作为人类，我们对电磁学并没有天生的直觉，因此 @chris_m_bryant 在他的关于史密斯圆图的博客文章中嵌入了一个小游戏，帮助大家理解这一概念。不妨亲自试试：https://t.co/MdfXeh20Ow。

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什么是史密斯圆图？

来源：https://www.arenaphysica.com/publications/smith-charts 在 Arena Physica，我们的使命是构建电磁超级智能（https://www.arenaphysica.com/thesis）。我们最近采用了一个受史密斯圆图（https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_chart）启发的新标志，这可以追溯到射频工程的起源。我们想借此机会简要介绍什么是史密斯圆图，以及为什么它对我们如此重要。

在讨论史密斯圆图之前，我们首先需要理解阻抗（https://en.wikipedia.org/wiki/Electrical_impedance）。

“电阻”是电路中阻碍直流电流流动的物理量（对应于欧姆定律（https://en.wikipedia.org/wiki/Ohm%27s_law）中的 R：V = IR）。而“阻抗”将电阻的概念推广到包含交流（AC）条件下电感器和电容器的影响，使用复数 Z = R + jX，其中 R 是电阻，X 是“电抗”，j 是虚数单位 √(-1)。将阻抗写成 R + jX 的形式，可以区分两种截然不同的行为。

电抗 X（虚部）对应于电容器或电感器与电场或磁场交换的能量。该电抗依赖于频率 ω：电感 L 的电抗为 ωL，随电流交变速度加快而增大；电容 C 的电抗为 -1/(ωC)，随频率升高而趋近于零。

电阻 R（实部）对应于离开电源且不再返回的能量。我们通常将其理解为热量——对于电阻器而言，能量以加热形式耗散。但某些元件的阻抗纯为实数，却将能量向前传输而非耗散。最典型的例子是自由空间的波阻抗（https://en.wikipedia.org/wiki/Impedance_of_free_space），约为 ≈377Ω，它是穿过其中的光波电场与磁场强度的比值。光波可以永远向前传播而不损失任何能量到热量。在电路中，等效概念是传输线的特性阻抗（https://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_impedance），它承载波从电路的一部分传输到另一部分，由该传输线上行波的电压与电流之比决定。如果两者完全同相，则阻抗为纯实数，但能量并非耗散，而是通过线路向前传输。

在实际应用中，阻抗最重要的方面是两个阻抗相遇时会发生什么。为了理解这一点，我们得谈谈反射。

想象两条绳子系在一起，假设第二条绳子比第一条重得多。抖动绳子的一端，一个脉冲会沿绳子传播。当脉冲到达绳结时，一部分穿过——另一部分向你反射回来。如果第二条绳子比第一条轻，同样会发生反射。使脉冲无反射地通过第二条绳子的唯一方法是让两条绳子的重量完全相同。

不妨试试调整下面绳子的重量，观察脉冲的变化。

两条绳子的重量相差越大，反射回来的脉冲越多。如果第二条绳子比第一条重，脉冲在绳结处减速，反射脉冲会上下颠倒。如果第二条绳子更轻，脉冲在绳结处加速，反射脉冲保持正立。

事实证明，电路的行为与此类似，但区别在于，我们考虑的不是两条相连绳子的重量，而是两个相连元件的阻抗。想象一条特性阻抗为 Z₀ 的传输线，将波传向阻抗为 Z_L 的负载（远端的接收元件）。如果负载与线路匹配（Z_L = Z₀），波直接流入，无反射。如果失配，部分波会折返。与绳子一样，两个阻抗相差越大，反射的波就越多。准确预测这些对于电气工程师至关重要，因为它决定了系统的性能：任何从负载反射回来的功率都是您产生但从未传输出去的功率。

我们将反射的比例称为“反射系数”Γ，即反射波与入射波的比值：

Γ = (Z_L - Z₀) / (Z_L + Z₀)

匹配负载给出 Γ = 0（无反射），短路（Z_L = 0）给出 Γ = -1，开路（Z_L → ∞）给出 Γ = +1。介于两者之间时，Γ 是复数：其幅度表示返回波的大小，其符号（或更一般地，相位）表示返回波是正立还是翻转。

通常，相对于线路测量阻抗更为简洁，使用归一化阻抗 z = Z_L / Z₀，于是：

Γ = (z - 1) / (z + 1)

现在，匹配负载位于 z = 1，Γ 仅取决于负载偏离馈电线路的程度。

由于阻抗 z 是复数，我们可以将其视为复平面（https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_plane）中的一个点，实部在水平轴，虚部在垂直轴。因为电感器具有正电抗，电容器具有负电抗，我们可以认为上半平面是“感性”的，下半平面是“容性”的，水平轴是纯阻性。短路位于原点，开路位于图右侧无穷远处。这个平面虽然易于理解，但其无界性使工程师难以使用。

反射系数 Γ 通过使用阻抗的莫比乌斯变换（https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_transformation）将整个右半阻抗平面折叠成一个单位圆盘，从而解决了这个问题。参考阻抗的选择决定了原点 (0,0) 的位置（按惯例，通常设为 50Ω）。在反射系数平面中，短路移动到 (-1,0)，开路移动到 (1,0)。在阻抗平面中原本是恒定电阻和电抗的垂直线与水平线，现在在反射系数平面中变成了完美的圆。

为了直观感受 z 与 Γ 之间的映射关系，请尝试拖动下面任意图中橙色点，观察其在另一图中的位置变化。注意，反射圆盘边界上（反射最大）的所有点都位于阻抗平面垂直轴上且电阻为零。而且，当您将点拖动到反射圆盘右侧附近时，它会从阻抗平面中飞出：

这个圆盘现在通常被称为史密斯圆图（https://en.wikipedia.org/wiki/Smith_chart），于 1937 年由水橋東作独立构想，1939 年由 Phillip H. Smith[·]，以及 1940 年由 Amiel R. Volpert 分别提出，作为射频（RF）工程师的图形计算工具。史密斯圆图将工程师关心的每一个量都映射到反射系数圆盘上的某个圆或弧上。曾经困难的计算现在只需圆规和直尺即可轻松完成。尽管我们现在拥有强大的计算机可以进行这些计算，但正如我们即将看到的，史密斯圆图的特性使其至今仍是射频工程师的宝贵工具。

射频工程师工具包中的一个关键元件是传输线（https://en.wikipedia.org/wiki/Transmission_line）：电缆、走线或波导，用于将信号从系统的一部分传输到另一部分。

到目前为止，我们主要通过实部和虚部来描述反射系数，但由于它位于圆盘上，通常更自然的方式是用幅度和相位来描述。幅度 |Γ| 是距离圆心的距离，告诉我们有多少波被反射回来。相位是绕圆心的角度，告诉我们反射波相对于入射波的延迟程度。

器件总是由某个频率振荡的信号驱动。由于波在线上传播需要时间，信号需要传输的距离越远，到达时相位滞后越多。随着波沿线传播，这种滞后持续增长。在史密斯圆图上，沿着无耗线滑动我们的测量点会画出一个绕圆心恒定为 |Γ| 的圆。距离圆心从不改变，只有角度变化，因此线路旋转相位而保持幅度不变。

这个图假设了一个理想的无耗线路，它向前传输功率而不耗散任何功率，所以 |Γ| 保持不变，点沿着它的圆无限循环。实际的传输线有少量损耗，沿途以热量形式损耗一点功率，就像电阻器一样。损耗会随着信号传播而减小 |Γ|，因此圆向内盘旋，形成一条缓慢趋向圆心的螺旋线。

当波从失配负载反射时，前向波和后向波重叠形成驻波（https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave），这是一种沿线固定位置的波峰和波谷图案。无反射时，只有前向波，没有驻波图案。完全反射时，前向波和后向波相等，驻波最为剧烈：能量被困在原地，在场中来回震荡而从不向前传播。工程师用电压驻波比（https://en.wikipedia.org/wiki/Standing_wave_ratio）（VSWR）来衡量这种图案的显著程度，即驻波最大电压与最小电压之比。完全匹配的线路 VSWR 为 1，随着失配加剧，该值上升。由于它仅取决于 |Γ|，给定的 VSWR 在圆图上就是那些恒定幅度的圆。

试着沿传输线拖动橙色探针，观察反射系数如何随着您沿线路移动而绕圆旋转。您可以拖动电阻或电抗来改变负载，或者拖动电缆来增加损耗并使圆向内盘旋。沿线的电压最大值位于圆图的右侧，最小值位于左侧。特别注意，“匹配”负载如何允许信号完美地通过线路而无反射，而“反射”负载则会导致沿线出现静止的驻波：

到目前为止，我们在圆图上放置的所有量都位于单一频率上，但实际器件随频率变化而反应不同。滤波器就是一个例子，它选择性地允许某些频率通过而抑制其他频率。在二维平面上，我们可以绘制反射系数的实部或虚部与频率的关系，但孤立地观察任何一部分都会丢失完整的信息。如果我们将实部和虚部一起看作一条按频率着色的曲线，在史密斯圆图上描绘出一条蜿蜒的路径，我们就可以同时看到复杂的频率响应：

将一个滤波器放置在连接到其输入和输出端口（端口 1 和 2）的两个系统之间，我们可以通过参考滤波器的散射参数 S_ij（也称为“S参数”）来讨论从一个系统反射或传输到另一个系统的功率量。这个值 S_ij 是从端口 j 入射到端口 i 的波的比值，因此当 i = j 时，我们得到的正是我们一直绘制在史密斯圆图上的反射系数 Γ。当 i ≠ j 时，我们得到的是从端口 j 到端口 i 的波传输系数。对于一个“无耗”的二端口滤波器（不耗散任何功率），反射和传输的功率之和等于入射功率，因此 |S_11|² + |S_21|² = 1：任何未被反射的必定被传输。

为了熟悉从史密斯圆图上读取响应曲线，我们来看下面几个滤波器的例子，以电路图和它们在史密斯圆图上的表示来呈现。除了史密斯圆图，我们还提供了一个 S参数幅度相对于频率的图，从中可以清楚地看到，任何未被滤波器反射的都被传输了：

带通滤波器只传输特定频率范围内的信号，低通滤波器传输低频信号，高通滤波器传输高频信号。不同类型的滤波器有不同的特性。例如，切比雪夫滤波器（https://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_filter）可以在反射和传输频率范围之间的边界处实现比巴特沃斯滤波器（https://en.wikipedia.org/wiki/Butterworth_filter）更陡的滚降，但代价是通带内有一些“纹波”。滤波器的“阶数”计数它所包含的谐振器（电感器或电容器）的数量。

这些例子共享一些模式：

• 高阶滤波器的滚降比低阶滤波器更陡。
• 切比雪夫滤波器的阶数控制响应曲线中的“环”数。
• 在“谐振频率”处，反射降至 0 并与史密斯圆图的原点相交。
• 低通滤波器主要是“感性”的：它们由串联的电感器构成，其反射系数曲线主要位于史密斯圆图的上半部分（感性区域）。
• 高通滤波器主要是“容性”的：它们由串联的电容器构成，其反射系数曲线主要位于史密斯圆图的下半部分（容性区域）。
• 带通滤波器结合了低通和高通滤波器，在高频时更像电感器，在低频时更像电容器。

这些都是射频工程师凭直觉就能掌握的内容。当出现异常时，工程师可以使用史密斯圆图快速诊断问题并确定解决方案。

现在我们已经学会了如何读取史密斯圆图，我们可以代入射频工程师的角色，用它来为我们进行计算。假设我们拿到一个元件，即“负载”，其阻抗与我们系统其余部分预期的 50Ω 不匹配。按原样连接，它会将一些信号反射回线路，造成浪费。阻抗匹配（https://en.wikipedia.org/wiki/Impedance_matching）的任务是在负载前面构建一个元件网络，将其阻抗变换为 50Ω，在史密斯圆图上，这意味着将其反射系数一直驱动到圆心。

关键点在于，我们添加的任何元件都会沿着一个圆将我们移动到圆图上的一个新点。与负载串联的无功元件会向阻抗的虚部添加成分。沿着等电阻圆滑动点，串联电感器将其向上推向圆图的感性顶部，而串联电容器则将其向下推向容性底部。