Theo Conjecture 解决了35年前的数学问题，发现了一个无人预见的项

# AI系统“Theo Conjecture”破解35年数学猜想，发现一个无人预测的项 | FirstPrinciples Hub 来源：https://firstprinciples.com/blog-article/ai-system-theo-conjecture-solves-35-year-old-math-conjecture 20世纪80年代，一个名为Graffiti（https://en.wikipedia.org/wiki/Graffiti_(program)）的程序开始提出一些没人想到会问的问题，其中一个问题引起了Paul Erdős（https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Erd%C5%91s）的注意。大约四十年后，Randy Davila（https://scholar.google.com/citations?user=LOrmuLEAAAAJ&hl=en）将这个相同的问题交给了Theo-Conjecture（https://firstprinciples.com/theo-conjecture），这是一个由大型语言模型支持的自动发现系统，它在一个循环中提出、测试和修正数学思想。系统返回的结果包括一份答案的证明（https://www.researchgate.net/publication/410906746_The_Havel-Hakimi_Residue_of_Common-Divisor_Graphs_Resolving_and_Extending_a_Problem_of_Graffiti_and_Erdos?channel=doi&linkId=6a68d587303c7d450cb0ebc3&showFulltext=true）（Erdős和他的合作者曾猜测过这个答案）、一个无人预测的意外额外项，以及一幅人工智能体与人类数学家协同工作的图景。 这里有一个你可以在脑海中构建的画面。取出从2到30的整数，将每个数字画成一个点。当两个数字共享一个大于1的公因子时，就在它们之间画一条线。所以6连接到10，因为两者都能被2整除；15连接到25，因为两者都能被5整除。 一个网络图，包含标记为2到30的顶点。合数形成一个密集的青绿色簇，带有可见的蓝灰色边。质数是金色的，散布在外部，金色边连接它们与合数的倍数。一个标注说明质数构成了最大的无边集，并给出了恒等式：α(G_sub_30) = π(30)。 公约数图 \(G_{30}\)。顶点是2到30的整数，当两个数共享一个大于1的公因子时相连。金色边连接的是质数顶点，蓝灰色边连接两个合数顶点，十个金色质数顶点彼此之间没有边，构成一个最大独立集。 最终你会得到一个图，从数学意义上讲，是由点（顶点）和线（边）组成的。将质数涂成金色。没有一个金色点彼此相连，因为两个不同的质数永远不会共享因子。 令人惊讶的部分是什么？质数不仅仅是某种无连接的点的集合。它们构成了可能存在的、彼此之间完全没有连接的最大点群。数学家给这样的群起了一个名字——独立集。值得看看为什么质数会赢得这场竞赛。 在这个图中选择任意一个独立集。其中的每一个数字都必须与集合中其他所有数字互质（这就是"无共享因子"的含义）。现在，从每个数字中提取一个质因子。由于这些数字都不共享因子，你刚刚提取出的质数必须彼此都不同。这意味着你永远无法在你的独立集中收集到比一开始可供提取的质数更多的数字。写成公式就是： *α(Gn) = π(n)* 这里Gn是由整数2到n构成的图，α(Gn)是其最大独立集的大小，而π(n)是经典的质数计数函数，即不超过n的质数的数量。 这本身就是一个简洁的恒等式；它将一个关于质数计数的问题转化为一个关于图的问题。但它也打开了一扇通往更奇特事物的大门，一个你可以仅通过对图的结构进行简单算术运算就能快速计算出的数字，它与质数没有明显的联系。 ## 一个本不该奏效（但确实奏效）的捷径 在一个图中找到最大独立集，一般来说，是一个困难的计算问题，因为它无法很好地扩展。但有一个更容易得到的数字，叫做顶点的度数，指的是有多少条边与之相连。 有一个将度数转化为独立集下界的技巧，称为Havel-Hakimi（https://en.wikipedia.org/wiki/Havel%E2%80%93Hakimi_algorithm）过程。列出每个顶点的度数，从大到小排序。取出最大的数字，称之为d，将其划掉，然后从列表中接下来的d个条目中各减去1。再次排序。重复这个过程。 最终，你只会剩下一些零。数一下这些零的数量。这个计数被称为图的剩余（residue），记作R(G)。 计算剩余的速度很快，并且它总是以可预测的方向低估真实情况： *R(G) ≤ α(G)* 换句话说，剩余是一个你可以在几秒钟内计算出的凭证，它保证最大独立集大小的一个下界，而你无需实际找到那个集合。应用到我们的质数图上，这就变成了： *R(Gn) ≤ π(n)* 所以，真正的问题是：这个剩余计算只看度数，从不看哪个顶点连接哪个顶点。这种简化后的视角是否仍然能捕捉到质数计数的正确量级？还是说，丢弃所有这些结构细节也会同时丢弃答案？ 这个问题有着一段出人意料的长久历史，它始于一次早期的、严肃的尝试，让机器自主提出数学问题。 ## Graffiti、Erdős和一个留在墙上的问题 *Siemion Fajtlowicz 和 Paul Erdös，1992年（图片来源：Jerry Grossman的网页）。* Siemion Fajtlowicz（https://en.wikipedia.org/wiki/Siemion_Fajtlowicz），休斯顿大学（https://www.uh.edu/）的一位数学家，在20世纪80年代中期构建了一个名为Graffiti的程序。它存储了一个图库以及每个图的数值属性，生成与这些属性相关的候选不等式，并使用一组启发式规则来过滤掉那些真实但无趣的结果。Fajtlowicz并不仅仅是想生成公式，他试图理解是什么让一个数学陈述值得数学家花时间。 Graffiti提出的猜想最终启发了数百篇论文，并吸引了Paul Erdős、Fan Chung（https://scholar.google.com/citations?user=1mwJPHYAAAAJ&hl=en）、László Lovász（https://en.wikipedia.org/wiki/L%C3%A1szl%C3%B3_Lov%C3%A1sz）和Paul Seymour（https://en.wikipedia.org/wiki/Paul_Seymour_(mathematician)）等数学家的注意。Erdős尤其符合，他一生大部分时间都在合作者、具体例子和数论及组合学中的开放问题之间穿梭。Fajtlowicz曾用一句话总结了人与机器之间的相似之处： *"无论差异如何，Erdős和Graffiti有一个共同点：他们的想法都深深植根于例子之中。"* 1987年11月，Fajtlowicz将剩余作为一个不变量引入Graffiti，并猜想它永远不会超过独立数。Favaron（https://en.wikipedia.org/wiki/Odile_Favaron）、Mahéo和Saclé在次年证明了这一点，该证明（https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/jgt.3190150107）于1991年发表。随后，Graffiti将注意力转向这些整数上的公约数图，这个问题被列入名为"写在墙上"（Written on the Wall）的开放问题列表，编号为猜想448。 Erdős证明，剩余的增长率至少与 n / log n 相当，这与质数计数函数本身的增长速度相同。他与图论学家William Staton（https://scholar.google.com/citations?user=BvyGVOoAAAAJ&hl=en）合作，更加精确地确定了主导常数： *ζ(2) − 1 = π² / 6 − 1 = 0.644934...* Bill Staton，身着蓝色有领衬衫打领带，站在室内木墙前。 *William A. "Bill" Staton III 博士（图片来源：HT Media）* 这个ζ(2)是黎曼ζ函数的一个著名值，该函数也是数学界最著名的开放问题之一的核心。Erdős随后提问是否有人能找到一个相同量级的匹配上界。Fajtlowicz猜测常数可能是2/3。然而，Staton有不同的预感。他假设Erdős-Staton下界不仅仅是下界，而是精确答案。"写在墙上"明确记录了他的立场："Bill Staton认为剩余……渐进地为 (π²/6 − 1) n / log n。" 直到n=10,000的数值检验支持了他的观点。但没有人提出证明，至少没有任何证明被记录在能找到的任何档案中。 ## 问题卷土重来 Randy Davila是一位图论学家，也是FirstPrinciples（https://firstprinciples.com/）的技术人员，同时在莱斯大学（https://www.rice.edu/）有学术职务。自2016年以来，他一直在构建TxGraffiti（https://txgraffiti2.readthedocs.io/en/latest/），这是Fajtlowicz原始程序的现代继承者。核心思想完整地传承了下来：每个例子和每个不变量都应当被清晰地展现，以便数学家可以审视、探究并提出质疑。 一条水平时间线标记了1987年、1988年、1989年、1991年、2025年和2026年。它追溯了剩余的引入、一般不等式、Erdős-Staton zeta界与预测、一般不等式的已发表证明、Davila的重建以及现代的AI引导证明。 *公约数剩余问题跨越了机器辅助数学的两个时代，从1987年Fajtlowicz引入剩余，到2026年Theo-Conjecture的证明工作流程。* Davila独立重新发现了公约数图，并从头开始重建了其数据。2025年，他将自己的计算和图表发送给了数论学家Jeffrey Lagarias（https://en.wikipedia.org/wiki/Jeffrey_Lagarias），Lagarias通过一套难以找到的Fajtlowicz文档追溯了这个问题，并提到了他与Fan Chung做过的相关工作。Chung自己的出版物列表现在包含一份名为《非互质图的Havel-Hakimi剩余界》（Bounds for Havel-Hakimi residues of non-coprime graphs）的未注明日期的预印本，将Chung与Erdős、Lagarias和Staton并列，但其中没有附上手稿链接或定理陈述。值得直接指出：这个时间线来自私人通信，在任何人将其视为确定历史之前，应当与Lagarias和Chung独立确认。 尽管如此，这个重建过程做了两件有用的事。它确认了猜想的准确内容，并阐明了真正的进展需要是什么样子。也就是说，一个与Erdős-Staton常数匹配的上界，理想情况下，除了主导项之外，还能提供更多信息。 这就是Davila输入到Theo-Conjecture循环中的问题的形态。Theo-Conjecture不是一个聊天机器人，也不是一个能吐出公式的机器。它是一个带有顾问监督的发现系统，其中一个大语言模型扮演智能体角色，反复调用一个组合猜想的引擎，执行精确计算，并在不断发展的数学记忆中更新信息。 五个方框从对象、值和谓语的注册表流向Theo-Conjecture关系搜索、一个LLM智能体、精确反例测试和一个人工审计定理。弯曲的反馈箭头显示失败的陈述成为注册表行，新的描述符返回注册表。一个较低的方框代表人类顾问的数学判断。 *顾问监督下的Theo-Conjecture循环。注册表是一个可检查的表格，其行是可执行的数学对象，其列是定义的数值不变量或布尔谓词。LLM智能体构建和修订注册表，调用Theo-Conjecture，解释其排序后的关系，并启动精确反例搜索。它可以以广泛的过程自主权重复这个循环；人类顾问控制目标、重要性和证明接受度。* 每一次尝试都会被保留（包括失败的尝试），保存在一个模型可以回溯搜索并在以后构建的记录中。重要的是，仅仅因为模型这么说，或者因为它匹配了一堆例子，都不算证明。任何结果都必须经过人类数学家签字确认才算数。 这就是为什么失败是有用的而不是浪费。当一个想法不成立时，它会保留在记录中，并塑造下一步尝试的内容，而不是被悄然放弃。 ## 失败实际教会了它什么 系统的第一个想法是错的。它试图用某个范围内没有重复质因数的数字数量来解释剩余，结果预测偏差很大且不断扩大，在较大数值时差了739。这完全排除了这个想法。 一个更好的匹配来自一个叫做Caro-Wei和的量，它关注的是每个数字有多少个连接，而不是具体哪些数字被连接。使用它，旧的ζ(2) − 1常数就自然而然地出现了，同时还有一个无人预测的第二项。但这仍然只证明了一半的故事，即一个下界。填补差距需要一个真正的洞察，即意识到剩余只关心每个数字有多少个连接，而从不关心具体是哪些连接。所以，只要每个数字保持其最初的连接数量，整个图就可以被重绘。 *证明将质数-合数关系替换为等度数质数顶点的团，然后在别处修复合数的度数。每个度数都被保留，但重连后的图具有更简单的独立集结构。* 这就是重绘后的样子。将共享相同连接数的质数分组到一个紧密的簇中，让它们彼此全部相连，并让普通的合数吸收被移走的连接。一旦质数以这种方式聚类，很容易看出你永远无法一次选择超过一个质数，而这正是Staton预测的界。 ## 结果 综合所有这些，证明了Staton最初的预测，并添加了一个之前无人发现的二阶项： *R(Gn) = c₀ · n/log n + (c₀ - A) · n/log²n + O(n/log³n)* 其中 *c₀ = ζ(2) − 1 且 A = Σ(k=2 到 ∞) log k / [k²(k−1)] = 0.3201986326...* 于是，在极限情况下，我们得到： *R(Gn) · log n / n → ζ(2) − 1* 用平实的语言来说，这个定理表明，这个只依赖度数的快速计算，捕捉到了当n增长时真实质数计数的一个固定、可预测的比例。把这个比例反过来看，也同样清晰： *π(n) / R(Gn) → 1.550546...* 一个线图显示了图剩余乘以log n除以n的精确蓝色值，它们下降趋向于一条在0.644934处的虚线水平线。一条红色的二项近似曲线跟随蓝色数据。一个侧面板将常数标识为zeta(2)减1。 *精确归一化剩余趋近于 ζ(2)-1 = 0.644934...。红色曲线显示了新的两项渐近表达式，它比单独使用极限常数更准确地解释了有限尺寸的趋近过程。* 需要明确这一点不是什么：它不是一种更快的质数计数方法，也不涉及黎曼假设。但ζ函数在这里的出现也并非巧合。它通过求和由质因子创造的分层、乘法结构而自然得出，而图论证明恰好解释了为什么这个仅看度数的剩余最终会捕捉到相同的领先行为。 二阶项是真正全新的部分。它不仅告诉你剩余渐近地指向哪里，还告诉你有限图以多快的速度接近这个目的地。 ## 一个更紧凑的谜题，仍然开放 所有这一切引出了一个特别简洁的问题，至今尚未解决。在连续测试到n=10,000的每一个值，以及散点抽样到一百万的所有检查点上，剩余从未偏离向上取整的Caro-Wei和超过两个整数： *⌈CW(Gn)⌉ ≤ R(Gn) ≤ ⌈CW(Gn)⌉ + 2* 还没有人证明这一点。如果它成立，它将重新…