Math's pedagogical curse – Grant Sanderson [video]

**TL;DR：3Blue1Brown 创始人 Grant Sanderson 在 JPBM 传播奖讲座中，以"迈达斯王之手"为喻，指出数学的精确性既是礼物也是"教学诅咒"——它让严密性极易被衡量，却让教学清晰度难以被检验，因此他主张"提高数学讲解的天花板、降低数学讲解的地板"。** --- ## 开场介绍：颁奖与背景 讲座由美国数学协会（Mathematical Association of America）的 Michael Pearson 主持。作为 JPBM（Joint Policy Board for Mathematics）的一部分，主办方将今年的一项传播奖授予了 Grant Sanderson——3Blue1Brown 的创作者与创始人。这个项目致力于为数学提供可视化，同时也是一个很容易找到的 YouTube 频道。 Pearson 特别提到自己是一名调和分析研究者，长期思考卷积、卷积核等问题。因此当他看到 Grant 如何处理卷积主题时，立刻被深深吸引。他指出，德语中"卷积"对应的词是"折叠"（Faltung），而 Grant 的视频真正赋予了这个词以动感，让人明白为什么"折叠"是描述卷积的一个绝佳词汇。 他还介绍了 Grant 的履历：2015 年毕业于 Stanford University，主修数学与计算机科学；曾在 Khan Academy 工作，制作视频和教学材料；此后全身心投入 3Blue1Brown。 ## 获奖感言：向激励过他的人致谢 Grant 上台后首先感谢 Joint Policy Board 的各位成员授予该奖项。他坦言，获得一个传播类奖项后，立即被要求向一整屋自己非常敬重的人交流，确实有些令人紧张。 不过他借此机会向往届获奖者致意：Steve Strogatz、James Glick、Matt Parker 这些名字最先浮现，而那只是少数——"还有很多很多"，这些人都是他在起步阶段的英雄，给了他很多激励。 ## 数学传播的几条线索：教育、研究与推广的交叉 Grant 表示，他想从更宏观的角度谈数学传播，以及自己对它的一些思考。但他同时指出，这个话题可以分成许多不同类别，作为一个整体来思考相当困难——因为其中一个重要组成部分是教育；而即便在教育内部，把它整体归类也不恰当，因为大学之前的教育与本科及以上的数学教育在性质上有很大差别：人们会想到哪些方法是最好的、学生通常会有怎样的参与度，而这些与其他形式的传播又截然不同，比如展示自己的研究成果，或者普及推广。若非要选一个最贴切的类别，他说自己应该属于后者。 不过 Grant 认为，无论身处哪一类，把这些线索看作相互交叉的，并认识到其中的价值大多来自这种交叉，是很有帮助的。 这些方向有些是显而易见的： - 如果从事**教育**工作，不妨把它当作一次**普及推广**的尝试。 - 如果从事**推广**，就要努力让它更吸引人，试图与人们已经感兴趣的事物建立联系。 同样的做法用在课堂上也无不可。 ## 反直觉的一课：人们是来学习的，不是来被吸引的 但另一方面，作为一名普及推广者——或者说至少试图这样做的人——Grant 经常发现**直接去做并不是正确的方法**：不要直接去想"我能做点什么来触及最多的人、用一个最能吸引眼球的标题"。 他注意到的是：**人们就是想学习。** 让某些东西更流行、获得更大传播范围的，往往是他做的那些更像"课堂补充材料"的内容。原因是：人们不希望感到自己只是被简化了、被居高临下地对待，而是希望自己看到的是真实、原汁原味的材料，仿佛自己正在学习它、正在成为这方面的专家。Grant 认为那是一种非常令人振奋的感受。 ## 标题：提高天花板，降低地板 基于此，Grant 将这场讲座命名为**"提高数学讲解的天花板、降低数学讲解的地板"**，指的是他所相信的一个事实：为了让更多人接触而做出的一些普及努力，其实也能让那些已经是专家的人觉得更加有趣。 如果要更具一点挑衅意味，他也可以轻易地把自己心中所想称为**"数学的教学诅咒"**——因为他确实认为数学在某种程度上存在一些奇怪之处，尤其是与其他领域相比，在公众对它的认知方面。 ## 那句荒谬的开场白 Grant 描述了一个几乎人人都有的经历：在鸡尾酒会上与人聊天，你提到自己从事的工作与数学有关，对方会说——而且似乎说出这话完全没有任何社会禁忌——"哦，其实我不太擅长数学。" 这话本身不算荒谬，毕竟不是每个人都会热爱我们所研究的学科。真正荒谬的是：**你不会对其他领域说出这样的话。** 而在 Grant 看来，更令人担忧的是另一种说法： > "我曾经以为我喜欢数学，直到……" 他回忆起自己作为高中生参观不同大学时的经历。他一直是那种从很小就知道自己想学数学的学生，已经爱上了这门学科。当大学里的学生问他想主修什么专业，他回答"我知道我想主修数学"，对方回应道： > "哦，是啊，是啊，我曾经以为我喜欢数学，甚至想主修数学，后来我上了一门集合论课，结果发现自己其实并不怎么喜欢数学。" 这些年里，Grant 在各种场合听到过这种说法的变体："我曾经以为我喜欢数学，然后我上了一门线性代数课"。在某个时刻，有人因为某种原因对数学产生了幻灭感。 ## 那么，我们做错了什么？ Grant 指出，从一开始就点燃兴趣的火花是极其困难的。而即使需要面对的更重要人群是那些并不自认为"数学型人"的大众，我们同样可以问：我们做错了什么，以至于有一些人原本以为自己喜欢数学，直到…… 也许有人会说：数学就是比其他领域更难，这需要你挽起袖子、努力工作才能掌握，并非所有人都愿意这样做。 Grant 认为这种说法并不公平，因为它等于把问题推到了地毯底下。我们必须反过来问：**数学真的必须那么难吗？我们有没有做某些让它变得比实际需要更难的事情呢？** ## 迈达斯之手：数学的礼物与代价 关于数学为何与其他领域不同，Grant 提出了一个小理论，他先请听众容忍他用一个关于**King Midas（迈达斯王）**的传说来打比方。 在希腊神话中——或者说这是一个与亚里士多德等人所讲述的、介于真实与虚构之间的希腊历史交织在一起的故事——有一位据说是公元前第二个千年左右的国王 Midas。他做了一些善行，引起了酒神 Dionysus 的注意。Dionysus 愿意赐给他一份礼物：说出你想要什么，我就给你。 Midas 说，他想要的是：**凡是他触摸的任何东西都能变成黄金。** Dionysus 说"就这么办"。Midas 碰了一根树枝，树枝立刻变成黄金；他欣喜若狂地回到庄园，触摸花园里所有的玫瑰，玫瑰都变成了美丽、具有金属光泽的金色。他幻想着自己将拥有的全部财富，以及他的整个王国将拥有的财富。 然后那天晚上去赴宴时，他碰了碰面前的鸡腿，鸡腿变成了黄金，完全不能吃了。而在故事的另一种版本中，当 Midas 意识到这个礼物可能有点不对劲时，他的女儿走到他身边，他碰了碰她，她完全变成了黄金，他从此失去了她。故事随后的发展是一个关于救赎的故事。 ### 数学的"黄金"：精确性 Grant 的类比由此展开：**数学拥有一份确实的礼物——一种非常特殊的精确性。** 我们拥有的乐趣是：能够百分之百确定一个结论是否由前提得出。 当然不是绝对的百分之百，因为我们在逻辑上可能会受到某些谬误的迷惑，或者忽略论证中的漏洞。但在你所能期望的最大精确程度上，数学确实拥有这种精确性，而许多其他领域只能梦想拥有这样的东西。 即便物理学和计算机科学这样的硬科学在这方面已经相当接近，它们仍然会受到一些争议的影响——人们对同一件事可能有不同的理解方式，甚至最好的实验也不是百分之百精确的。软科学则离这种精确性更远；大多数形式的写作和论述更加毫无保留地带有主观色彩（比如艺术批评——它并非没有价值，但它缺乏这种精确性）。 这种精确性带来的好处在于：**它能帮助你推动一个领域的发展。** 当存在模糊和误解的空间时，你不会陷入原本可能发生的那些争论。Grant 甚至怀疑，一件事情之所以被称为"数学的"，可能就意味着它具有这种程度的精确性。 他还提到一位生物学界的朋友，每次聊天时她总是感叹生物学需要成为一门更数学化的科学——如果能把生物学变成一门数学化的科学，人类能取得多大的进步。Grant 理解，她所指的是这样一个局面：你可以从前提中得出结论，其严密程度可以与物理学相媲美，滴水不漏、坚如磐石。 ### 编译器式的"完成"检验 Grant 进一步指出，精确性带来的另一个非常好的东西是：**它给了你一个完成度的检验标准，而这是其他领域所没有的。** 我们可以有一个清晰的概念：它还没有完成；而在某个时刻，存在一种它已经完成了的感觉。你可以通篇检查，确保所有的定义都完全不含糊——我们可以拥有不含歧义的定义。其他人就没有这样的条件。你可以检查你所引用的定理中的每一个对象是否都已经被预先定义过。 > 这就像编译器在检查代码一样。 你可以通篇走一遍，答案要么是明确的"是"，要么是明确的"否"。然后最重要的是：**对于你提出的每一个断言，你都可以问——它是否得到了完全的论证？** 而这在某种意义上就构成了"解释"的概念。它给了你一个清晰的节点：在这之前，论文还没有完成，讲座还没有完成；在这之后，你可以在它上面系一个小蝴蝶结，宣布它已经完成了。 ### 代价：摸什么都是黄金，但你没法吃 Grant 说，他确实认为这是一份礼物，因为它帮助我们以其他领域所不能做到的方式不断前进。 但这份礼物也有一个代价。就像 Midas 能触摸到的东西都会变成黄金，但他**无法吃自己的食物**：数学家可以触摸任何事物，赋予它这种完全不含歧义的严密性，但有时它会让这些内容对普通读者变得难以接受，或者对普通学生变得比实际需要的更难消化。 Grant 强调，**这并不是必然随之而来的结果**。他不想让人觉得他在暗示"只要一件事是严密的，就意味着它不清晰"——拿 Midas 的类比来做这样的对比确实有些夸张。 但他怀疑可能是这样的情况：这种精确性理念的诱惑——我们确实能在某种意义上说"它完成了"——意味着**严密性有时候反而成了一种干扰**。 ## 严密性是终点，清晰度却不是 Grant 承认，确实有很多非常优秀的作者既做到了严密又做到了清晰；事实上，严密的要点往往就是增加更多的清晰度。 但他怀疑有时会发生这样的事情：**因为严密性给了你一个非常清晰、漂亮的东西可以思考，而思考教学上的清晰度则要混乱得多**——它更难定义，你无法在上面系蝴蝶结，不存在一个从"未完成"到"完全完成"的明确节点。 于是，在满足了"知道某样东西已经被完全严密地写出来了"的这种痒处之后，很容易就宣布一件作品完成了，**而也许我们不应该这么快就宣布它完成。** Grant 的提议是：在某些情况下这或许还可以接受，比如研究论文；但在那些更明确地面向教学的内容中——比如教科书——也许可以在这种文化中引入一种类似我们现在对严密性那样专注的焦点，但这次是聚焦在**教学清晰度**上。 ## 一个例子：Poisson 求和公式与教科书的证明 Grant 举了一个例子，这个例子基本来自他整理幻灯片时放在桌上的那本书。他强调自己其实很喜欢那本书，它真的很棒——他之所以敢在节目中高亮它、并对其某一部分开玩笑，唯一的原因之一就是它整体上表现得非常出色，是他会毫不犹豫推荐的书之一。 他在思考的是：**除了严密性的关注点之外，作者通常对教学上的清晰点思考得有多深入呢？** 他关注的特定章节讲的是**Poisson 求和公式（Poisson summation formula）**，在座的很多人可能都熟悉。它本质上说的是：对于一个足够好的函数，如果你把这个函数在所有整数处的值加起来，结果与把该函数的 **Fourier 变换**在所有整数处的值加起来的结果是一样的。 这是一个有点"疯狂"的公式，在许多不同的场合都非常有用。 书中给出的证明实际上非常漂亮，Grant 也很喜欢它。它开头描述了一个函数，有点突兀，但仔细看会发现这个函数在所有整数处都有**极点**，而这些极点处的**留数**恰好就是公式左边想要求和的那些值。 基本上，书中所做的事是：在给出了这个构造之后，在描述了某条你可能要沿其积分的**围线**之后（背景假设是读者熟悉复分析直到书中该处的内容，了解围线积分之类的概念），它逐步展示了如何通过解读这个积分的含义，得到该公式的一个非常优雅的推导，最终一步步地将其转化成右边的求和式。 所以它非常漂亮，涉及许多巧妙的想法，各个部分完美地衔接—— （讲座到此片段结束。） --- **Source:** [Math's pedagogical curse – Grant Sanderson](https://www.youtube.com/watch?v=UOuxo6SA8Uc)