方程中潜藏的阴影 – 水下岛屿

# 潜藏于方程中的阴影 来源：https://gods.art/articles/equation_shadows **斜点方程对比** 如果你曾绘制过方程图像，很可能你只使用过我称之为"二元模式"的方法来绘图——这种方法仅在方程**精确等于**时绘制线条，其余区域则留白。 而 **FuzzyGraph** (https://fuzzygraph.com/) 则以一种**模糊/非二元模式**可视化方程——不仅显示方程精确相等的地方，还显示方程**近似相等**以及**远非相等**（误差较高）的区域。当我们以这种**非二元**方式观察事物时，突然就能看见那些原本不可见的、潜藏在方程中的**数学阴影**。 让我们来看几个例子... ## 例子 1：斜点方程 这是"斜点"方程 \( \frac{y}{x^2+y^2} = \frac{x+1}{x^2+y^2} \) 在传统绘图和模糊绘图下的效果对比... 请注意，在模糊/非二元图中存在一个巨大的"黑洞"，但在传统/二元图中却不可见。这个"黑洞"特征代表了方程中误差较高的区域。 ## 例子 2：类星体方程 再看另一个例子：\(y = \frac{x}{x^2 + y^2}\) 注意，那种类似**黑洞之眼**的特征在传统/二元绘图模式中是**完全不可见**的。 ## 例子 3：简单恒星与黑洞 为了更好地理解这些黑洞状物体，我们来看一个更简单的例子。首先看黑洞的反面——一个简单的恒星/粒子例子：\( x^2 + y^2 = 0 \)。对于这个方程，只有一个解：\((0, 0)\)。所以如果你在传统绘图应用 (https://www.desmos.com/calculator/tkzm7jpjaf) 中绘制它，它只会显示在 \((0, 0)\) 的一个点。但在 FuzzyGraph 中，它看起来像是一个模糊的粒子或其他东西。 但现在，我们将其反转得到"黑洞方程"：\( \frac{1}{x^2+y^2} = 0 \)... 在这种情况下，传统图上确实无物可示，因为这个方程实际上没有解。然而，仍然存在一种数学**地形** (https://en.wikipedia.org/wiki/Topography) 可以被可视化（如模糊图所示）。 ## 例子 4：阴影线 并非所有的**阴影**都像黑洞。 在这个例子中，我们首先将两条线组合在一起：\(y=x\) 和 \(y=-x\)。 我们可以通过将两个方程重构为等于 0 的形式，然后将它们相乘，从而在视觉上将两个方程组合起来。\(y=x\) 可以改为 \(y-x=0\)，而 \(y=-x\) 可以重构为 \(y+x=0\)。 然后我们可以这样将两个方程合并为一个：\( (y-x) \times (y+x) = 0 \) 现在，让我们用除法来**反转**其中一个方程：\( \frac{x-y}{x+y} = 0 \) 如你所见，被反转（置于分母下）的线现在成了一条**阴影线**。这似乎比传统图所显示的（与更简单的方程 \(y-x=0\) 不可区分）是一种更"正确"的可视化方式。 ## 例子 5：斐方程 这个方程的工作方式与前一个几乎完全相同。和之前一样，我们从乘法开始组合两个方程（这里是一个圆和一条竖直线的方程）：\( x \times (x^2+y^2-1) = 0 \)。 但现在，我们通过除法**反转**圆，使方程变为：\( \frac{x}{x^2+y^2-1} = 0 \)。 注意，**阴影圆**在传统图中是不可见的。事实上，传统图看起来与方程 \(x=0\) 的传统图完全一样（就好像分母不存在一样）。 ## 例子 6：水下岛屿 在前面所有的例子中，"阴影"都代表高误差区域。但在最后一个例子中，我们将看到一些代表低误差区域的隐藏细节——那些方程的**近似解**区域。 考虑方程 \( y=4 \sin(x)+ \sin(2.7y) \) 的传统图和模糊图： 注意模糊图版本中有漂浮的点，而传统/二元图中没有。这些就像是水下岛屿——刚好位于水面以下（或者说，在这个例子中，位于 \( error == 0 \) 表面以下）的水下山脉。这些隐藏的岛屿代表方程的近似解区域（仅在 FuzzyGraph 中可见）。 它们的存在暗示，我们可以稍微调整方程，让它们"跃出水面"（这应该也会使它们在传统图中可见）。 所以，让我们将方程从：\( y=4 \sin(x)+ \sin(2.7y) \) 改为：\( y=4 \sin(x)+ \sin(2.8y) \)... 如你所见，那些先前隐藏的岛屿现在在传统图中可见了。 因此，模糊/非二元绘图可以帮助我们看见数学地形中用传统/二元方法完全不可见的特征。 在讨论这个话题时，有人指出模糊图并非原始方程的图像，而是"误差散度图"的**热力图** (https://en.wikipedia.org/wiki/Heat_map)。公平地说，输入到 FuzzyGraph (https://fuzzygraph.com/) 的方程必须稍作修改——要计算模糊图，你需要取 \( |left-right|^{fuzzyLevel} \)。 但是...我认为，为了以传统/二元形式可视化方程，在那里方程也被修改了。在传统/二元模式下可视化方程的逻辑看起来会是："if Boolean(left == right): draw(black); else: draw(white)"。 --- 发布日期：2025-11-05 更新日期：2025-11-06