作为隐式神经表示的无网格高频辅助损失的水平穿越密度

# 跨越密度作为隐式神经表示的无网格高频辅助损失
来源: https://arxiv.org/html/2607.05815
（2026年7月）

###### 摘要

坐标\-MLP隐式神经表示（INR）表现出*频谱偏差*：它们快速拟合低频结构，缓慢或根本不拟合高频细节。现有的补救措施作用于频域（例如焦点频率损失）、激活函数和编码（SIREN、傅里叶特征、FINER），或通过从粗到细的课程——而基于损失的补救措施假设存在一个规则采样网格，在该网格上可以计算离散傅里叶变换。我们重新审视随机场理论中的一个经典对象——*Rice 跨越密度*，并将其转化为可微分的训练目标。通过余面积公式，场的跨越密度是其梯度幅度集中在水平集上的直接泛函，对于平稳过程，它随谱矩比λ2/λ0\\sqrt\{\\lambda\_\{2\}/\\lambda\_\{0\}\}单调递增——即它是高频内容的一个空间域封闭形式代理。我们构建了一个平滑的蒙特卡洛跨越密度估计器，可在任意样本位置逐点评估，无需网格、无需FFT、无需网格，并将其与一组水平上监督信号的经验跨越密度进行匹配。我们针对精确跨越计数和 Rice 公式验证了该估计器，然后在严格信息对等条件下，针对规则网格和分散的非均匀样本，将该损失与焦点频率损失、归一化 Sobolev 监督和仅 MSE 训练进行了比较，并如实报告了结果。在监督稀疏且不规则的情况下，*每个*辅助频谱损失都具有变革性（在PE-MLP上比仅MSE高+2.3–3.0 dB，在SIREN上高+1.4–1.8 dB）；在边缘主导的自然图像上，跨越密度损失与替代方案相当——PSNR在FFL的0.2–0.5 dB范围内，SSIM匹配或超过FFL——但没有击败它们；而在统计均匀纹理（最接近 Rice 理论描述的平稳场）上，它超过了FFL 0.6 dB。其进一步的区别在于结构性：它是唯一既不需要采样网格也不需要可信的逐点梯度目标的损失，并且一个 oracle 梯度诊断显示它对梯度目标质量具有独特的鲁棒性。在密集规则网格上，辅助驱动不必要时，有限差分梯度目标反而有害——这一警示同样适用于 Sobolev 训练。我们发布代码、原始结果和所有实验脚本。

## 1 引言

隐式神经表示（INR）将信号参数化为一个神经网络fθ:Rd→Rmf\_\{\\theta\}:\\mathbb\{R\}^\{d\}\\to\\mathbb\{R\}^\{m\}，将坐标映射到值，并已成为图像、符号距离场和辐射场的标准表示\[24 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib24),18 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib18),16 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib16),28 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib28)\]。它们最著名的失败模式是*频谱偏差*\[20 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib20),3 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib3)\]：使用简单的重建损失训练时，坐标MLP首先学习低频，缓慢学习高频，模糊了细节。社区的回应分为三类：(i) *架构*修复——傅里叶特征编码\[25 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib25)\]、周期激活函数\[24 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib24)\]、它们的变周期\[14 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib14)\]、小波\[23 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib23)\]和高斯\[21 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib21)\]变体、乘法滤波器网络\[6 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib6)\]、限带架构\[13 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib13)\]和哈希网格\[17 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib17)\]；(ii) *基于损失*的修复——频域目标，如焦点频率损失（FFL）\[9 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib9)\]和梯度域（Sobolev）监督\[4 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib4),30 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib30)\]；以及(iii) *课程*，即从粗到细调度频率内容\[8 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib8),29 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib29)\]。

基于损失的家族有一个结构性盲点。离散傅里叶变换定义在规则网格上。当监督以分散样本形式出现时——神经SDF的点云、非均匀采样的传感器数据、自适应采样的渲染结果——频域损失必须首先将分散数据*重采样*到网格上，而插值步骤恰恰会模糊损失旨在监督的高频内容。梯度匹配损失是逐点的，因此是无网格的，但它们监督*每个点*的梯度，因此其目标在逐点、完整的程度上继承了梯度估计步骤引入的任何噪声。

本文提出一种第三类空间域目标，借用自随机场理论。*Rice 公式*\[22 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib22),10 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib10)\]指出，对于平稳高斯过程，水平uu每单位长度的预期穿越次数为

μ\(u\)=1πλ2λ0e−u2/\(2λ0\),λk=∫ωkdS\(ω\),\\mu\(u\)\\;=\\;\\frac\{1\}\{\\pi\}\\sqrt\{\\frac\{\\lambda\_\{2\}\}\{\\lambda\_\{0\}\}\}\\;e^\{\-u^\{2\}/\(2\\lambda\_\{0\}\)\},\\qquad\\lambda\_\{k\}=\\int\\omega^\{k\}\\,dS\(\\omega\),\(1\)其中SS是谱测度。穿越率关于λ2/λ0\\sqrt\{\\lambda\_\{2\}/\\lambda\_\{0\}\}（RMS角频率）单调递增：*场跨越水平的频率是其携带多少高频能量的直接闭式泛函*。零穿越率与频谱内容之间的联系在信号处理中是经典的\[11 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib11),15 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib15)\]；我们的贡献不是联系本身，而是将其*实例化为INR的可微分训练目标*，并实证研究此类目标在何处有帮助。

具体地，我们通过 Kac–Rice 被积函数的平滑蒙特卡洛形式估计 INR 输出场的跨越密度，

c^ε\(u\)=1N∑i=1Nδε\(fθ\(xi\)−u\)‖∇xfθ\(xi\)‖,\\hat\{c\}\_\{\\varepsilon\}\(u\)\\;=\\;\\frac\{1\}\{N\}\\sum\_\{i=1\}^\{N\}\\delta\_\{\\varepsilon\}\\\!\\bigl\(f\_\{\\theta\}\(x\_\{i\}\)\-u\\bigr\)\\,\\bigl\\lVert\\nabla\_\{x\}f\_\{\\theta\}\(x\_\{i\}\)\\bigr\\rVert,\(2\)其中xix\_\{i\}是（任意的、可能分散的）训练坐标，δε\\delta\_\{\\varepsilon\}是高斯凸包，∇xfθ\\nabla\_\{x\}f\_\{\\theta\}通过自动微分精确计算。根据余面积公式，(2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S1.E2)) 估计一维中每单位长度的穿越次数、二维中每单位面积的等值线长度、三维中每单位体积的等值面面积。辅助损失将c^ε\(u\)\\hat\{c\}\_\{\\varepsilon\}\(u\)与一小部分水平上的地面真值*经验*跨越密度进行匹配。一切都是逐点的：无网格、无FFT、无网格、无平稳性或高斯性假设。

由于跨越密度轮廓是一个*分布性*统计量——对整个批次的平均——它丢弃了相位信息：它说明场应该具有多少等值线几何，而不是在哪里。因此它是与重建损失（锚定位置）并列的辅助驱动，而非独立目标，并且其分布性特征正是我们期望使其在分散域上具有鲁棒性的原因：导出的梯度目标中的逐点误差在 (2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S1.E2)) 中被平均化，而不是逐点强制执行。

#### 我们的主张。

我们提出三个主张，每个都在第5节 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S5) 中测试。(1) 估计器 (2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S1.E2)) 是一个精确、可微分的跨越密度估计器（针对精确计数和 (1 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S1.E1)) 进行了验证）。(2) 作为辅助损失，它是一个*有效的*高频驱动：在监督稀缺的任何地方，它在两种不同骨干网络上恢复了仅MSE训练与样本设定的信息上限之间的差距。(3) 与严格信息对等下最强的基于损失的替代方案相比，它在边缘主导的自然图像内容上实现了PSNR对等（SSIM匹配或超过FFL，并且对梯度目标质量具有独特的鲁棒性），并且仅在统计均匀纹理（Rice 理论实际描述的情形）上超过了FFL 0.6 dB。我们认为对(3)的系统性测量（包括其负面成分）是一项贡献：认为跨越统计量在离格情况下能广泛*击败*重采样频率损失的假设是合理的、易于陈述的，并且在此得到了测试和限定。

#### 我们不主张的内容。

存在从粗到细的频率课程\[8 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib8),29 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib29)\]，我们不声称这一点。穿越率与频率的联系是教科书内容\[11 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib11)\]；我们仅声称可微损失实例化及其评估。在规则网格上，我们预期并报告大致对等而非优势。

## 2 相关工作

#### 频谱偏差与架构补救措施。

Rahaman 等人\[20 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib20)\]描述了频谱偏差，Basri 等人\[3 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib3)\]将分析扩展到非均匀输入密度——这直接相关于我们的分散采样设置，因为他们的理论预测在稀疏采样区域中给定频率的收敛进一步减慢。傅里叶特征编码\[25 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib25)\]和周期激活函数\[24 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib24)\]提升了可表示频带；FINER\[14 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib14)\]通过变周期激活函数使支持频带可调；WIRE\[23 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib23)\]、高斯激活函数\[21 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib21)\]、乘法滤波器网络\[6 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib6)\]、BACON\[13 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib13)\]和哈希编码\[17 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib17)\]是替代途径。所有这些都改变了*架构*；我们的提议是正交的，并与它们结合（第5.4节 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S5.SS4)）。

#### 基于损失的补救措施。

焦点频率损失\[9 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib9)\]比较预测和目标的DFT谱，带有自适应逐频率权重，是标准的频域目标；它需要一个规则网格。Sobolev 训练监督导数\[4 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib4)\]，由 Yuan 等人\[30 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib30)\]使用有限差分图像导数应用于INR；它是无网格的但逐点。形状表示中的Eikonal型损失\[7 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib7)\]同样逐点约束∥∇f∥\\lVert\\nabla f\\rVert（对于SDF为单位范数）；我们的损失则约束∥∇f∥\\lVert\\nabla f\\rVert在等值集上的一个积分泛函。频率课程\[8 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib8),29 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib29)\]调度编码而非增加目标。

#### 穿越次数与 Kac–Rice 公式。

随机过程的穿越计数可追溯到 Kac \[10 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib10)\] 和 Rice \[22 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib22)\]；现代处理包括 Adler 和 Taylor \[1 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib1)\]、Azaïs 和 Wschebor \[2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib2)\]，以及 Longuet\-Higgins \[15 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib15)\] 发展了随机曲面的二维（等值线长度）理论。作为频率特征的零穿越率在信号处理和时间序列判别中是经典的\[11 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib11)\]。据我们所知——包括对 arXiv 摘要和近期 INR 文献的搜索——跨越密度此前尚未被用作神经场的训练目标；Kac–Rice 机制在机器学习中主要用于计数损失景观的临界点，这完全是另一种用途。

## 3 方法

### 3.1 背景：穿越、谱与余面积恒等式

设f:Ω⊂Rd→Rf:\\Omega\\subset\\mathbb\{R\}^\{d\}\\to\\mathbb\{R\}是 Lipschitz 的。对于d=1d=1和水平uu，令Nu\(f;Ω\)N\_\{u\}\(f;\\Omega\)为Ω\\Omega中f\(x\)=uf\(x\)=u的解的数量。对于平稳高斯过程，Rice 公式 (1 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S1.E1)) 给出了预期穿越率作为谱矩之比：λ0\\lambda\_\{0\}是信号方差，λ2\\lambda\_\{2\}是导数方差，因此λ2/λ0\\sqrt\{\\lambda\_\{2\}/\\lambda\_\{0\}\}是 RMS 频率。缺乏高频能量的场每单位水平穿越的次数较少（图2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S4.F2)，右）。

两个性质使得跨越密度在高斯设置之外也可用。首先，*Kac–Rice 被积函数*：在温和条件下\[2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib2)\]，

ENu=∫ΩE\[\|f′\(x\)\|\|f\(x\)=u\]pf\(x\)\(u\)dx,\\mathbb\{E\}\\,N\_\{u\}\\;=\\;\\int\_\{\\Omega\}\\mathbb\{E\}\\bigl\[\\,\\lvert f^\{\\prime\}\(x\)\\rvert\\,\\big\|\\,f\(x\)=u\\,\\bigr\]\\,p\_\{f\(x\)\}\(u\)\\,dx,\(3\)这不需要平稳性。其次，对我们而言核心的*确定性余面积公式*\[5 (https://arxiv.org/html/2607.05815#bib.bib5)\]：对于 Lipschitz 的ff和可积的gg，

∫Ωg\(f\(x\)\)∥∇f\(x\)∥dx=∫Rg\(u\)Hd−1\(f−1\(u\)∩Ω\)du,\\int\_\{\\Omega\}g\\bigl\(f\(x\)\\bigr\)\\,\\lVert\\nabla f\(x\)\\rVert\\,dx\\;=\\;\\int\_\{\\mathbb\{R\}\}g\(u\)\\,\\mathcal\{H\}^\{d\-1\}\\bigl\(f^\{\-1\}\(u\)\\cap\\Omega\\bigr\)\\,du,\(4)其中Hd−1\\mathcal\{H\}^\{d\-1\}是(d−1)\)(d\{\-\}1)\)维 Hausdorff 测度。取g=δε\(⋅−u\)g=\\delta\_\{\\varepsilon\}\(\\cdot\-u\)（一个带宽为ε\\varepsilon的高斯核），(4 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S3.E4)) 的左边除以\|Ω\|\\lvert\\Omega\\rvert变为一个ε\\varepsilon\-平滑的*等值集密度*：一维中每单位长度的穿越次数、二维中每单位面积的等值线长度、三维中每单位体积的等值面面积。没有引入概率假设：(4 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S3.E4)) 适用于正在拟合的单个确定性场。

### 3.2 可微分的蒙特卡洛估计器

在Ω\\Omega中均匀采样坐标x1,...,xNx\_\{1\},\\dots,x\_\{N\}（或使用给定的训练坐标）得到 (2 (https://arxiv.org/html/2607.05815#S1.E2)) 的估计器：c^ε\(u\)=1N∑iδε\(fθ\(xi\)−u\)∥∇xfθ\(xi\)∥\\hat\{c\}\_\{\\varepsilon\}\(u\)=\\frac\{1\}\{N\}\\sum\_\{i\}\\delta\_\{\\varepsilon\}\(f\_\{\\theta\}\(x\_\{i\}\)\-u\)\\,\\lVert\\nabla\_\{x\}f\_\{\\theta\}\(x\_\{i\}\)\\rVert，其中δε\(z\)=\(2πε2\)−1/2e−z2/2ε2\\delta\_\{\\varepsilon\}\(z\)=\(2\\pi\\varepsilon^\{2\}\)^\{\-1/2\}e^\{\-z^\{2\}/2\\varepsilon^\{2\}\}。它对ε\\varepsilon\-平滑的等值集密度是无偏的，并继承了通常的核权衡：跨水平的O\(ε2\)O\(\\varepsilon^\{2\}\)平滑偏差与O\(1/\(Nε\)\)O\(1/\(N\\varepsilon\)\)方差。