为何传奇的埃尔德什问题正被AI攻克

# 为什么传奇的 Erdős 问题正在被 AI 攻克 | Quanta Magazine 来源：https://www.quantamagazine.org/why-the-legendary-erdos-problems-are-falling-to-ai-20260803/ AI 最伟大的数学成就，来自对一位 20 世纪中叶反传统者所提出问题的回答。数学家们正试图通过审视 Erdős 问题的独特之处，来理解 AI 可能如何改变数学的其他领域。 2026 年 5 月 20 日，OpenAI 发布了一项震动数学界的公告。一个内部 AI 模型——公众无法使用——为“单位距离”问题提出了一个[反例](https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/)。该猜想由多产且行踪不定的匈牙利数学家 Paul Erdős 于 1946 年提出。 Erdős 提出了数以千计的问题，但这个问题很特别：它既容易解释，又在数学上非常深刻。这是 AI 模型首次给出具有历史意义的证明。虽然该模型的结果并非定论——人类数学家会在几周内大幅改进它——但它极具创新性，引入了来自某个遥远数学分支的思想，而此前没有人成功地将这些思想用于这个问题。它也具有影响力：几天之内，相关技术就被用来解决其他重要问题。 随后，在 8 月 1 日，OpenAI [宣布](https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/)，一个名为 Astra 的未发布模型在数学上取得了 10 项额外进展，其中包括对 Erdős 提出的另外三个问题的解答。 许多数学家将这样的进展誉为 AI 模型数学能力的相变。普林斯顿大学的 Noga Alon 说，这些模型“正在极大地改变数学研究的进行方式”。Alon 在数十年职业生涯中解决了数十个 Erdős 问题。 Erdős 和他的猜想长期以来一直让数学家着迷。他不停地旅行——常年靠一个行李箱生活，住在朋友家里，几乎一无所有。他在发表的论文和写给世界各地数学家的信中飞快地抛出一个又一个问题，并经常附上奖金，由他自掏腰包付给第一个提出解决方案的人。奖励可能只是象征性的 10 美元或 25 美元；而对他认为重要或困难的问题，奖金可能高达数千美元。1996 年，Erdős 在华沙参加数学会议时因心脏病发作去世，但一个总部位于爱荷华州的非营利基金会已[承诺](https://www.combinatoricsfoundation.org/erd%C5%91s-problems)兑现他的悬赏。 他是一个受人爱戴的人物，但也相当古怪。他只穿丝绸衣服，并避免与他人有肢体接触。他对权威深怀疑虑，把自己赚到的大部分钱都捐了出去，并依靠一位朋友来打理他的财务和其他实际事务。他称上帝为“最高法西斯主义者”，并靠持续服用安非他明来支撑他源源不断的数学灵感。历史的诡异讽刺在于，他提出的问题如今已成为世界上最大、最强大的科技公司的核心试验场——实际上，也成了一系列公关胜利。 但如果没有一位名叫 Thomas Bloom 的英国数学家，所有这些很可能都不会发生。 ## **多场会面** 与 Erdős 一样，Bloom 对数论和组合学都感兴趣。他的研究重点是算术组合学，这是一个位于两者交叉领域的学科。2014 年获得博士学位后，Bloom 确立了自己在该领域新星的地位，获得了英国皇家学会的一项[著名研究基金](https://royalsociety.org/grants/university-research/)，这让他几乎可以在任何他想去的大学工作。（他现在任职于曼彻斯特大学。） Bloom 从记事起就喜欢 Erdős 的风格。但他一直发现很难追踪哪些问题已经解决，哪些问题被彻底遗忘。因此，在 2023 年初，他决定把尽可能多的问题收集到一个列表中。 他最初是给自己用的。但他说，“我觉得如果无论身在何处都能访问它会更容易”；他想着“不妨做个网站，大概预期是也许没有人会用”。他收集了几百个问题，并上线了 erdosproblems.com（http://erdosproblems.com/）。Bloom 使用 ChatGPT 编写运行网站的 Python 代码，这在当时对于大语言模型来说已经是相当了不起的事情。而用大语言模型来合作处理数学本身，在当时看来仍然只是一种遥远的可能性。 他的目标不仅仅是从清单上划掉项目。他在一篇[博客文章](https://www.erdosproblems.com/forum/thread/blog:1)中写道，他很好奇“现代数学——常常使用 Erdős 所不知道的技巧——能否澄清这些较为冷门的问题中的许多。然后我们剩下一个核心，由有趣而困难的问题组成，可以用来展示我们知识的限度。” Bloom 在整理清单方面做了关键工作：有时 Erdős 对问题的表述含糊不清或不够明确，Bloom 会找出每个问题最合理的版本。他不断向网站添加问题，受众也逐渐增长。在 2024 年全年以及 2025 年前八个月里，清单上有 111 个问题的状态从“未解决”改为“已解决”（尽管其中一些早在多年前就已解决，其状态变化反映的是证明被重新发现或验证）。 然后，在 2025 年 8 月，一些同事建议 Bloom 添加评论功能，这样人们就可以讨论他们感兴趣的问题。他用 ChatGPT 编写了代码，很快就完成了。到那时，他已经编目了近 1000 个问题。 Bloom 的时机把握得很好。他让志同道合的人可以互相交谈，而这“确实建立了一个社区”，他说。在大多数情况下，评论是零星的——一个问题可能只会吸引一条评论，指出一个例子或说明这个问题看起来有多难。但活动在稳步增长，一些问题引发了陌生人之间细致入微的数学讨论。 Bloom 网站上评论量第四多的 Wouter van Doorn 说：“Tom 可能从未真正意识到这一点，但对我来说，这真的改变了我的生活。”与 2025 年秋天活跃在该网站上的许多人一样，van Doorn 并不完全是职业数学家。用他自己的话说，他“为一家被其他公司雇来做客户服务支持的公司工作”。但他也不完全是业余爱好者——十年前，他几乎在比利时鲁汶大学完成了数学硕士学位。2024 年，部分因为看到大语言模型的能力越来越强，他休了六个月的假来专注于数学。当时，虽然他并不特别想使用 AI，但他记得自己在想：“现在我仍然比 AI 更擅长数学，但谁知道一年、两年、五年后会怎样？如果我想完成这些项目，并且想让它们属于我自己，现在就是时候。” 于是，在 2025 年 10 月，已经回到日常工作的 van Doorn 在[问题 1102](https://www.erdosproblems.com/forum/thread/1102?order=oldest) 的页面上留下了第一条评论。这个问题由 Erdős 于 1981 年提出，询问的是“无平方因子”整数集合的性质——也就是没有重复质因数的整数。（例如，30 是无平方因子的，因为它等于 2 × 3 × 5；但 18 不是，因为它等于 2 × 3 × 3，其中 3 重复了。） 11 月初，van Doorn 在问题页面上以评论形式分享了一个答案的进展——这个答案是他在不依赖 AI 的情况下得出的。 当天晚些时候，网站上的另一位评论者回复说，他认为 van Doorn 的论证有缺陷。两人快速交替留言，van Doorn 让他的对话者相信他的论证是正确的。“我现在明白你的论证是如何运作的了。太棒了！”另一位数学家回复道。这位数学家正是 Terence Tao，加州大学洛杉矶分校教授，可以说是当今在世最知名的数学家，也毫无疑问是最有影响力的数学家之一。（顺便说一句，Tao 在[年仅 10 岁](https://blogs.ams.org/blogonmathblogs/2015/09/29/that-time-terrence-tao-won-500-from-paul-erdos/)时曾与 Erdős 有过交集。） Bloom 的网站具有一种更早时代的观感，正在成为互联网民主精神的最佳范例。“如果没有 Tom 的网站和那里的评论区，这次合作完全不可能实现，”van Doorn 说。你是否拥有终身教职并不重要，你年轻还是年长也不重要，你在名牌大学还是根本不在大学也不重要。如果你想研究数学并且有好点子，你就能找到合作者。 但随着冬天来临——大约在 van Doorn 开始与 Terry Tao 合作的同时——事情开始发生变化。 ## **十字路口之旅** Kevin Barreto 和 Liam Price 都只有二十岁出头，于 2025 年夏天在一个专门讨论 AI 的 Discord 服务器上成为朋友。Barreto 目前是剑桥大学的本科生；Price 在大学学过一些数学，但在完成学业之前离开了。12 月，两人确信最新一代 AI 模型可能成功解决一些 Erdős 问题，于是开始向它们成批地抛出问题。他们很早就意识到，如果告诉 GPT-5.2 某个问题的答案是未知的，它就不会取得太大进展，所以用 Barreto 的话说，他们学会了“以非常特定的方式提示它，欺骗它，让它以为问题比实际更容易”。 他们认为自己的第一次胜利来自 [Erdős 问题 333](https://www.erdosproblems.com/forum/thread/333?order=oldest)。圣诞节清晨，Barreto 在 Bloom 的网站上发布了一个证明，写道：“据我们所知，我们相信这是第一个由大语言模型完全自主解决、且此前人类尚未解决的 Erdős 问题。”尽管 333——涉及整数集合之和——并不是一个特别重要的问题，但用 AI 解决它仍然让人觉得意义重大。 但几个小时后，另一位用户指出，Erdős 本人已在 1977 年发表的[论文](https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X77900038)中为 333 提供了解决方案。Barreto 承认了这个错误。“我向网站所有成员提出的正式请求是，对那些目前被标记为未解决的问题，要更加重视文献检索，”他写道，“作为一个已经两次栽在这上面的人，这真的很令人心痛。” 他没有气馁，和 Price 继续推进。到 2026 年 1 月 4 日，他们已经用 GPT-5.2 Pro 为 [Erdős 728](https://www.erdosproblems.com/forum/thread/728?order=oldest) 找到了解决方案。这个问题关于某些数字何时能被其他数字整除。这一次，没有人能找到已发表的先前证明。Barreto 使用了另一个名为 Aristotle（由一家名为 Harmonic 的初创公司开发）的 AI 工具来验证证明在逻辑上是否成立。软件工程师 Nat Sothanaphan——也是该论坛上比 Bloom、Tao 和 van Doorn 都更活跃的参与者——让 ChatGPT 把形式化结果写出来，并发布在 [arXiv](https://arxiv.org/abs/2601.07421) 上。 Price 发展出了一套方法论，用来指导如何让大语言模型解决开放问题。首先，他会让聊天机器人给出一个解决方案。然后，他会把这个解决方案输入到一个全新的聊天机器人实例中，让它检查前一个聊天机器人的工作。他会重复这个过程，直到得到看起来可行的解决方案。（这呼应了一些公司在内部打造所谓 harness 或 scaffold 的工作；这些工具将 Price 手工完成的迭代过程自动化。） Barreto 和 Price 的论文只是过去几个月里至少部分由 AI 解决的众多 Erdős 问题中的一小部分。为什么偏偏是这些问题成为大语言模型如此肥沃的试验场，原因有很多。最主要的一点是，Erdős 问题大体上属于数论、组合学和图论，这些数学领域已被证明比其他领域更容易被大语言模型掌握。这些问题在难度和数学意义上也差异很大。这种差异使它们适合一种能力同样差异巨大的新兴技术。 一位戴眼镜男子的黑白照片。 Erdős 的许多问题从提出那一刻起就被贴上了金钱价值，这是一种来自流浪怪人的游戏式激励。但现在，随着这些问题成为 AI 的非正式基准，对它们解决方案的讨论开始围绕“每个问题的成本”展开——即解决问题所需 token 的价格。 照片由 George Csicsery 拍摄，来自纪录片《N is a Number: A Portrait of Paul Erdős》，©1993。保留所有权利。 “我近来很多论文的主要功劳应该归于 AI，”van Doorn 说，“其中涉及的想法并不是我自己想出来的。”和许多活跃在 Erdős 网站上的人一样，van Doorn 对大语言模型让他更快地做更多事情感到兴奋。“如果我读到 LLM 的一个想法，我会消化它，尝试理解它，简化它，并推广它，”他说。他使用 AI 来更好地理解数学。 并非每个人都以这样的标准要求自己。“一个大问题是，AI 正被大量非数学家使用，他们没有深厚的数学背景，也没有能力验证输出，”Bloom 说，“他们喜欢快速推进，让他们的 AI 去检查，然后反复循环。我们看到越来越多这样的 100 到 200 页论文被人贴出来：‘我解决了这个定理；我让 AI 生成证明并检查证明，还让 AI 写了论文。’但没有人类读过它，也不会有人类去读它。这是一个巨大的挑战。” 按照 Price 自己的评估，他没有足够的数学理解力来验证他最终从大语言模型中引出的解决方案。但在 Barreto 的帮助下，他已经能够找到足够知识渊博且愿意检查结果的人。Price 和 Barreto 与 Tao、斯坦福大学的 Jared Duker Lichtman 以及其他有成就的数学家共同署名了 2026 年 5 月的一篇论文，解决了 [Erdős 问题 1196](https://arxiv.org/abs/2605.00301)，这是他们较重要的成果之一。（1196 询问所谓原始集的可能大小——即整数的集合，如 {2, 5, 9, 21}，其中没有一个数能整除另一个数。） Bloom 感到惊讶的是，尽管 OpenAI、Google DeepMind 和多家初创公司都给予了大量关注，但大多数新成果来自使用公开大语言模型的爱好者和本科生，而不是来自使用更先进内部模型的企业实验室。 但几周后，即 2026 年 5 月 20 日，这种情况发生了改变。OpenAI 宣布他们解决了有史以来最著名的 Erdős 问题之一——单位距离问题。 ## **多场告别** 2026 年头几个月，各大科技公司开始看到 erdosproblems.com 上的机会。正如 Lichtman 所解释的：“Erdős 有超过 1000 篇论文。它们很分散。”匈牙利的一个研究所收集了许多论文的扫描图像，但没有人收集所有的问题。“这种任何人都能访问的单一存储库——实验室意识到，这实际上可以成为一个基准。” 1 月，一支由 24 名研究人员组成的团队