用于高Péclet入口输运DeepONet代理模型的有理增强Chebyshev主干基

# 针对高佩克莱特入口输运的DeepONet代理模型的有理增强切比雪夫主干基函数
来源：https://arxiv.org/html/2608.19658
作者：Mingeun Choi
邮箱：[[email protected]](mailto:[email protected])
单位：佐治亚理工学院 George W. Woodruff 机械工程学院，美国佐治亚州亚特兰大市 30332
作者：Satish Kumar
邮箱：[[email protected]](mailto:[email protected])
通讯作者：通讯作者
单位：佐治亚理工学院 George W. Woodruff 机械工程学院，美国佐治亚州亚特兰大市 30332

###### 摘要

本研究展示了一种有理增强的切比雪夫（REC）主干，用于构建针对奇异摄动和高佩克莱特数（High-Péclet）输运问题的深度算子网络（DeepONet）代理模型。这类问题的解剖面以薄的局域边界层或壁面层为特征。REC主干将切比雪夫多项式字典元素与使用自适应Antoulas–Anderson（AAA）算法构建的有理字典元素相结合。在超过五次的独立训练运行中，所得的REC主干DeepONet与普通DeepONet以及切比雪夫主干DeepONet（其预设字典仅包含切比雪夫多项式）在三个奇异摄动参数（即扩散与对流之比）不同的问题上进行了比较：奇异摄动标量边值问题（BVP）、具有给定壁温的热入口问题，以及具有吸收壁的浓度入口问题。在留出的测试剖面上，REC主干DeepONet在预测标量剖面方面优于普通DeepONet，并与切比雪夫主干DeepONet相当；其相对于切比雪夫主干DeepONet的最明显优势出现在摄动参数介于1.00×10⁻⁴和1.78×10⁻⁴之间时，此时它将剖面误差指标最多降低了19.5%。在预测壁面法向温度和浓度剖面时，REC主干DeepONet分别将剖面误差指标最多降低了60.2%和32.2%（相对于普通DeepONet和切比雪夫主干DeepONet），同时在佩克莱特数或传质佩克莱特数范围从10²到10⁴时抑制了人工近壁振荡。

###### 关键词：

DeepONet，有理增强的切比雪夫主干，高佩克莱特数输运

## 1 引言

输运问题被表述为偏微分方程（PDEs），其中对流、扩散和反应可以在不同的空间和时间尺度上相互作用[courant2008methods](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib1)。当扩散相对于对流较弱时，相关的边值问题（BVP）可能成为奇异摄动的，因为小的摄动参数（或扩散与对流之比）乘以了最高阶空间导数。此类问题通常会产生宽度远小于区域长度的边界层或内部层[roos2008robust](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib2)。在解析这些局域层时，标准数值方案会遭受虚假振荡，或者需要过于密集的网格[roos2008robust](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib2)。因此，精确近似解剖面需要采用如拟合有限差分法、稳定化有限元法和层适应网格等技术[roos2008robust](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib2)，而在参数范围内重复进行层解析的模拟计算成本依然很高。为了减轻这一负担，近期的机器学习（ML）研究通过引入渐近分解、拉伸变量或参数延拓，开发了基于物理信息神经网络（PINN）的模型来处理奇异摄动问题[arzani2023theory](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib3), [zhang2024multi](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib4), [cao2023physics](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib5)。然而，这些模型依赖于从微分方程、小参数或目标问题的层行为中选择的问题特定结构。

深度算子网络（DeepONets）已成为奇异摄动问题的替代代理模型，因为它们旨在通过分支-主干表示学习将采样的输入函数和问题参数映射到解剖面的算子[lu2021learning](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib6), [wang2021learning](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib7)。一项开创性应用表明，DeepONet可以通过在依赖于摄动参数的层适应Shishkin点处评估训练损失来近似陡梯度解，而不是通过修改网络表示本身[du2024approximation](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib8)。随后的研究将这种层解析先验引入了算子学习表示。普朗特-范戴克DeepONet（PVD-ONet）将解分解为外层、内层和匹配分量，并将这些分量分配给按普朗特和范戴克匹配组织的多个DeepONet模块[sun2025pvd](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib9)。增强的有限元算子网络（eFEONet）在有限元Galerkin拟设中加入了奇异摄动校正函数。学习到的系数既包括节点有限元系数，也包括所添加层校正基函数的系数[lee2025efeo](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib10)。物理信息自适应尺度DeepONet（PAS-Net）在主干网络的输入中加入了预设或可学习的、以参考点为中心的局部重新缩放坐标，从而改变了主干网络所看到的坐标表示[mou2025pas](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib11)。然而，这些方法仍然是问题特定的，因为解分解、有限元增强或坐标重新缩放必须针对所表示的特定层进行选择。

并行的研究工作试图通过使用预设或数据导出的基函数及其系数来表示输出，从而减少这种依赖性。本征正交分解DeepONet（POD-DeepONet）从训练输出计算POD模态，并将所得模态用作主干，让分支网络预测模态系数[lu2022fair](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib12)。通过算子网络的谱系数学习（SCLON）预测正交展开（如Fourier或Legendre基）中的系数，并将这种系数空间形式应用于从奇异摄动对流-扩散方程到Navier-Stokes流的参数化PDE[choi2023spectral](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib13)。正交多项式神经算子（OPNO）围绕有界域上的正交多项式表示构建神经算子，并在该多项式框架内处理Dirichlet、Neumann和Robin边界条件[liu2024render](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib14)。谱嵌入DeepONet（SEDONet）在可训练的主干网络之前，将原始坐标主干输入转换为切比雪夫多项式的值，从而改善了有界域DeepONet对陡梯度、边界层和非周期结构的近似能力[abid2025sedonet](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib15)。然而，这些谱基和多项式基是整个区域上的全局表示，因此，一个薄的局域层除非使用适应内尺度的字典元素来丰富基函数，否则需要很多自由度。

这种内尺度表示问题不仅限于理想化的标量BVP，因为工程输运通常包含类似的高佩克莱特数对流-扩散层结构。在生物医学工程中，基于表面的生物传感器及相关生物流体捕获系统涉及反应性壁面附近的对流输送、扩散和表面结合[squires2008making](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib16)。在化学工程中，反应性微通道和电化学芯片产生受对流-扩散输送至反应界面的壁面法向浓度场[gervais2006mass](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib17), [chevalier2021semianalytical](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib18)。在航空航天工程中，高速壁面受限流动涉及冷却和渗透冷却边界层中的壁面法向热质传递[sescu2019transpiration](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib19), [hillcoat2025transpiration](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib20)；具有强近壁热梯度的高超音速边界层[xu2022hypersonic](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib21)；以及具有有限速率壁面化学的反应边界层[passiatore2021finite](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib22), [perakis2021recombination](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib23)。在这些例子中，共同的数学特征是壁面法向温度或浓度剖面由强轴向输运、横向扩散，在反应情况下还有表面动力学或壁面吸收所塑造。因此，入口热质传递提供了基准问题，这些问题在给定壁面、吸收壁面或Robin型表面条件下保留了相关的壁面法向层几何形状[shah1978laminar](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib24), [haase2015graetz](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib25), [popel1978mass](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib26), [debarnot2018graetz](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib27), [aquino2024equilibrium](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib28)，同时允许获得精确的数值参考剖面并可控地改变佩克莱特数、轴向位置、入口剖面和壁面吸收强度。然而，使用内尺度增强的DeepONet主干基函数来重建此类高佩克莱特数壁面法向剖面仍然探索不足。

本文介绍了有理增强的切比雪夫（REC）主干，作为DeepONet的预设输出坐标字典，它将切比雪夫多项式字典元素与有理字典元素相结合，而不增加可训练的主干参数。这个REC主干DeepONet在五次独立训练运行中，与普通DeepONet和切比雪夫主干DeepONet（其预设主干字典仅包含切比雪夫多项式字典元素）在三个解剖面包含单侧局域层的有界域基准问题上进行了比较。第一个问题是奇异摄动标量BVP，作为具有指数薄出流层的最简单有界区间公式[du2024approximation](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib8)。第二个问题是具有给定壁温的热入口问题，其中温度剖面在水动力学发展的层流管道流动下发展[shah1978laminar](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib24), [haase2015graetz](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib25)。第三个问题是具有吸收壁的浓度入口问题，其中浓度剖面在相同的水动力学发展的层流管道流动下发展[popel1978mass](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib26), [debarnot2018graetz](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib27)。结果表明，具有REC主干的DeepONet在奇异摄动标量BVP上保持整体竞争力，并在热入口和浓度入口问题上带来了最明显的优势，在这些问题中，附壁层控制着剖面几何形状。本文旨在回答以下四个问题：
1. REC主干在小摄动参数范围内奇异摄动标量BVP上的表现如何？
2. REC主干在高佩克莱特数范围内热入口问题上的表现如何，当学习到的输出是在查询的轴向位置处的壁面法向剖面时？
3. REC主干在高佩克莱特数范围内浓度入口问题上的表现如何，在Robin壁面动力学条件下并跨不同达姆科勒数（Damköhler numbers）？
4. REC主干在重复训练运行和先前未见过的解剖面上所获得的增益有多可重现？

## 2 方法

### 2.1 基准问题与算子学习公式

图1：问题1的计算域和边界条件（a）以及问题2和3的计算域和边界条件（b）。(b)中显示的完整通道是半通道计算域y∈[0,1]的对称扩展。
图1（https://arxiv.org/html/2608.19658#S2.F1）展示了本研究中考虑的三个基准问题的计算域和边界条件。
**问题1** 研究在图1（https://arxiv.org/html/2608.19658#S2.F1）(a)所示的一维区域上提出的奇异摄动标量BVP，其定义方程为[du2024approximation](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib8)：
$$
-\varepsilon \frac{d^2 u}{dx^2}(x) + \frac{du}{dx}(x) + u(x) = q(x); \qquad x \in (0, 1); \tag{1}
$$
并具有齐次Dirichlet边界条件：
$$
u(0) = u(1) = 0. \tag{2}
$$
这里，$x$表示有界区间$(0, 1)$上的无量纲空间坐标，$u(x)$表示无量纲标量解场，$q(x)$表示无量纲随机源项，$\varepsilon$表示奇异摄动参数，它是由正常对流速度归一化为单位1后的扩散与对流之比。反应系数也固定为单位1。这些选择允许在不同时改变对流或反应的情况下，研究$\varepsilon$和$q(x)$对解剖面的影响。由于$\varepsilon$乘以最高阶扩散项，减小其值会削弱扩散相对于对流，产生更薄的右端点指数层[roos2008robust](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib2)。参数范围采样为$\varepsilon \in [10^{-4}, 10^{-2}]$，隔离了本文研究目标的强摄动区域。

**问题2** 处理具有给定壁温的热入口问题，称为格拉茨问题（Graetz problem），在图1（https://arxiv.org/html/2608.19658#S2.F1）(b)所示的二维区域上提出，控制方程为[shah1978laminar](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib24), [haase2015graetz](https://arxiv.org/html/2608.19658#bib.bib25)：
$$
w(y) \frac{\partial \Theta}{\partial x}(x, y) = \frac{1}{\mathrm{Pe}} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial y^2}(x, y); \qquad (x, y) \in (0, 1] \times (0, 1]; \tag{3}
$$
具有水动力学充分发展的抛物线速度剖面：
$$
w(y) = 1 - y^2; \tag{4}
$$
中心线对称：
$$
\frac{\partial \Theta}{\partial y}(x, 0) = 0; \tag{5}
$$
壁面处的齐次Dirichlet条件：
$$
\Theta(x, 1) = 0. \tag{6}
$$