基于相场建模的脆性断裂无网格多分辨率深度能量方法

# 一种基于无网格多分辨率深度能量法与相位场模型的脆性断裂研究  
来源：https://arxiv.org/html/2608.24126  
作者：  
Han Zhang††thanks:E\-mail: han\.zhang7@unsw\.edu\.au  
Mehrisadat Makki Alamdari  机构：新南威尔士大学，澳大利亚  
Babak Shahbodagh  机构：新南威尔士大学，澳大利亚  
Mohammad Vahab  机构：中央昆士兰大学，墨尔本，澳大利亚  
Cosmin Anitescu  机构：包豪斯大学魏玛，德国  
Timon Rabczuk  机构：包豪斯大学魏玛，德国  
Elena Atroshchenko††thanks:Corresponding author\. E\-mail: e\.atroshchenko@unsw\.edu\.au  机构：新南威尔士大学，澳大利亚  

###### 摘要  
脆性断裂的相位场建模通过将裂纹演化重构为能量泛函的最小化问题，避免了对裂纹进行显式追踪的需要。然而，该方法要求离散化密度足够高，以解析由正则化长度设定的局部化带，且该带的路径事先未知。本文提出一种无网格离散化方法，其中单个神经网络同时表示位移场和相位场，并通过直接最小化增量能量进行训练。坐标通过基于 $C^1$ 二次 B 样条网格构建的多分辨率特征编码输入网络，因此可表达的最细尺度由选择决定，而非通过缓慢训练达到。能量通过分层蒙特卡洛积分在每次优化器迭代时重新采样的点上估计，这使分辨率集中在损伤区域，且不为优化器留下可利用的固定点集。该组合被证明至关重要，因为当积分点固定或编码过于粗糙无法表示该带时，裂纹均无法扩展；而一旦其中一个要素到位，每个要素都能容忍广泛的设置范围。本质边界条件通过提升函数精确施加，曲线域则通过基于非均匀有理 B 样条构建的精确映射和域掩模处理。由于场表示是全局 $C^1$ 的，二阶和四阶断裂能密度在同一离散化上运行。该方法在单边缺口拉伸和剪切、裂纹分支、雁列裂纹汇聚、圆孔和厚壁环的裂纹萌生（在单个样条片上计算）上进行评估。计算的载荷-位移曲线与匹配正则化长度的交错有限元参考一致，在单边缺口测试中峰值载荷误差约 $1\%$，在裂纹模式拓扑改变的情况下误差在 $8\%$ 以内。在公共基准数据集的随机多裂纹配置上，该方法在二十次零次运行中对 $90\%$ 的植入裂纹的激活或休眠状态进行了正确分类，而数据集作者的深度 Ritz 基线方法则失败。网络初始化和采样序列的鲁棒性通过随机种子的集成进行了量化。  

## 1 引言  
裂纹萌生和扩展的预测仍然是计算固体力学的核心难题之一。经典计算断裂力学建立在对线性弹性断裂力学[1 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib1),2 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib2)]的尖锐裂纹描述之上，无论是通过在扩展前沿周围重新划分网格[3 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib3)]、沿候选路径使用内聚界面单元[4 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib4)]，还是通过用非连续模式增强有限元空间以使裂纹能够穿越单元[5 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib5)]，裂纹都被显式地表示出来。所有这些处理方法都需要在裂纹演化时追踪其几何形状，并且必须辅以单独的萌生、偏转角和分支标准，一旦多条裂纹相互作用或合并，这将变得日益棘手。  

将裂纹从网格中解放出来的愿望早于机器学习。无单元伽辽金方法基于散点节点上的移动最小二乘近似构建场[6 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib6)]，该传统下的无网格裂纹方法（如 Rabczuk 和 Belytschko 的开裂粒子[7 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib7)]）无需任何重新网格化即可处理任意演化的裂纹。然而，这些方法仍存在两个负担：裂纹本身仍是一个显式几何对象，由其面周围的可见性或富集构造携带；弱形式的积分在背景单元上评估，因此即使近似不再需要网格，积分仍保持类似网格的结构以追踪解。去除网格并未消除负担，而是将其转移到了积分中。  

Francfort 和 Marigo [8 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib8)]引入的变分观点通过将 Griffith 能量准则重构为弹性能与表面能之和的最小化问题，彻底消除了裂纹的簿记工作，从而使萌生、扩展、偏转、分支和合并作为能量最小化的结果出现，而非通过附加于每个事件的准则。该公式通过 Bourdin 等人[9 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib9),10 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib10)]的正则化变得可计算，其中未知的裂纹集被一个标量相位场替代，该场局部化在宽度与正则化长度 $l$ 成正比的弥散带中，随着 $l$ 趋于零而收敛到自由不连续问题[11 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib11)]。该模型通过热力学一致的公式和算子分裂[12 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib12),13 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib13),14 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib14)]、将损伤限制在拉伸类状态的能量分解[15 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib15),16 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib16),17 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib17),18 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib18)]、赋予正则化模型自身力学内容的梯度损伤解读[19 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib19),20 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib20)]、从交替最小化到单体化和活动集方案的各种求解策略[21 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib21),22 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib22)]以及通过历史场[13 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib13)]或惩罚[23 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib23)]施加的不可逆性而得以成熟。  

此后，该能量框架已涵盖动态分支[24 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib24)]、韧性断裂[25 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib25)]、疲劳[26 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib26)]、氢致开裂[27 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib27)]、热冲击裂纹模式[28 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib28),29 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib29)]以及耦合多物理场断裂[30 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib30),31 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib31)]，该领域已得到全面综述[17 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib17),32 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib32),33 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib33)]。  

此处涉及两项发展。第一项是从光滑边界的萌生，离散裂纹描述必须假设这一点，而在正则化设置中它自然出现，并将正则化长度与材料强度联系起来[34 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib34),35 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib35),18 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib18)]。第二项是 Borden 等人[36 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib36)]提出的、具有改进 $l$ 收敛性的四阶断裂能密度，这是继其他高阶相位场方程的等几何处理[37 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib37)]之后的工作。  

这些能力带来了分辨率要求。能量竞争仅在离散化解析宽度与 $l$ 成正比的带时才有意义，并且由于裂纹路径事先未知，基于网格的求解器必须要么在裂纹可能经过的任何地方进行细化，要么使用自适应细化机制跟随演化的模式，为此已开发了专门的预测-校正和各向异性策略[22 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib22),38 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib38),39 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib39),40 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib40)]。该要求是定量的而非名义上的，因为报告的计算在带上跨越了数个单元，单元尺寸在预期路径附近达到二分之一 $l$ 及以下[13 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib13)]，而带正是计算应当发现的唯一区域。  

四阶模型进一步提高了要求，因为其密度包含二阶导数，伽辽金处理需要全局 $C^1$ 连续性的试验空间，这是等几何离散化的主要动机[36 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib36),41 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib41),42 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib42)]。曲线域通过边界拟合网格化，或在等几何设置中通过带有界面项的多片耦合[43 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib43),39 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib39)]，增添了另一层复杂性。  

这些要素都不是决定性的，但每一个都将离散化更紧密地束缚在主要任务是追踪裂纹的网格上。神经网络提供了另一种离散化。用作全局试验函数[44 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib44),45 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib45),46 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib46),47 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib47)]时，它们光滑、无网格，并通过自动微分可任意阶可微，且已有成熟的训练软件[48 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib48),49 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib49)]。对于由最小值原理控制的问题，深度 Ritz 方法[50 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib50)]和密切相关的深度伽辽金方法[51 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib51)]直接在对网络参数最小化控制泛函，该方法被引入固体力学成为深度能量法[52 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib52),53 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib53)]，此后扩展到三维、混合和结构公式[54 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib54),55 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib55),56 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib56)]。带有试验函数的变分形式也已被探索[57 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib57)]，本质边界条件可通过基于距离的提升函数精确施加[58 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib58)]，此类求解器的优化行为也得到了专门考察[59 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib59),60 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib60),61 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib61),62 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib62)]。  

有一点贯穿本文：优化器遵循估计的泛函而非精确的，因此基于能量的求解器的可靠性取决于其能量积分的估计，而基于网络的损失的积分和采样已成为独立课题[63 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib63),64 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib64)]。由于脆性断裂的相位场描述本身就是一个增量最小化问题，这一研究方向自然延伸至此。Goswami 等人通过载荷步之间的迁移学习最小化相位场能量[65 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib65)]，使用沿裂纹自适应细化的积分网格处理四阶模型[40 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib40)]，并后来为断裂问题族学习解算子[66 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib66)]。Manav 等人[67 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib67)]系统地阐述了深度 Ritz 处理方法，展示了萌生、扩展、偏转、分支和汇聚，并对涉及的优化困难进行了仔细分析。Chakraborty 等人[68 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib68)]将能量公式应用于分解域，为每个子域分配一个单独的网络，通过位移和相位场的界面惩罚耦合子域，并在自适应细化的单元结构上处理四阶模型。Ghaffari Motlagh 等人[69 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib69)]比较了同一相位场模型的残差、弱形式和能量形式，发现能量形式是三者中最准确的。Wang 等人[70 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib70)]将离散和弥散描述统一到一个基于能量的框架中，在裂纹显式表示的地方，用线性弹性断裂力学的裂纹尖端渐近线和不连续性丰富试验位移；在裂纹未显式表示的地方则保留相位场。  

此后，高阶密度从两个方向被纳入能量设置。Plungė 等人[71 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib71)]将深度 Ritz 处理扩展到一系列各向异性高阶裂纹密度泛函，通过更高阶的 B 样条基函数丰富试验空间，以表示无需自动微分的高阶梯度；Dean 和 Bahtiri[72 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib72)]将四阶模型与自感知材料的传导问题耦合，在固定的高斯单元网格上通过自动微分获取拉普拉斯算子。其他途径将网络置于计算的其他位置：从有限元数据学习解算子[73 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib73)]，最小化近场动力学势以替代局部势[74 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib74)]，用线性弹性断裂力学的裂纹尖端渐近线丰富试验场[75 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib75)]，在保留平衡求解的有限元求解器中预测相位场[76 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib76)]，或为传统相位场代码提供本体本构响应[77 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib77)]。机器学习在断裂和损伤力学中的更广泛使用近期已有综述[78 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib78)]。  

能量最小化的研究对于其必须放弃的内容具有启发性。具有光滑激活函数的网络对光滑函数存在偏向，因此尺度 $l$ 的局部化带在训练中仅缓慢出现[79 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib79),80 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib80),62 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib62)]。坐标的多分辨率编码通过在 $l$ 以下引入可调的最细尺度来缓解这一问题，但到目前为止，这些编码要么在训练完成后才切换到精细尺度[71 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib71)]，要么依赖缓慢的自适应细化[40 (https://arxiv.org/html/2608.24126#bib.bib40)]。另一方面，当积分点固定时，能量估计会在损伤区域之外浪费大量点，并为优化器留下可被利用的固定结构。本文结合可调的多分辨率编码与分层积分，在每次迭代时重采样，旨在同时解决这两个限制。