Eigendrum

# Eigendrum - 画个形状，把它变成真实的鼓声 来源：https://eigendrum.com/ ## 工作原理 鼓皮边缘固定时，只能以特定形状、在特定频率下振动。这些形状与频率是以下方程的解： −∇²u = λu （在形状内部），u = 0 （在边界上） 每个解 u 代表一种模态（驻波），每个 λ 对应与 √λ 成正比的频率。这是一个特征值问题，几乎任何形状都没有解析公式。因此 Eigendrum 采用数值解法：用三角网格覆盖你画的形状，构建有限元刚度矩阵和质量矩阵，然后求解特征方程 Kφ = λMφ 的最小特征值。 ### 为何可以信赖计算结果 少数形状的频谱能精确写出，每次代码更新都会用它们进行测试。圆形的频率对应贝塞尔函数的零点；矩形的频率为 π²(m²/a² + n²/b²)。求解器能以低于千分之一的误差复现这两种结果。由于协调有限元方法是在受限空间中最小化能量，其结果必然略微高估，绝不会低估。测量误差尽在"数值"之中。 ### 敲击位置的重要性 敲击某点时，每个模态的激发程度与其在该点的振动幅度成正比。敲击某个模态的节点线就无法激发该模态。这并非预先设定，而是将鼓槌投影到各模态上自然得出的结果。 因此，一次敲击永远不会只产生单一模态：它会同时激发所有模态，混合比例取决于鼓槌落点。模态列表旁的规则即为这种混合关系，而标有方框的模态是鼓槌无法到达的。点击某行则会单独播放该模态——这是鼓槌无法实现的，也是聆听特定频率下形状本音的唯一方式。 ### 方程生成的鼓面 除了勾勒轮廓，你还可以用方程描述它。r(t) 表示绕中心一周时的半径变化，因此 1 + 0.3cos(5t) 是一朵五瓣花；参数方程 x(t), y(t) 能描绘极坐标无法表示的闭合曲线，比如肾形线或蛋形。这并非绘图捷径——它能生成手绘无法精确复现的形状（如完美均匀的十一瓣花、介于圆与方形之间的超椭圆部分），并使形状成为可调节的变量：改变一个参数，聆听相应变化。 方程形状以文本形式传播。公式链接内嵌公式文本，便于阅读和重输，而非数百个字符的编码轮廓；在地址栏直接编辑即可生效。过于细窄无法可靠划分网格的形状会被拒绝返回结果，因为薄片状图形仍会输出错误数值。 ### 能否听出鼓的形状？ 马克·卡克在1966年提出了这个问题。1992年，卡洛琳·戈登、大卫·韦伯与斯科特·沃尔珀特用两个频谱相同但形状不同的鼓面给出了否定答案。这两个图形已收录在形状列表中，分别命名为"卡克鼓 I 与 II"。它们由相同的七个三角形重新排列而成，具有相同的面积和周长，所有频率完全一致。切换聆听：轮廓明显不同，声音却毫无二致。 ### 建模选择的含义 频率比与模态形状属于物理特性，完全由轮廓决定。绝对音高取决于尺寸与张力，泛音衰减速度取决于材质与空气环境，因此这些参数以滑块控制，而非隐含默认值。求解前所有形状会缩放至相同面积，因此你听到的是形状差异而非尺寸差异。 鼓槌也经过建模：其宽度可调；接触时间固定为几毫秒（真实鼓槌不可能瞬间接触，否则会均匀激发所有模态）。二者共同决定敲击可到达的模态范围，但无法改变模态频率。阻尼采用雷利阻尼模型，损耗随频率平方增加：高频泛音最先衰减，这正是鼓声随余韵变暗的原因。 ### 访问途径与联系方式 Eigendrum 托管于 eigendrum.com (https://eigendrum.com/)。此为官方链接与引用地址；旧版 baselashraf81.github.io/eigendrum 镜像站现已重定向至此。 商务合作请邮件联系 [email protected]。若发现数学或界面问题，建议在代码仓库提交 issue，以便公开修复。 ### 技术说明 无需构建步骤或后端支持：网格划分、求解与音频生成均在用户本地设备运行。网站使用 Vercel Analytics、Google Analytics 与 Google AdSense 支持域名费用与免费服务。绘制的形状存储在地址栏 # 符号之后，浏览器不会将其发送至服务器，且分析工具已配置为不记录该数据。详见隐私声明 (https://eigendrum.com/privacy)。字体采用 Jost*（由 indestructible type* 提供）。参考文献：卡克《能否听出鼓的形状？》（1966）；戈登、韦伯与沃尔珀特（1992）；德里斯科尔《等谱鼓的本征模态》（1997），其中包含两个卡克鼓的坐标数据。 源代码（含求解器与解析谱验证测试）：github.com/BaselAshraf81/eigendrum (https://github.com/BaselAshraf81/eigendrum) 免费使用，无需账户或安装。若想支持项目，或希望无广告运行：ko-fi.com/baselashraf (https://ko-fi.com/baselashraf)