，并将价格排除在变化成本之外。

## III. 理论分析

在本节中，我们展示理论分析。为简单起见，我们假设产品属性 \(x_n\) 是一维的，以在保持基本经济结构的同时获得分析可处理性。我们推导出不同模型规范下的解，并刻画其关键性质。为简化本节符号，我们将 \(x_n\) 写作 \(x\)，\(p_n\) 写作 \(p\)，\(x_n^b\) 写作 \(x^b\)。

### III-A. 一般模型

设产品属性为 \(x \in \mathbb{R}_+\)，价格为 \(p \in \mathbb{R}_+\)，需求量为 \(Q \in \mathbb{R}_+\)。设 \(f(x,p)\) 表示需求函数（预测模型），如第二节所定义；\(c(f(x,p))\) 表示作为产出函数的生产成本（参见第二节）；\(c_{cg}(x,x^b)\) 表示基于与基准属性 \(x^b \in \mathbb{R}_+\) 距离的调整成本。

我们将企业的利润函数定义为

\[
\Pi(x,p) = p\, f(x,p) - c(f(x,p)) - c_{cg}(x,x^b).
\]

如果利润函数 \(\Pi\) 在 \(X \times P\) 上严格凹，则最大化问题的解 \((x^*, p^*)\) 是唯一的。唯一性的充分条件是驻点 \((x^*, p^*)\) 唯一，且 Hessian 矩阵 \(H\) 在 \(X \times P\) 上负定。

因此，除了满足一阶条件：

\[
\begin{cases}
\Pi_x = [p - c'(f)] \, f_x - c_{cg,x} = 0,\\
\Pi_p = f + [p - c'(f)] \, f_p = 0,
\end{cases}
\]

Hessian 矩阵 \(H\) 满足负定的二阶条件也是充分的，其中

\[
H = \nabla^2 \Pi(x,p) = \begin{pmatrix} \Pi_{xx} & \Pi_{xp} \\ \Pi_{px} & \Pi_{pp} \end{pmatrix}.
\]

这里，二阶偏导数由以下给出：
\(\Pi_{xx} = [p - c'(f)] \, f_{xx} - c''(f) (f_x)^2 - c_{cg,xx}\)，
\(\Pi_{px} = \Pi_{xp} = (1 - c''(f) f_p) \, f_x + [p - c'(f)] \, f_{xp}\)，
以及 \(\Pi_{pp} = 2 f_p + [p - c'(f)] \, f_{pp} - c''(f) (f_p)^2\)。
在这种情况下，以下条件成立：

\[
\begin{cases}
\Pi_{xx} < 0,\\
\det(H) = \Pi_{xx} \Pi_{pp} - \Pi_{px} \Pi_{xp} > 0.
\end{cases}
\]

即使当 \(x\) 是 \(K\) 维时，如果相应的 Hessian 矩阵负定，最大化问题也可以类似地求解。

**注释 1（营销解释）**。首先，考虑由 \(\Pi_p = 0\) 给出的价格最优性。\(c'(f)\) 表示产出增加一单位时的边际生产成本。因此，\([p - c'(f)]\) 表示价格成本加成。最优价格使得价格单位上涨带来的边际收益增加（由 \(f\) 捕捉）等于由此导致的需求减少带来的边际收益损失（由 \([p - c'(f)] f_p\) 表示）。其次，考虑由 \(\Pi_x = 0\) 给出的属性最优性。\([p - c'(f)] f_x\) 表示产品属性单位增加带来的边际收益，而 \(c_{cg,x}\) 表示相应的边...（原文在此处截断）