参数化Deep Ritz方法在非线性椭圆均匀化中的应用

# 基于参数化 Deep Ritz 方法的非线性椭圆均匀化
来源：https://arxiv.org/html/2609.05778  
Conor Rowan  
所属机构：Smead 航空航天工程科学系  
所属机构：科罗拉多大学博尔德分校  
所属机构：3775 Discovery Drive  
所属机构：Boulder, CO 80309  
邮箱：[conor\.rowan@colorado\.edu](mailto:)

###### 摘要
椭圆均匀化用于确定具有小尺度特征材料的粗粒化属性，这些属性可用于热传导和弹性分析。当这些小尺度特征具有快速、周期性波动时，与“均匀化”本构关系相对应的温度或位移场，与基于非均质材料的真实解非常相似。材料的这种均匀化行为通过单胞问题计算得出，其中单胞定义为波动材料的一个周期。在线性椭圆偏微分方程的背景下，均匀化本构关系简单地定义为常系数张量，但对于非线性问题，均匀化响应取决于宏观状态和/或其梯度，因此需要求解参数化单胞问题。此外，当使用均匀化本构关系计算数值解时，拥有单胞问题的可微分解表示是有用的，因为在宏观状态场的牛顿迭代中需要均匀化本构关系的导数。在本研究中，我们使用 Deep Ritz 方法来解决非线性均匀化中产生的参数化单胞问题。首先，我们利用单胞问题的变分结构，然后用神经网络离散化单胞响应对空间和宏观状态的依赖性。通过选择网络架构，在单胞响应上强制执行边界条件后，我们接下来使用参数化 Deep Ritz 方法同时求解一系列宏观状态和梯度下的单胞问题。在单胞问题层面，我们表明该方法准确、高效，并提供了关于宏观状态和梯度的连续可微的单胞响应表示。然后，我们表明，与传统的 FE² 方案相比，我们的单胞响应参数化表示加速了宏观尺度的求解，从而促进了非线性多尺度问题的数值求解。

*关键词* 椭圆均匀化 ⋅ 非线性均匀化 ⋅ 多尺度力学 ⋅ Deep Ritz 方法 ⋅ 科学机器学习

## 1 引言
在一篇经常被讨论的题为“数学在自然科学中不合理的有效性”的文章中，物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）指出，“数学在自然科学中巨大的实用性近乎神秘，并且没有合理的解释来说明它”[1](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib1)。后来的哲学家和科学家，特别是复杂性理论家，对数学描述自然的这些常常惊人的成功有很多讨论。在某些情况下，简单而具有预测性的数学模型的存在变得不那么神秘，因为注意到没有必要追踪精细尺度细节来预测感兴趣量的动力学行为。道格拉斯·霍夫施塔特（Douglas Hofstadter）这样阐述了这一点：
> “有些系统中，某些部分的行为往往会抵消其他部分的行为，结果是低层发生什么并不太重要，因为大多数情况都会产生相似的高层行为。这种系统的一个例子是装有气体的容器，所有分子以非常复杂的微观方式相互碰撞和冲击；但从宏观角度来看，总体结果是一个非常平静、稳定的系统，具有一定的温度、压强和体积”[2](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib2)。

统计热力学和气体动力学理论无疑是那些对复杂微观过程如何构建的世界能在宏观尺度上被理解这一问题感兴趣的思想家们最青睐的例子。一些系统表现出对霍夫施塔特所说的低层事件的“漠视”，这令人惊讶，并且对于从事建模工作的物理学家或工程师来说是一个巨大的福音。用一些复杂性科学家的术语来说，当一个系统或模型的有用描述或模型没有提及系统组成部分的细尺度细节时，就被称为“涌现”。这一概念隐含着系统是按尺度层次组织的，“微观尺度”代表系统的真实本质，例如，显微镜下看到的，而“宏观尺度”则是同一系统的涌现的、更高层次的描述。物理学家肖恩·卡罗尔（Sean Carroll）在谈到气体动力学理论时指出，“如果一个系统的属性不是系统详细基本描述的一部分，但当我们更广泛地观察该系统时，它变得有用甚至不可避免，那么该属性就是涌现的”[3](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib3)。同样，复杂性理论家约翰·霍兰德（John Holland）写道，“层次结构组织因此与涌现密切相关。层次结构的每一层通常由自己的规则集支配...[但]新层次的规则不得违反早期层次的规则”[4](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib4)。

涌现的概念——即高层描述通常是充分的——为维格纳关于数学有效性无法解释的著名挑衅提供了一个视角。通过消除或平均细尺度信息来构建有效的宏观描述，通常被称为粗粒化。虽然已经提出了一些与系统无关的概率化粗粒化方法[5](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib5)、[6](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib6)，但很自然地，人们会想到将系统组织成长度尺度的层次结构[7](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib7)。因此，低层或微观尺度代表系统的原子或分子组成部分。统计力学提供了大量技术，从包含大量相互作用部分的系统中提取粗粒化定律。然而，在实际工程问题的背景下，从系统的微观尺度模型中提取粗粒化本构关系通常是棘手的。此外，工程材料不仅在微观尺度（原子、分子等）上具有非均质性，而且在介观尺度上也具有非均质性。复合材料的情况肯定如此，其中材料的相态在毫米和厘米尺度上变化，可能是在基体和夹杂相之间。唯象热力学势（熵、能量及其勒让德变换）通常足以用于各个相的本构建模，而介观尺度非均质性的粗粒化才是具有实际意义的问题[8](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib8)、[9](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib9)。正如科学哲学家鲍勃·巴特曼（Bob Batterman）所声称的，“介观尺度参数和变量是广义上进行凝聚态物理学的正确变量。它们是自然的。从形而上学的角度来看，它们比更小尺度、推测更基本的结构更能刻画自然的关节”[10](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib10)。

在工程领域，从介观尺度非均质性中提取宏观材料属性的问题被称为“均匀化”。请注意，虽然材料的非均质性通常在介观尺度，但文献中将这些材料特征称为“微观结构”。我们在下文中采用这种术语。在这项工作中，我们关注具有周期性波动的材料的椭圆均匀化，应用于弹性、热传导和质量传输问题。线性偏微分方程（PDE）的椭圆均匀化理论已有数十年历史[11](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib11)、[12](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib12)，但也经历了许多现代处理，包括扩展到非线性问题[13](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib13)。椭圆均匀化的基本思想是通过将位移、温度或浓度梯度传递给周期性波动材料的一个“单胞”，然后通过平均单胞响应来计算相应的宏观通量，从而获得宏观本构响应。单胞定义为材料波动的一个周期，因此是非均质材料的基本构建块。对于非周期性或随机微观结构，通常改用代表性体积元（RVE）来估算有效属性，其尺寸必须足够大以捕捉微观结构的相关统计特性[14](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib14)、[15](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib15)。由于我们将注意力限制在周期性均匀化上，我们使用材料微观结构的单胞这一术语。

基于单胞的方法在有限元法的背景下得到了彻底探索，其中单胞可以被网格化，单胞问题可以数值求解，从而允许计算有效宏观属性[16](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib16)、[17](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib17)、[18](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib18)。以这种方式计算宏观属性，避免了为解析宏观域内的微观结构波动而构建有限元网格，从而避免了昂贵的模拟[19](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib19)。对于线性均匀化问题，均匀化本构关系也是线性的，因此可以通过单胞对单位梯度的响应来计算。对于非线性均匀化，均匀化本构响应非线性地依赖于宏观状态及其梯度，这需要在宏观域和单胞问题之间进行更紧密的耦合，因为随着宏观状态在牛顿迭代中演化，单胞响应需要重新计算[20](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib20)、[21](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib21)、[22](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib22)。一种流行的跨尺度信息传递方法是 FE² 方法，它在每个宏观积分点处求解单胞响应的有限元问题，并相应地计算本构响应。FE² 已在热弹性[23](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib23)、压电材料[24](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib24)和多尺度断裂力学[25](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib25)的背景下与有限元法成功结合使用。宏观尺度上的牛顿迭代还需要均匀化本构关系对其宏观自变量的导数。在传统的 FE² 中，评估这种一致切线需要单胞问题的线性化或灵敏度分析[26](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib26)、[27](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib27)、[28](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib28)。

在过去的十年中，科学机器学习（SciML）为计算科学中的经典问题提供了许多新视角，并引入了一些全新的工具。在 2017-2019 年期间，物理信息神经网络（PINNs）建立了一个新的科学计算范式，可以将数据和物理知识无缝集成[29](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib29)、[30](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib30)。使用 PINNs，神经网络离散化 PDE 解场，用于训练网络的损失函数可以同时包含控制微分方程和相关系统的测量数据。该框架简化了复杂 PDE 的数值求解，不需要网格，并且只需最少修改即可求解逆问题[31](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib31)。基本 PINNs 框架的一些变体涉及使用不同的损失函数，例如变分能量[32](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib32)、[33](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib33)、[34](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib34)或控制方程的弱形式[35](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib35)。PINNs 已在许多应用领域取得成功，例如断裂力学[36](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib36)、流体力学[37](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib37)、非线性弹性[33](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib33)和热传导[31](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib31)。尽管取得了成功，但 PINNs 依赖于控制方程的知识，训练可能很昂贵，并且如果 PDE 输入发生变化，需要重新训练。为了应对这些挑战，一种称为算子学习的技术训练神经网络，完全从数据中预测一系列问题输入下的 PDE 解函数。这首先在 Deep Operator Network[38](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib38) 中进行了探索，其基本思想催生了许多其他架构，例如 Fourier Neural Operator[39](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib39)、Laplace Neural Operator[40](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib40)、Wavelet Neural Operator[41](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib41)，以及其他许多[42](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib42)、[43](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib43)、[44](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib44)、[45](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib45)。神经算子有两个值得注意的好处：不需要控制方程的知识来构建预测模型，并且一旦训练完成，评估起来效率很高，因为算子充当 PDE 求解的替代品，从而避免了计算昂贵的大方程组求解。话虽如此，我们注意到，当可用时，可以将物理知识纳入算子学习过程[46](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib46)。

PINNs 和神经算子已在许多科学领域得到广泛研究，但使用 SciML 技术进行均匀化的相关工作相对较少。因为单胞问题可能需要昂贵的数值求解来确定材料属性，并且单胞响应并不总是可以通过单位载荷解来表征，所以许多作者探索了使用数据驱动方法作为单胞问题的替代。使用机器学习策略加速非线性均匀化的一个早期例子是依靠神经网络来近似弹性固体中变形与均匀化应力张量之间的关系[47](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib47)。在[48](https://arxiv.org/html/2609.05778#bib.bib48)中，训练了一个数据驱动模型来预测复合材料单胞中的应力场，从而可以高效计算宏观属性。一个特别简单的策略是利用线性椭圆方程存在均匀化解的知识，并直接学习...