使用变分图自编码器的潮流可行性评估

# 使用变分图自编码器评估潮流可行性 ††感谢：本研究由Daedalos项目（Horizon Europe研究资助协议编号101172829）、GRAPHS4SEC项目（MICIU/AEI/10.13039/501100011033资助，授权编号PCI2023-145974-2）和BLOSSOMS项目（MICIU/AEI/10.13039/501100011033/及ERDF/EU资助，授权编号PID2024-158530OB-I00）资助。P. Barlet、O. Gomis-Bellmunt和E. Prieto-Araujo的工作得到了加泰罗尼亚大学与研究资助管理机构（AGAUR）通过ICREA Acadèmia计划以及加泰罗尼亚政府研究大学部的支持。E. Prieto-Araujo是Serra Húnter计划的成员。
来源：https://arxiv.org/html/2607.09122
Hamid Latif\-Martinez，Eduardo Prieto\-Araujo，Pere Barlet\-Ros，Oriol Gomis\-Bellmunt

###### 摘要

近年来，包括图神经网络在内的数据驱动方法已被研究用于加速潮流计算，但很少有研究关注解的可解性（即可由传统求解器获得解的性质）。本文提出了一种**变分图自编码器**（VGAE），用于检测潮流解的可解性，并以IEEE 118节点系统为例，评估人工智能驱动求解器所提供的解的有效性。

## I. 引言

电力网络的稳态分析依赖于求解一组称为**潮流**（PF）方程的非线性代数方程组，这些方程使用一组编码基尔霍夫定律的非线性等式约束。

在实践中，潮流问题通过迭代算法求解，例如**牛顿-拉夫逊法**（NR）[10](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib19)，其收敛性无法保证，即使已有数学研究旨在改善结果[7](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib21)，并且提出了新方法，例如用于潮流计算的全纯嵌入法（HELM）[11](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib3)。电力系统运行人员经常遇到求解器无法收敛的情况，由此产生一个基本问题：问题本身无解（不可行），还是算法仅仅是未能找到解（不收敛）？

*可行性*和*收敛性*这两个术语在电力系统文献中经常混淆，然而它们指的是根本不同的数学性质。可行性是*问题*的属性：它涉及是否存在满足所有控制方程和约束的解。收敛性是*算法*的属性：它涉及迭代过程是否找到了该解。

这一区别具有关键的操作后果。不可行的潮流表明系统已超出其电压稳定裕度。相反，收敛失败可能仅需要更好的初始化、重新缩放或更稳健的算法。误诊会导致不必要的负荷削减，或者更危险地，对从未实际找到的解产生虚假信心。

当使用人工智能或数据驱动方法时，这个问题可能更加危险，因为它们提供回归解而不考虑可行性。先前的工作仅关注回归解[2](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib27)[3](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib23)，忽略了问题可行性；只有Li等人[8](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib16)提出了一种**图注意力网络**（GAT）架构，使用监督学习来预测潮流收敛性。

本文提出了一种快速可靠的方法，通过使用基于**消息传递神经网络**（MPNNs）的**变分图自编码器**（VGAE）架构来评估潮流问题的可行性。

本文其余部分组织如下。第II节介绍了潮流问题、其可行性理论以及收敛失败的分类。第III节详细介绍了**图神经网络**（GNNs）是什么以及与自编码器相关的架构。第IV节详细介绍了我们评估潮流可行性的实现，而第V节展示了我们测试所得的结果。第VI节对工作进行了总结。

## II. 潮流：可行性与收敛性

### II-A 问题公式化

令 N = {0, 1, ..., n} 表示节点集合，节点 0 指定为平衡节点。复导纳矩阵 Ybus ∈ C^(n+1)×(n+1) 编码了网络拓扑和线路参数。潮流方程表示每个节点 i ∈ N \ {0} 处的复功率注入：

S_i = P_i + jQ_i = V_i ∑_{k∈N} Y_{ik}^* V_k^* ,           (1)

其中 V_i = |V_i| e^{jθ_i} 是节点复电压。分离实部和虚部可得标准极坐标形式的潮流方程：

P_i = |V_i| ∑_{k∈N} |V_k| (G_{ik} cos θ_{ik} + B_{ik} sin θ_{ik}) ,           (2)
Q_i = |V_i| ∑_{k∈N} |V_k| (G_{ik} sin θ_{ik} - B_{ik} cos θ_{ik}) ,           (3)

其中 θ_{ik} = θ_i - θ_k，而 G_{ik}（电导）和 B_{ik}（电纳）分别是 Y_{ik} 的实部和虚部。这构成了一个包含 2n 个实方程和 2n 个未知数 (θ, |V|) 的系统，可简洁地写为：

f(x) = 0,   x = [θ; |V|] ∈ ℝ^{2n}.           (4)

### II-B 鞍结分岔与可行性边界

若存在至少一个 x^* ∈ ℝ^{2n} 使得 f(x^*) = 0，则潮流问题 (4) 是*可行的*。所有解的集合在注入量和电压的联合空间中形成一个光滑的*解流形*。

对于一个典型的两节点系统，平衡节点电压 V_1 = 1.0 pu，线路阻抗 Z = R + jX，负荷 P + jQ，将 (2)–(3) 代入基尔霍夫关系并消去角度，可得关于 V_2^2 的二次方程：

V_2^4 - [V_1^2 - 2(RP + XQ)] V_2^2 + (R^2 + X^2)(P^2 + Q^2) = 0           (5)

方程 (5) 的判别式 Δ 决定了可行性：

Δ = [V_1^2 - 2(RP + XQ)]^2 - 4(R^2 + X^2)(P^2 + Q^2)           (6)

当 Δ > 0 时，存在两个实解：高电压（稳定）分支和低电压（不稳定）分支。当 Δ = 0 时，两个分支在*鼻点*或*鞍结分岔*（SNB）处合并（图1）。超过该点后，当 Δ < 0 时，不存在实解，因此系统不可行。

见图注

图 1：鼻点或鞍结分岔（SNB）点

### II-C 用于潮流求解的牛顿-拉夫逊法

求解潮流方程最广泛使用的算法是**牛顿-拉夫逊**（NR）迭代算法。在实践中，对于良好条件的系统，NR 从平启动开始可在 3-7 次迭代内收敛[10](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib19)。然而，在几种实际相关情况下会发生收敛失败，这些情况*不同于*不可行性：

1. 初始化超出解的范围。
2. 雅可比矩阵接近奇异。
3. 发电机无功限值切换。
4. 错误的网络数据。

表 I 总结了四种可能的组合及其操作解释。

**表 I：潮流中可行性 vs. 收敛性**  
发散是关于*算法*的证据，而非物理现象。只有在排除数据错误、不良初始化和数值病态条件后，才能将发散归因于真正的不可行性，即使如此，仍建议通过连续潮流（CPF）[1](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib24)或HELM方法等分析确认来提供关于可行性的完全确定性。

## III. 图神经网络自编码器

### III-A 图作为数据结构

电力网络自然可以表示为一个图 G = (V, E, X, E)，其中 V 是 N 个节点（母线）的集合，E ⊆ V × V 是边（支路）的集合，X ∈ ℝ^{N×d_v} 是节点特征矩阵（每一行 x_i 包含节点 i 的 d_v 个特征），而 E ∈ ℝ^{|E|×d_e} 收集了 d_e 个边特征。拓扑由邻接矩阵 A ∈ {0,1}^{N×N} 编码，其中若 (i,j) ∈ E，则 A_{ij} = 1。

虽然**卷积神经网络**（CNNs）设计用于欧几里得结构化数据，但它们无法处理诸如图等不规则结构。**图神经网络**[9](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib17)能够直接处理这些数据，学习图拓扑中固有的局部和全局模式。

### III-B 图神经网络

**图神经网络**是设计用于处理图结构数据的神经架构，通过学习同时包含特征和结构信息的节点表示。在本文中，我们采用**消息传递神经网络**（MPNN）公式[4](https://arxiv.org/html/2607.09122#bib.bib18)，它代表了最通用的GNN框架。

给定一个图 G，每个节点 i 初始化为一个特征向量 h_i^(0) = x_i。然后模型执行 T 次消息传递迭代，在此过程中，节点表示通过与其邻居交换信息而迭代地细化：

m_i^(t) = AGG( { ψ( h_i^(t-1), h_j^(t-1), e_{ij} ) : j ∈ N(i) } ) ,           (7)
h_i^(t) = UPDATE( h_i^(t-1), m_i^(t) ) .           (8)

经过 T 次迭代后，嵌入 h_i^(T) 编码了每个节点 T 跳邻域内的信息，同时捕获了局部属性和结构上下文。然后，这些学习到的表示可用作下游模型的输入，以执行任何所需的任务（例如分类）。在本文中，我们在自编码器框架内利用它们来学习图的紧凑表示。

### III-C 用于学习可行网络结构的图自编码器

**自编码器**（AEs）学习数据的压缩潜在表示，并从中重建原始输入。在高层次上，AE由两个核心组件组成：编码器，将输入数据压缩成较低维度的表示；解码器，基于此压缩嵌入尝试重建原始输入。模型经过训练，重建压缩表示使其尽可能接近原始输入。

形式上，给定输入 x，编码器产生潜在表示 z = f_φ(x)，解码器将输入重建为 x̂ = g_θ(z)。训练最小化如下形式的重建损失：

L = E_{x ∼ p_data} [ D(x, x̂) ] ,           (9)

其中 D 测量原始输入与重建输出之间的差异。

关键思想是，通过将输入压缩到潜在空间中，模型被迫仅保留输入中最重要的特征和模式。因此，自编码器学习重建与训练期间所见相似的输入，而难以重建与训练分布不同的输入。

通过使用**图神经网络**，这一原理可以自然地扩展到图结构化数据。在此设置中，输入是一个图 G = (A, X)，其中 A 表示拓扑，X 表示节点特征。编码器实现为一个GNN，产生节点级别的嵌入：

Z = f_φ(A, X) ,           (10)

其中每个嵌入既捕获其局部特征，也捕获其邻域的结构。然后，解码器尝试从这些嵌入重建原始图。

在本文中，我们应用这一原理来学习*可行*网络配置的表示。通过仅在常规（即物理或操作上有效）的网络状态上训练，自编码器学会准确地重建遵循系统潜在约束的输入图。然而，当输入表示异常或不可行网络的图时，模型无法正确重建，导致显著更高的重建误差。

通过这种方式，我们训练模型捕捉构成有效网络配置的内容，并标记与这种学习结构的偏离。换句话说，自编码器充当一个过滤器，识别给定样本是否类似于训练中看到的可行网络集合。

## IV. 架构描述

基于上一节介绍的图自编码器框架，我们现在描述用于建模可行网络配置的具体架构。

我们的模型遵循**变分图自编码器**（VGAE）设计，其中编码器实现为**消息传递神经网络**（MPNN），解码器从学习到的潜在表示重建节点特征。

### IV-A 消息传递编码器

编码器基于MPNN公式，其中节点表示通过与其邻居交换消息而迭代地细化。从输入节点特征开始，每个节点在 T 次消息传递迭代中更新其隐藏表示。

在每次迭代中，沿着边使用一个可学习的函数计算消息，该函数依赖于：(i) 源节点表示，(ii) 目标节点表示，以及 (iii) 边属性。

然后这些消息在每个节点处被聚合，以生成其邻域的摘要。为了对不同邻居的贡献进行加权，我们引入了一个注意力机制。每个传入消息被分配一个可学习的系数，通过softmax函数归一化使其和为1。这使得每个节点在更新其隐藏表示时能够优先考虑最相关的连接。

在更新节点状态之前，在前一个节点表示和聚合后的邻域消息之间添加一个残差连接。这使得模型能够在合并相邻信息的同时保留当前节点状态。