基于稀疏传感器测量的张量重构的低成本高阶奇异值分解：城市流动与空气质量应用

# 基于稀疏传感器测量的张量重构的低成本高阶奇异值分解：城市流动与空气质量应用
来源：https://arxiv.org/html/2606.24989
Arindam Sengupta
马德里理工大学航空航天与空间工程学院，Cardenal Cisneros广场3号，马德里，28040，西班牙
通讯作者：[email protected] (Arindam Sengupta), [email protected] (Soledad Le Clainche)
共同作者：[email protected] [email protected] [email protected]
Paul Jeanney
马德里理工大学航空航天与空间工程学院，Cardenal Cisneros广场3号，马德里，28040，西班牙
奥雅纳工程顾问公司，Alfonso XI街12号，Retiro区，马德里，28014，西班牙
Ricardo Vinuesa
Jose Miguel Pérez
马德里理工大学航空航天与空间工程学院，Cardenal Cisneros广场3号，马德里，28040，西班牙
Soledad Le Clainche
马德里理工大学航空航天与空间工程学院，Cardenal Cisneros广场3号，马德里，28040，西班牙
通讯作者：[email protected] (Arindam Sengupta), [email protected] (Soledad Le Clainche)
共同作者：[email protected] [email protected] [email protected]
###### 摘要
城市流动和空气质量模拟生成高维数据集，描述跨多个空间、时间和物理变量维度的速度与污染物传输。从稀疏传感器测量中重构这些场是环境监测、数字孪生、预报和数据同化中的基本挑战。现有的低成本重构方法通常基于矩阵分解，需要将多维数据展平为二维快照矩阵，从而丢弃重要的结构信息。本文引入了低成本高阶奇异值分解（lcHOSVD），这是一种新颖的基于张量的稀疏传感重构框架，适用于高维环境场。据作者所知，这是首次将稀疏传感与HOSVD相结合用于场重构的方法。与基于矩阵的方法不同，lcHOSVD保留了数据的自然张量结构，能够利用空间、时间和物理变量维度之间的相关性，同时大幅降低传统HOSVD的计算需求。该方法应用于城市流动和空气质量数据集，仅使用可用空间位置的1-4%就重构了三维速度和污染物浓度场。系统性地与低成本奇异值分解（lcSVD）进行了比较，以评估基于矩阵和基于张量的公式之间的权衡。虽然lcSVD提供了更大的计算加速，但lcHOSVD在以强多维耦合和跨维度异质动力学为特征的配置中，始终实现更低的重构误差。额外的传感器各向异性分析表明，张量公式对不均匀传感器分布（实际环境监测网络中的常见情况）的鲁棒性显著增强。所提出的框架将稀疏传感降阶建模扩展到张量表示，并在环境监测、预报、数字孪生和数据同化应用中展现出巨大潜力，这些应用必须从有限的观测中估计完整的环境场。

**关键词：** 模态分解，lcSVD，lcHOSVD，城市流动，污染物浓度，降阶建模，传感器。

## 1. 引言
道路交通是欧洲城市氮氧化物（NOx）排放的主要来源之一，在人口密集区域的街道层面直接释放氮氧化物[14 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib1),13 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib2)]。来自交通和燃烧源的颗粒物（PM2.5）加剧了这一问题，使欧盟96%的城市人口暴露在超出世界卫生组织指导水平的浓度中[13 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib2)]。这些污染物在街道层面的积累不仅受排放速率控制，还受周围城市几何结构和当地风场的影响。高保真计算流体动力学（CFD）可以模拟这种行为，同时解析速度场、湍动能和污染物传输，其域范围从单个建筑物到整个城市区域[4 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib7),40 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib9)]。由此产生的数据集不再是简单的标量快照，而是多变量、三维的，并且在时间分辨情况下极其庞大。现代流体或城市流动数据库，无论是时间分辨的粒子图像测速（PIV）测量[15 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib3),32 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib4)]、反应流的大涡模拟（LES）[5 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib5),42 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib6)]，还是高保真CFD模拟[4 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib7),6 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib8),40 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib9)]，都产生了规模庞大的数据集，其直接操作在计算上非常昂贵。虽然这些数据库包含关于主导流动模式和污染物路径的丰富物理信息，但其维度在存储、计算成本和实时适用性方面造成了瓶颈。

模态分解方法长期以来为这些挑战提供了原则性的解决方案。本征正交分解（POD）/奇异值分解（SVD）[16 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib10),28 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib11)]仍然是流动分析中使用最广泛的技术，因为它提供了数据的低秩近似。其应用涵盖湍流分析、流动重构、预测以及低维动力学模型的构建[3 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib12),20 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib13),1 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib14)]。在城市流动研究中，Liu等人[27 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib15)]将POD应用于真实城市形态的大涡模拟数据，并证明了少量模态足以捕获主导风模式，而Xiang等人[47 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib16)]通过将POD与回归技术相结合，构建了具有动态边界条件的城市气流非侵入式降阶模型，以极低的计算成本实现了与完整CFD解决方案的良好一致性。Xiao等人[48 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib23)]开发了基于高斯过程回归与POD结合的湍流城市气流非侵入式降阶模型，其预测速度比完整LES求解器快几个数量级。动态模态分解（DMD）[39 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib17)]是另一种常用的模态分解方法，它通过将每个模态与特定的时间频率相关联来扩展模态分析，使其在非定常和湍流问题中识别相干流动结构特别有效。模态分解技术已被广泛用于识别主导流动结构和开发降阶预测模型[10 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib22),41 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib25),46 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib26)]。

城市流动数据集通常包括定义在大型三维域上的速度和标量场，其中流动行为受建筑布局和街道峡谷相互作用的强烈影响。模态分解方法可以捕获这些城市风场的主要动力学特性，同时显著降低数据的维度[48 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib23),27 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib15),47 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib16)]。更广泛地说，Masoumi-Verki等人[31 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib24)]综述了城市气流和污染物扩散降阶建模的最新进展，指出降阶模型是CFD模拟的实用替代方案，并注意到完整CFD模拟的高计算成本阻碍了其在近实时和长期应用中的使用。

尽管取得了成功，但传统的POD和DMD方法通常需要将数据排列成二维快照矩阵，这是通过将空间维度和物理变量展平为一个单一向量表示来实现的。虽然这种重塑保留了底层信息，但它没有明确利用数据固有的多路结构。因此，空间方向和物理变量被共同视为一个索引，无法直接识别与每个维度和变量相关联的独立模态基。基于张量的分解通过将数据表示为多路数组并沿每个模式独立进行分解，直接提供了解决方案。这些方法保留了流动的方向性结构，并允许为每个空间方向和变量分别计算模态基。其中，高阶奇异值分解（HOSVD）[7 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib19),8 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib20)]提供了矩阵SVD的多线性推广，并自然地扩展到张量。在Tucker分解形式[24 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib21)]下，HOSVD生成一个核心张量和一组标准正交因子矩阵（每个模式一个），使得能够沿每个轴独立选择秩。这些特性使HOSVD对流体动力学数据集具有吸引力，其中主导复杂性可能在例如流向和壁法向方向之间存在显著差异。此外，Le Clainche & Vega[26 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib18)]后来引入了高阶动态模态分解（HODMD），通过扩展快照矩阵以包含d个连续延迟时间步，使得能够识别单步分解无法解决的动力学特性。

尽管基于张量的分解为多维流动数据提供了结构上更丰富的表示，但它们的实际使用通常受到完整张量分解高计算成本的限制。计算HOSVD需要沿张量的每个展开执行大型矩阵SVD，并且随着空间分辨率或变量数量的增长，这种成本在各个模式上迅速累积。对于研究中日益常见的高分辨率城市或反应流数据集，即使单个展开也可能涉及过大的矩阵，需要高容量资源。

降低计算开销的补充策略来自使用稀疏测量。不是分解完整数据集，而是对数据的缩减子集进行分解，然后重构完整解[19 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib27)]。在lcSVD中，SVD应用于由选择少量空间位置（随机、等距或通过最优传感器布置[29 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib28),9 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib29)]）形成的缩减快照矩阵，然后通过投影回原始空间域来恢复全分辨率空间模态和时间系数。Hetherington & Le Clainche[19 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib27)]在一系列涵盖二维和三维层流与湍流的测试案例上引入并验证了该方法，报告了与经典SVD相比高达630倍的加速因子和约37%的内存减少，并且在层流配置中重构误差轻松低于5%。Nav等人[33 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib46)]采用了不同的路径，通过一个分层、基于学习的流水线来重构稀疏传感器风场。用一系列粗到细的分辨率提升代替单一的稀疏到精细反演。每个提升在POD系数空间中用LSTM学习，传感器通过QR枢轴放置。这两种策略的主要区别在于如何恢复未观测信息。lcSVD通过从采样模态进行一次投影步骤获得完整场。相比之下，分层方法通过训练有素的代理逐步恢复，这些代理必须为每个分辨率转换和场景进行离线校准。lcSVD依赖于单一模态基。而分层方法在每个层级维护一个单独的POD基和一个学习映射。最近的扩散方法也从不同角度探索了稀疏重构。Diff-SPORT[44 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib47)]将用于湍流重构的条件生成扩散模型与用于最优传感器布置的可解释深度学习策略相结合，其中传感器位置由网络自身认为最具信息量的特征确定。这种生成式重构与可解释布置的结合进一步突显了稀疏传感在城市流动应用中的日益增长的兴趣。

Pillai等人[38 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib30)]将lcSVD应用于反应燃烧数据库，证明了其从稀疏传感器重构POD模态以及合并异质数值和实验数据集的能力。对于层流共流火焰案例，主导物种的重构精度保持在1%以内，而该方法比标准SVD运行速度快十倍以上，并将数据量减少了超过2000倍。所呈现的结果证实，即使在强多变量耦合和实验噪声下，低成本框架依然可靠。lcSVD框架随后被扩展到数据同化。Jeanney等人[23 (https://arxiv.org/html/2606.24989#bib.bib31)]将低成本奇异值分解（lcSVD）应用于流体动力学数据同化框架内。他们的研究表明，降低分辨率计算与基于lcSVD的重构相结合，可以相比传统方法大幅减少计算时间和内存使用。就像SVD一样，lcSVD在降低计算成本方面有效，但它不保留数据的结构。基于张量的低成本方法将通过保留HOSVD的结构优势并借助稀疏采样以降低的成本运作来解决这个问题。

本文引入了低成本高阶SVD（lcHOSVD）框架来解决这一差距。基于HOSVD的理论基础和lcSVD展示的实际进展，所提出的方法直接从稀疏传感器观测进行完整分解，通过投影到原始域恢复完整的模态基和核心张量。这样，传统HOSVD的计算成本大幅降低，同时其表示得以保留，沿每个空间方向和物理变量具有独立的模态基。据作者所知，这是首次将稀疏传感与HOSVD相结合用于场重构的方法，也是低成本张量分解技术首次应用于城市流动和污染物传输数据集。根据测试案例和奇异值衰减情况