人工智能时代，纯数学研究的未来何在？

# AI 时代，纯数学研究的未来何在？ 来源：https://writings.stephenwolfram.com/2026/09/whats-the-future-for-pure-math-research-in-the-age-of-ai/ ## 各种头条与历史 头条新闻接连不断：某某 AI 系统解决了某某数学问题。而且我越来越常听到人们说：也许我们不再需要人类从事数学研究了；也许我们该把这一切都交给越来越强大的 AI。 我得承认，对这些说法我有些不耐烦。因为在我看来，它们往往涉及对数学究竟关乎什么的根本性误解——坦白说，也涉及对 AI 究竟关乎什么的误解。 也许我个人的某段经历让我对此有特别的体会。毕竟，早在 1988 年（https://www.wolfram.com/mathematica/scrapbook/），当我们首次推出 Mathematica（https://www.wolfram.com/mathematica/）时，也曾有过类似的说法，说数学即将被取代、变得毫无意义。当然，事情的发展完全不是这样。相反，Mathematica（如今的 Wolfram Language（https://www.wolfram.com/language/））只是抬高了数学可及的高度——多年来还催生了各种重要的新数学。 如果认为数学研究的核心就是计算符号积分，那么，是的，Mathematica 基本上已经取代了它。但尽管在数学的许多应用中需要的正是这类求解，它并不是纯粹数学本身的核心。 纯数学是一项古老的事业，与文明史紧密交织。自柏拉图和欧几里得时代起，纯数学就是抽象理性思维得以不断构筑更宏大结构的典范。历经数个世纪，纯数学已成为我们的文明所建成的最大单一智力大厦。 它并非没有自身的病态和局限。即便在那些建造这座大厦的人中间，也会出现关于何为重要、应如何行事等等的误解。数学的根本目标是不择手段地产生证明吗？数学最终总是要靠应用来证明自身的价值吗？是否存在一本注定的"正确答案之书"，数学的目标就是发现它？ 再一次，我想我在这一切中也有个人的经历。因为我在基础科学方面的探索，促使我追问许多事物（包括数学（https://www.wolframscience.com/metamathematics/））的基础问题。所以我研究过这样的问题：所有可能的数学体系构成的空间是什么样的？所有定理构成的网络，其极限结构可能是怎样的？尤其是，人类在我们称之为数学的这件事中扮演什么角色？ ## 现代 AI 的价值 稍后我们再谈纯数学的总体性质和价值。但在此之前，先来处理当下的话题：现代 AI 所扮演的角色。 首先要说的是，它无疑是有用的，有时非常有用。对我来说，它在数学探索中的最大价值，在于它能对人类数学的知识库进行主题式的挖掘。从 20 世纪 70 年代开始，能够对科学文献进行关键词检索，就是支撑我相当多研究的关键因素。而现在，有了现代 AI，我们能做到的多得多。因为在那些大语言模型的内部——以一种我们尚无法从科学上完全理解的方式（https://writings.stephenwolfram.com/2023/02/what-is-chatgpt-doing-and-why-does-it-work/）——存在一种相当于对那数百万篇数学论文和书籍中提取出的原始思想的表征。 而且，在最佳状态下，它做的不只是检索，还能建立联系。能够看出这里的某个结果可以与那里的某个结果组合起来，得出令人意外且有用的结论。人类当然也会这样做。但人类通常只读过几百篇论文；AI 则事实上已经读过了数百万篇，而且对它来说，尝试大量可能的组合成本极低。 那么，是否可以指望放任一个 AI 去运行，回来就带回伟大的数学成果呢？正如我们将讨论的，伟大的数学——比任何其他东西都更——是由它所提出的问题来定义的。是的，AI 可以成功地将过去通常需要人类亲自完成的事情自动化。但——我们稍后会讨论——纯数学的核心，是引导我们提出什么问题的人类想象力。 值得理解现代 AI 所做的事与纯粹计算之间的区别。现代 AI，首先且最重要地，是一种利用现有语料——人类知识——的方式。而计算——在其最强大的意义上——是一种根本上不可归约地、开放式地生成新事物的方式。从某条规则或公理出发，只是不断地重复运行应用它的计算，那么我一直以来最钟爱的现象——计算不可约性（https://www.wolframscience.com/nks/chap-12--the-principle-of-computational-equivalence#sect-12-6--computational-irreducibility）——就保证了你会不断得到全新的、崭新的结果，而这些结果除非执行所有那些计算步骤，否则无法触及。 （对于还不熟悉它的人来说，计算不可约性（https://www.wolframscience.com/nks/chap-12--the-principle-of-computational-equivalence#sect-12-6--computational-irreducibility）是我在 20 世纪 80 年代提出的一个概念，用来刻画这样一种观念：许多计算过程——即便由简单规则定义——也不存在任何通用捷径：确定其结果的唯一办法就是明确地执行每一步。事实证明，这一现象在可能的程序构成的计算宇宙中相当普遍（https://www.wolframscience.com/nks/chap-12--the-principle-of-computational-equivalence/），并且与许多科学领域（以及哲学（https://writings.stephenwolfram.com/2026/02/what-ultimately-is-there-metaphysics-and-the-ruliad/）等）中一系列的基础性问题相联系（https://www.wolframscience.com/nks/）。） 所以，是的，与 AI 完全无关，计算就能生成无穷的新定理序列，代表着无穷的新事实序列，等等。而在这些定理中，会有各种各样的"原创性"和实际上的"意外"。但有一个问题。这些定理在某种意义上只是"从计算宇宙中摘取的结果"。因此它们当然属于那个新的——我认为非常重要的——领域：规则学（ruliology）（https://writings.stephenwolfram.com/2026/01/what-is-ruliology/），我在这上面投入了大量精力。但它们是数学吗？ ## 数学究竟是什么？ 好吧，这当然取决于数学究竟是什么——而这恰恰是我们需要去理解的。在数学的早期历史中，数学被视为对世界做出精确而正式陈述的方式，比如关于算术或几何的陈述。但到 19 世纪后半叶，人们已经达到了更高的抽象层次，不再受我们所经验的世界的特征所束缚。一种日益形式化的观点席卷了数学界：归根结底，数学不过是那些可以从某些公理（比如集合论公理）"机械地"（即通过计算）推导出来的定理的总和。 哥德尔定理给这幅图景砸出了一个小缺口。但即便在今天，如果被逼问，许多数学家仍会试图把数学定义为对某些选定公理的推论的形式研究。但尽管他们可能会这样说，这并不是对他们实际所做之事的好描述。绝大多数真正的纯数学研究并不在公理和机械推导的层面上运作。相反，它在高得多的层面上工作，构建和研究抽象结构及其相互关系。 这一点并非显而易见地是可能的（https://writings.stephenwolfram.com/2022/03/the-physicalization-of-metamathematics-and-its-implications-for-the-foundations-of-mathematics/）。或许在数学中获得正确答案的唯一方式就是在最低层面上运作，比如说直接依据公理。但纯数学有一个本质的——尽管通常是秘而不宣的——特征：在实践中，人们可以在勾股定理这样的层面上推理，而不必不断地深入下去去谈实数的公理化定义。我最近论证过，这与物理学中我们能够成功地做流体力学（https://writings.stephenwolfram.com/2023/02/computational-foundations-for-the-second-law-of-thermodynamics/），而不必总是深入下去追踪每一个分子碰撞的原因非常相似。 归根结底，流体确实由所有那些分子构成。但关键在于，像我们这样的观察者通常只在远为"人类化"的层面上——即整体流体运动等层面——对它进行采样。数学亦是如此。人类数学家通常也只以整体性、集体性的方式，以"人类层面"的结构和概念，来采样庞大的形而上学推导网络。 归根结底，数学和物理学的故事实际上非常相似。在最低层面上，一切都充满了计算不可约性，因此只能通过机械地执行每一个计算步骤来搞清楚事情。但在这种计算不可约性中，总是存在一些计算可约性的"口袋"，在那里可以以一种"更高层次"的方式"跳跃前进"。而我们的物理学定律——以及我们人类层面的数学——恰恰就存在于这些可约性的口袋之中。 我们可以把物理学——或事实上是整个自然科学——看作这样一种努力：从自然世界的复杂性中，找出那些能够用契合有限人类心智的叙事来描述的方面。数学也可以用非常相似的方式来看待：从形而上学世界的复杂性中，找出那些能够用叙事——现在是数学叙事——来描述、且契合有限人类心智的方面。 换句话说，推进纯数学的问题，在某个层面上与其说是推进某个原始的形而上学前沿，不如说是找到人类的方式去表征那里的东西。 人类数学的历史，其特征就是构筑一座又一座概念的高塔——这些高塔捕捉了越来越高的抽象层次。人们或许会以为，这个过程最终会不可避免地"揭示全部数学"。但故事更为复杂。可以想象，作为一个最终的极限，可以从所有可能的公理系统出发，生成所有可能的定理。以这种方式得到的东西是一个我称之为 ruliad（https://writings.stephenwolfram.com/2021/11/the-concept-of-the-ruliad/）的独特对象——它对应于所有可能的计算过程的纠缠极限。但问题在于，像我们这样的有限心智只能感知 ruliad 的极小一部分。这意味着我们不可能有"绝对的数学"，只有基于我们如何采样 ruliad 的数学。 我在别处论证过，这种采样的某些方面，不可避免地源自我们作为 ruliad 观察者的一般特征。这导致了某些"数学的一般定律（https://writings.stephenwolfram.com/2022/03/the-physicalization-of-metamathematics-and-its-implications-for-the-foundations-of-mathematics/#the-physicalized-laws-of-mathematics）"，比如高层级数学是可能的这一事实——至少对像我们这样的观察者而言是如此。但采样的其他方面，我们可以视为历史的偶然：数学社群所做出的选择，朝一个方向而非另一个方向去探索。而再一次，重要的是要认识到：做出这样的选择是不可避免的。 在某种意义上，ruliad 大到不可能不如此：我们有限的心智无法覆盖所有方向，所以我们只能选择其中一部分。然后我们必须用某套有限的概念来总结我们的发现——并以此为基础构建我们的数学叙事。 这与人类语言非常相似。在所有可能性中，我们选择某些概念来表征，比如用词语。而这些概念就是我们"封装思想"的方式，使我们能够以有限的方式进行交流，并能把它们装进自己的心智中。 在原始的计算层面上，做相当于数学的规则学（ruliology）的工作是直截了当的——从公理出发，开始生成大量从未见过的新定理。但压倒性地可能的结果只会是，把我们引向"外星数学"——它无法与我们所知的数学有效连接起来，或者，甚至无法与任何我们可以视为高层级概念的东西连接起来。 ## 用 AI 生成数学 但是，好吧，假设我们使用的是现代 AI。难道它不能直接操作高层级的数学概念吗？大语言模型当然能够处理人类语言。而且，正如大语言模型成功地学会了人类语言中词语组合的一般规律，它们同样也能学会数学中构造组合的一般规律。 但生成有用的数学是一项比生成语言严格得多的活动。一篇写成的故事并不能真正"出错"；而一段写成的数学作品当然可以。当然，当大语言模型能够调用 Wolfram Language（像人类那样）来可靠地计算东西时，这会有很大帮助。（而且，是的，大家都应该花几秒钟的时间，把他们的 AI 连接到我们的 Wolfram MCP 系统（https://www.wolfram.com/artificial-intelligence/mcp/）！）但一项严肃的数学研究通常需要把许多部分拼合起来，在论证中走许多步骤，等等。问题在于，大语言模型工作方式的根本统计性质，不可避免地使得随着事情变得更复杂，它们正确处理问题的可能性越来越低。而试图找到大语言模型碰巧做对了的情况，可能就变成了一种游戏。 但要怎么分辨呢？这是现代生活一个令人沮丧的特征：像我这样的人每天都会收到许多 AI 生成的文档（https://writings.stephenwolfram.com/2025/08/i-have-a-theory-too-the-challenge-and-opportunity-of-avocational-science/），它们具有数学论文的"统计纹理"，但至少可以预期它们有意义地正确的概率极低（而且可以想见，它们主要出自那些自己并不特别懂数学的人，只是让他们的 AI 帮他们"做数学"而已）。所以，是的，大语言模型实际上可以按人类层面的数学概念来工作，但它带着与影响人类思维相同的那类不确定性和不精确性。 ## 形式化的力量与挑战 但是，把这些人类层面的构造变成某种精确而形式化的东西——某种更接近公理层面的东西——又如何呢？而且，是的，我已经参与这类思考好几十年了。近期，人们对自动形式化（autoformalization）这个想法产生了相当大的热情：把"人类层面的数学"自动转化为某种形式化、公理化的东西，例如可以由证明助手系统进行验证。乍一听这似乎是个好主意。但有一个问题。是的，证明助手或许会验证一个证明。但它验证的是你以为的那个证明吗？薄弱环节在于：你如何确信对你的人类层面数学所做的形式化，正确地捕捉了你想要表达的东西。 我已经不止一次有过这样的经历：我尝试对某个东西做自动形式化，然后 AI 会告诉我："我完成了；你看，证明通过了！