研究生证明分形的量子不确定性原理

# 研究生证明分形不确定性原理 | Quanta Magazine 来源：https://www.quantamagazine.org/graduate-student-proves-the-fractal-uncertainty-principle-20260812/ ## 研究生证明了分形的量子不确定性原理 这项结合了混沌、量子理论和无限复杂分形结构的数学成果，被称为“基础性成果”。 Ada Zejun Shen/*Quanta Magazine* ## 引言 在量子尺度上，微小粒子的行为方式十分奇异。原因之一就是不確定性原理——它指出，你对量子粒子的位置了解得越多，你能知道的它运动速度就越少，反之亦然。最近，这条规则得到了罕见的升级。 新的不确定性原理与分形有关。分形是指无论你放大多少倍，都保持同样复杂程度的形状。 大约十年前，麻省理工学院数学家Semyon Dyatlov (https://math.mit.edu/~dyatlov/) 在研究量子粒子在相同的混沌情境下是否表现得与普通粒子不同。有时，一个做混沌运动的物体会被困住，永远沿着类似分形的路径运动。量子粒子也能这样做吗？ 量子粒子倾向于像波一样扩散，这模糊了它们的确切位置。为了弄清量子粒子是否模糊得太过分、以至于无法呈现这些复杂的被困路径，Dyatlov需要一个全新的不确定性原理——一个能处理分形的原理。 2016年，Dyatlov与让·布尔甘（Jean Bourgain）——一位在完成这项工作后不久便去世的著名数学家——合作，证明了一维分形的不确定性原理。一维分形看起来像锯齿状的线条。这些线条可以代表物体在二维空间中运动的路径，比如球在台球桌上运动。那年秋天，Dyatlov和布尔甘召集了来自世界各地的数学家到新泽西州参加研讨会，希望能将证明推广到更高维度。更广泛的证明可以用来研究三维世界，并且本身就会成为一种普适的数学工具。 但这个任务太难了。研讨会结束时，“没有人真的相信这件事能做成”，与会者之一、索邦大学的数学家Frédéric Naud (https://fnaudmath.fr/) 说道。 直到多年后，当时还是麻省理工学院博士生的Alex Cohen (https://cims.nyu.edu/~ac6074/) 终于取得了突破。在2025年发表于《数学年刊》（*Annals of Mathematics*）的一篇论文 (https://annals.math.princeton.edu/2025/202-1/p04) 中——该期刊被广泛认为是该领域最顶级的期刊——他将分形不确定性原理推广到了所有更高维度。这一成果成为Cohen的博士论文，并让他在25岁时获得了纽约大学的助理教授职位。 分形不确定性原理是一项“基础性成果”，普林斯顿高等研究院的Peter Sarnak (https://www.ias.edu/math/people/faculty/sarnak) 说——对“一个写博士论文的人来说，这是相当了不起的成就”。 这个原理已经揭示了一种新的深刻方式，表明量子粒子与经典粒子存在差异。 ## **弹球高手** 虽然不确定性原理在粒子语境下可能显得奇怪，但它也可以以不那么神秘的形式出现。声音越短暂，你能确定构成它的音调就越少。短促的雷达脉冲可以精确定位潜艇，但需要更长的信号才能确定潜艇向哪里移动。 所有这些不确定性原理，包括量子版本，都源自同一个数学源头。这个更深的数学不确定性原理广泛适用于任何函数——或者粗略地说，任何曲线，无论它看起来多么崎岖、多么狂野。它来自一个19世纪发明的方程，叫做傅里叶变换 (https://www.quantamagazine.org/what-is-the-fourier-transform-20250903/)。傅里叶变换以法国人约瑟夫·傅里叶的名字命名，它将任何函数分解为一组简单的波，每个波具有不同的频率或音调。把这些简单的波加起来，你就会得到原来的函数。 Mark Belan/*Quanta Magazine* 不确定性原理是内置于其中的。一个简单的正弦波，在空间中无限延伸，只有一个确定的频率，因此它的傅里叶变换是单一的尖峰。但是小军鼓的响声在空中传播时看起来像一个脉冲。它的傅里叶变换具有很宽的频率分布——一种听不出音高的声音。 一般来说，函数越窄，它的傅里叶变换就必须越分散，反之亦然。或者换句话说，你对函数在空间中的峰值位置越确定，你能确定它的频率或随时间变化的程度就越少。 在量子力学中，粒子在数学上被描述为波，峰值出现在最可能找到它的地方。这个波的傅里叶变换描述了粒子的运动。这就是为什么量子粒子的位置和动量不能同时被精确知道：它们通过傅里叶变换相关联。 但如果你对一个看起来像分形的函数进行傅里叶变换呢？ 为了理解这个问题，可以想象一种简单的分形：从一条线段开始，把它切成三段。然后删除中间那段。重复这个过程：把每一段剩余线段切成三段，去掉中间段，依此类推。结果就是一个称为康托集的分形集合。这个集合具有数学家所说的“多孔”特征——它到处是洞，像海绵一样，在每个尺度上都是如此。 现在想象这个康托集位于*x*轴上，集合上的每个点都有一个代表频率的尖峰。 分形不确定性原理说的是，如果你把这样一组分形状的频率的波加在一起，得到的曲线不可能也看起来像分形——它不可能多孔。反过来也成立：如果你对一个类似分形的函数进行傅里叶变换，结果不可能是一组分形状的频率。 这样的分形状函数听起来可能很难遇到。但当数学家研究量子粒子——或者更一般地，波——在混沌情境中的行为时，它们就会出现。 就像球在弹球机里弹来弹去一样，经历混沌的物体通常会在整个空间中杂乱无章地运动。“如果你看看你的路径，它看起来就像一团随意的涂鸦”，哈佛大学的数学家Elena Kim (https://elenakim.carrd.co/) 说。 但在极少数情况下，一个物体可以在混沌中找到稳定。在一个平面的弹球机里，一个球可以永远被困在三个缓冲器之间弹跳。球不会重复完全相同的路径，但它会保持在缓冲器之间，每次弹到略有不同的位置。如果你把球每次撞到每个缓冲器的位置都标记下来，你会发现这些标记构成了某种类似康托集的东西。 这组标记也被称为分形尘埃。大多数击中缓冲器的球都会飞走。“这就是留下的尘埃”，加州大学伯克利分校的Maciej Zworski (https://math.berkeley.edu/~zworski/) 说。 哈佛大学的数学家Elena Kim利用分形不确定性原理来理解非常规空间中的混沌系统。 Steph Stevens 然而，与弹球不同，根据分形不确定性原理，波不能被限制在类似分形的路径上。如果你试图把波困在三个缓冲器之间，它会泄漏出来并逃逸。 “所以量子混沌和经典混沌之间有一些不同的东西”，Dyatlov说。“而你可以尝试用来解释这一点的一个成分就是不确定性原理。” ## **未完成的知识** Cohen于2021年到麻省理工学院，自称是“年轻、充满活力的调和分析师”——调和分析是数学中专门研究函数及其傅里叶变换的领域。作为博士生，他听了Dyatlov关于分形不确定性原理的讲座。“他每次讲座都会以这样的话结束：‘我们还没有高维分形不确定性原理。我希望我们有！’”Cohen说。“我当时想，好吧，这看起来是个有趣的东西，可以拿来研究。” 他的热情很快受到了考验。一方面，数学家们已经知道在很多情况下，分形不确定性原理在高维度下会失效。Cohen的第一个挑战是想出一个干净的方法来避开这些情况。 成为分形的典型要求是多孔性——也就是说，无论你朝哪里看都有洞。称为谢尔宾斯基地毯的二维分形就是一个例子；它的构造方法是把正方形分成小正方形的网格，反复去掉中间的正方形。但是，虽然这种形状有很多洞，它也可能画出一条完全包含在其中的直线。 这样的直线会给分形不确定性原理带来麻烦。一条垂直线的傅里叶变换返回一条水平线，反之亦然。在二维或更高维度中，这两条线都算作分形——这是因为一条线不占据面积，并且使周围大部分空间保持空置，这满足具有许多洞的条件。因此，任何包含连续直线的分形都会破坏分形不确定性原理。 Cohen需要一种新的、更严格的多孔性。他提出了他所谓的“线多孔性”——你在分形上画的任何线都应该遇到许多洞。他的证明排除了任何不满足这个条件的分形，包括典型的谢尔宾斯基地毯，但一种经过修改、具有更多空余空间的谢尔宾斯基地毯则满足这条规则。 在设定好假设之后，Cohen转向实际的证明。他很快意识到这与他以前处理过的任何傅里叶相关问题都不同。“我试着用我所有的工具来证明分形不确定性原理，但没有任何一个工具哪怕稍微接近成功”，他说。 感到卡住了，他回到Dyatlov和布尔甘在一维情况下的证明，试图确切理解它的工作方式。 Dyatlov和布尔甘的证明使用了一种不常见的方法。它涉及到一次从一个类似分形的函数中分离出一个尖峰，并证明该尖峰的傅里叶变换会扩散。对所有的尖峰都这样做，并考虑傅里叶变换相加的效果，他们证明了整个傅里叶变换永远不可能在足够多的地方取零以形成分形——不会有足够多的洞。 分离每个尖峰需要构造一个非常特殊的函数，当它乘以原始的类分形函数时，只会提取出那个尖峰，而在其他地方接近零。这被称为阻尼函数，它需要完美地量身定制才能起作用。“这是一件很有挑战性的事情”，Cohen说。但他知道，如果他能做到高维版本，他就能解锁整个证明。 Cohen就他构造这个特殊函数的计划咨询了Dyatlov。在布尔甘于2018年底去世之前，他也在这个问题上苦苦挣扎，并把自己的未发表笔记分享给了Dyatlov。现在，Dyatlov把它们分享给了Cohen。“布尔甘是一位传奇分析师”，Cohen说。阅读那份笔记就像“收到他未完成的知识”。 这些笔记恰好包含了Cohen需要的提示。“它让我大为震撼”，Cohen说。“它真的为我解开了这个问题。” 在阅读布尔甘的笔记之前，Cohen对如何构造阻尼函数有几个想法，但它们极其复杂和精确，就像逐砖建造房屋的设计图。笔记揭示了一种意想不到的方法。它涉及到绕道复数分析——研究包含负1的平方根的虚数函数的学科。这条绕行路线让Cohen能够构造一个更灵活的对象，然后可以用它来间接构造阻尼函数。 有了这个洞见，Cohen还需要找到一种方法，创建这个灵活对象的正确版本，以产生一个合适的阻尼函数。“构造一个具有非常特定性质的东西是高度非平凡且微妙的，”耶鲁大学的Wilhelm Schlag (https://math.yale.edu/profile/wilhelm-schlag) 说，Cohen本科时曾跟随他学习。“在二维情况下，没有人知道怎么做，而Alex提出了一种精巧的构造。” 2023年5月，当Cohen在网上发布证明 (https://arxiv.org/abs/2305.05022) 时，震惊了数学界。 “他的论文非常漂亮，给人留下了深刻的印象，”Schlag说。 后来，Cohen发现布尔甘笔记中向他揭示的技巧其实并不是什么秘密。该方法来自一个著名的20世纪60年代定理，称为Beurling-Malliavin定理。“我原以为我掌握了某种特殊的内幕知识，”Cohen说。“后来我发现，这个领域的每个人都已经知道这个策略。” 如果他知道自己的内幕提示并不是秘密，Cohen可能也会过早放弃。“我想我当时很有信心，因为我不知道其他人已经尝试过这个方法，”他说。 ## **奇幻屋混沌** Cohen分享结果后不久，其他数学家就开始利用它来解锁关于波在混沌情境中行为的新证明。 在自然界中，混沌出现在湍流的水和天气等系统中——在这些情况下，起始位置相近的物体会迅速走到截然不同的地方。这些系统太复杂，无法用数学描述。相反，寻求研究混沌的数学家常常转向一种奇怪的、内置了混沌的空间，称为双曲空间。 在双曲空间中，平行线会剧烈发散，沿着它们的路径越走越远。（这与球面相反，在球面上平行线会汇聚。）这意味着物体之间的微小分离可能在后面变成巨大的差距——这正是混沌的标志。 “当然，这看起来跟预测天气完全不一样，”Dyatlov说。但双曲空间为数学家提供了一个简单的混沌系统来探索。“我们研究我们能处理的，并且隔离现象。这在数学中是常做的事情。” 2017年，Dyatlov和北京清华大学的Jin Long (https://ymsc.tsinghua.edu.cn/en/info/1032/1213.htm) 使用一维分形不确定性原理证明了，你永远无法将波困在双曲面上；它总会扩散开来，直到触及每个角落。 为此，他们设想了一个曲面上的区域，波永远不会进入这个区域，即使给了它无限的时间来扩散。当他们移除所有进入该区域的轨迹时，剩下的就是弹球例子中出现的那种分形尘埃。由于分形不确定性原理禁止波被困在分形上，这样的区域不可能存在——波必须扩散到所有地方。 2025年，Kim与俄克拉荷马大学的Nicholas Miller (https://math.ou.edu/~nmmiller/) 合作，使用Cohen的高维分形不确定性原理将这些结果推广到更高维度的双曲空间。“这是高维版本迄今最引人注目的应用，”Sarnak说。 许多数学家希望证明，经历混沌的波不仅完全扩散，而且还能在整个空间中完全均匀地扩散。这就是Sarnak和Zeév Rudnick (https://www.math.tau.ac.il/~rudnick/) 于1994年提出的一个著名猜想的内容，他们对这个问题与数论的联系很感兴趣。“这是一个巨大的开放猜想，”Kim说。“这是一个非常困难的问题，很多人都关心。” 证明这个猜想将