AI时代的数学

# 人工智能时代的数学
来源：https://arxiv.org/html/2608.16753
陶哲轩  地址：加州大学洛杉矶分校数学系，洛杉矶，加州 90095-1555。电子邮件地址：[[email protected]](mailto:[email protected])

日期：2026年8月17日

###### 摘要

本文基于在2026年国际数学家大会上的一场公开讲座，探讨了数学界应如何回应能够执行研究级数学任务的人工智能工具的到来。我们不在此辩论此类工具的能力，而是假设这些能力将会出现，并转而审视一个与此正交的问题：数学研究的目标和价值究竟是什么。文章以数学中的问题解决作为案例进行分析。

###### 关键词

人工智能、数学实践、数学哲学、形式化、证明助手、同行评审、古德哈特定律、数学价值

###### 2020年数学学科分类

主分类 00A30；次分类 01A80, 68T01, 68V20, 68V35

## 1. 历史序言

几个世纪以来，数学建立在"朴素"基础上并成功发展。从事实践的数学家证明关于集合、数和无穷的定理，并不觉得有必要精确说明这些对象究竟是什么（或者证明本身是什么）；这类问题大多被推给了哲学家，而工作中的数学家则可以自由地专注于数学本身。

但在二十世纪初，诸如1901年罗素悖论[14 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib14)]和1931年哥德尔不完备性定理[8 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib8)]等发现，迫使数学家们批判性地重新审视其学科中此前被默认的假设。朴素集合论的公理相互矛盾；一个形式系统不可能同时具有一致性、足够的表达能力，并能证明其自身的一致性。

由此产生的*基础危机*，大约从1900年持续到1930年，对该学科而言是一个真正动荡的时期。但这场动荡的最终产物极其宝贵：一个明确、严谨、标准化的基础框架，其中数学的对象和关于它们的推理规则以一种可检查、可传授、并且——事实证明——可机械化的形式被阐述出来。这个框架当然还有进一步改进的空间；基础研究一直持续至今。但我们的当前基础经受了一个世纪的严格检验，如今它提供了一个可信的环境，使数学研究可以在高度确信下进行。

我相信我们正进入一个数学上可比拟的动荡时代。不过，这一次经受压力测试的不是我们关于数学*真理*的基础框架，而是很大程度上隐性的数学*价值观*和*实践*框架：我们认为什么构成贡献，我们奖励什么，我们认为什么已被理解，以及谁——或什么——被认为完成了工作。我主张有必要将这些数学的未言明目标变得更加明确；但一旦我们彻底审视并确立它们，我们的社群将变得比以往更加强大和坚韧。

## 2. 激发性的问题

本文围绕一个核心问题展开。

###### 问题 2.1（社群响应问题）

数学¹社群应如何回应现代人工智能技术的到来，以及其真实和/或宣称的执行数学任务的能力？

¹ 当然，人工智能的影响远不止于数学，但那是一个在此无法涵盖的庞大议题。

这是一个面向整个社群的问题，我不妄称拥有全部答案；无人能做到。尽管如此，对于如何着手回答它，我有一些想法需要说明。

首先要指出的是，问题 2.1 并非一个数学问题。它是一个元数学问题，也是一个政治、伦理、社会学和文化问题；它不能通过纯粹的逻辑论证来解决。然而，在下文中，我将有意*借用*精确且熟悉的数学语言——猜想、假设等——来阐明这个问题的结构。

## 3. 第一个子问题：人工智能能力

问题 2.1 的答案在很大程度上取决于一个关于人工智能工具实际能力的子问题。为了方便，我们以伪数学的方式将其表述为一个*猜想族*，而非单个猜想，这个族由大量自由参数索引。

###### 猜想 3.1（人工智能能力猜想，模板形式）

在不久的将来的*某个*时刻，*某些*人工智能工具，以*一定的*代价，并在*一定程度*的人类监督下，将能够在数学的*某些*领域完成*某些*研究级数学任务，达到*某些*非平凡的成功率，并在*某些*正确性和质量水平上实现。

上述每个“某些”都应被理解为占位符（或自由参数）。根据如何填充这些占位符，人们可以得到许多不同的猜想。这些表述之间的精细区分很重要，但并非本文的重点；我仅对猜想 3.1 的“弱形式”和“强形式”做粗略区分。

如果连人工智能能力猜想的弱形式最终被证明为假，那么我们可以放心地将当前一代人工智能工具视为对数学研究不具长期意义，并大体上继续照常工作。另一方面，如果该猜想的最强形式为真，那么要保持我们当前的文化和实践不变将变得非常具有挑战性——特别是如果我们继续优先追求尽可能多地解决未解决问题等目标。

因此，在猜想 3.1 的状态仍存争议时，就问题 2.1 进行建设性讨论是困难的。不出所料，关于人工智能与数学的大部分公开辩论都集中在人工智能能力猜想的哪些版本是真实的；我本人也花费了许多讲座、文章和社交媒体帖子来讨论这个话题。

目前已有大量数据点涉及该猜想的各种形式。不幸的是，大多数并非在受控的科学条件下收集。许多公开的证据受到严重的报告偏差影响——成功被宣布而失败则不然——以及非科学激励的影响，重要的成本和变量（尝试次数、人类辅助的程度、消耗的算力、问题与先前文献的污染程度）经常未被公开。此外，某个特定形式的猜想的*真假值*有时与其*可取性*相混淆。

尽管人工智能能力猜想对于问题 2.1 具有核心相关性，但本文并非关于该猜想。在这方面，我仅提及“首证”项目[7 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib7)]的近期成果，这是一个对前沿人工智能模型及其工具在真正新颖数学问题上能力的独立评估。该项目的每一批次包含十个研究级问题，由活跃在广泛领域的数学家提供，这些解答的正确性已为贡献者所知但从未在任何地方在线发布。第二批[6 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib6)]在受控条件下使用截至2026年5月28日公开可访问的模型对四个AI系统进行了评估，所得解答由专家对正确性和阐述质量进行了评审。十个问题中，七个至少有一个系统给出了通过评分——即被判定为基本无误或仅需微小修改——每个问题的算力成本约为数十至数百美元。后续批次正在计划中。

## 4. 能力猜想的补集

本文探讨的其实是问题 2.1 中人工智能能力猜想的所谓“正交补”。为了分离出这个成分，我将采用以下表述不精确的假设。

###### 假设 4.1（工作假设）

一个相对强形式的人工智能能力猜想为真：AI工具将在相对较短的时间内，能够以相当高的成功率、质量、监督水平和成本，执行相当比例的研究级数学任务。

“相当”一词在此处的精确含义对下文并非关键。

在本文的剩余部分，我请求读者*假设*假设 4.1 成立。我*并非*要求读者希望它为真、相信它为真，或接受它为真；以下内容是条件性分析。特别是，支持或反对工作假设的证据与下文的讨论是正交的。

## 5. 正交子问题：我们的目标与价值

一旦我们基于工作假设进行条件分析，第二个根本性的子问题便浮现出来：

###### 问题 5.1（目标与价值问题）

我们的数学社群以及数学研究事业的精确目标、目的和价值是什么？不仅仅是我们向公众、学生或资助机构传达的*明确*目标，还包括我们在实践中实际优化的*隐性*目标？

过去，我们很大程度上将问题 5.1 委托给了人文学科——数学史家、哲学家和社会学家——而将我们自身的注意力集中在本领域的技术内容上。假设工作假设成立，我们将不再享有这种奢侈。但是——就像基础危机一样——我认为无论工作假设的状态如何，对该问题的批判性审视最终都将被证明极具价值。

那么：我们的目标是什么？据我所知，数学目标的官方清单从未被系统编纂，但以下是部分列举：

- 解决未解决的问题，包括纯数学和应用数学的；
- 发展新的理论、结构和技术；
- 理解我们周围的世界；
- 建立并维护一个数学家社群；
- 培养下一代数学家，并让他们引导学科的未来方向；
- 为共享且累积的数学知识网络做出贡献；
- 创造具有持久美学价值的作品；
- 等等。

鼓励读者进一步扩展此列表。

历史上，上述目标彼此*正相关*。在任何一个目标上取得的进展通常也使人更接近其他目标。例如，在解决一个难题的过程中，可能会发展出新技术，围绕该技术形成新的研究者社群，学生接受该技术的训练，教科书被编写，而产生的理论被证明在其他地方也能应用。由于这种相关性，人们可以使用其中一两个目标作为其他目标的便捷*代理*，而其余目标则最多被隐性提及。参见图1，以及作者先前关于这种一致性现象的讨论[18 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib18)]。

数学知识 目标1 目标2
图1. 历史上，数学的任何一个目标都曾是其他目标的可用代理。

然而，所有指标，当被过度优化时，都有被古德哈特定律影响的风险。在斯特拉森[16 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib16)]推广的表述中，基于古德哈特最初对货币政策的观察[9 (https://arxiv.org/html/2608.16753#bib.bib9)]：

> 当一个指标成为目标时，它就不再是一个好指标。

人工智能工具尤其可能触发这种效应，有两个独立的原因。第一个是技术性的：生成式AI本质上是*无根基*的，它优化的是令人满意的输出表象，而非输出本应指示的底层属性，因此它异常善于发现指标与指标所衡量事物之间的差距。第二个是经济性的：AI行业的经济激励奖励那些在我们历史上用作代理指标的特定指标上可展示、可引用、可基准化的成就。

因此，对一两个目标的过度优化可能导致数学此前统一的诸多目标彼此*分化*；参见图2。

数学知识 解决研究问题 解决埃尔德什问题 解决奥数问题 构建理论 应用知识 建立社群 培养下一代 创造持久的美学作品
图2. 在过度优化下，数学的目标彼此分化。该图当然极度简化；特别是，它本应是更高维度的。

## 6. 案例研究：问题解决

为了使前述讨论具体化，我将聚焦于数学研究的一个单一组成部分：*问题解决*。需要强调的是，这绝不是我们职业的唯一方面。*理论构建*，例如，是至少同等重要的互补性活动，需要单独的分析；教学、指导以及研究社群自我维持的多种形式的服务也是如此。但问题解决是一个自然的首要案例研究，既因为它是在工作假设下最容易受到影响的方面，也因为它是我们的隐性目标与明确目标差距最大的方面。

假设我们试图写下我们对问题解决的期望。第一次尝试可能是这样的。

###### 目标 6.1（第一次尝试）

解决尽可能多的未解决问题。

在目标 6.1 下，我们试图优化一个非常简单网络中的流量：

未解决问题 → 证明生成 → 解决方案

即使在人工智能出现之前，我们就知道这个指标是不充分的，而且我们完全清楚一个平庸的原因：优化它会产生大量针对重大未解决问题的*错误*解答。每个拥有公开电子邮件地址的在职数学家都熟悉关于黎曼假设的所谓证明的稳定流。因此，我们可能会更新我们的目标：

###### 目标 6.2（第二次尝试）

解决尽可能多的未解决问题，并*验证其正确性*。

对应的网络增加了一个步骤：

未解决问题 → 证明生成 → 未验证的解决方案 → 证明验证 → 已验证的解决方案

人工智能以及自动形式化为证明助手语言方面的进展²，使这种两步流程变得可行，但同时也引入了一个新的风险：对验证步骤的*自动化*可能会促使第一个（生成）步骤的过度优化。这是因为，用于验证的系统本身可能被训练或优化，从而对通过其验证的解决方案表现出系统性偏好。这就产生了古德哈特定律的经典案例：当一个指标成为目标时，它就不再是一个好指标。

因此，我们可能希望再次更新我们的目标。

###### 目标 6.3（第三次尝试）

解决尽可能多的未解决问题，并*由数学社群验证其正确性*。

但此时，人们可能会问：如果目标是社群的验证，为什么不直接将目标表述为获得社群的验证？这是因为*验证本身*是一个复杂的过程，它本身由许多子目标组成（例如，独立于原始发现者的验证、形式化证明、将新结果融入现有知识体系等）。将整个目标简化为单一的“获得社群验证”，可能会促使对验证过程本身中易于量化的方面进行过度优化，而忽视了更深层的方面。这本质上又回到了最初的问题：用一个单一的、易于衡量的指标来代表复杂的、多方面的目标。

更根本的是，上述所有目标都关注问题解决的*输出*（解决方案）。但数学研究的价值不仅在于输出，还在于*过程*（我们如何得到解决方案）、*理解*（我们从中获得了什么见解）、以及*教育*（下一代数学家学到了什么）。一个只优化输出的系统可能会忽视过程、理解和教育方面，而这些方面对于数学的长期健康可能更为重要。

因此，我们可能需要一个更全面的表述。

###### 目标 6.4（第四次尝试）

通过解决问题来推进数学知识，这一过程应能增进理解、启发新方向、并培育下一代数学家。

这个表述更接近数学家实际追求的价值，但它也更难以直接衡量和优化。这正是问题的关键所在：我们珍视的许多价值（美感、深刻性、优雅性、启发性）本质上是主观的、难以形式化的。如果人工智能系统开始执行研究级任务，它们很可能被设计为优化那些易于衡量的指标（如成功解决问题的数量、速度、或某些形式化的正确性度量）。这可能导致这些系统（以及受其影响的人类数学家）忽视那些难以衡量但对数学至关重要的方面。

最终，问题 2.1 的核心或许在于：我们是否准备好将数学研究——这项人类智力活动的核心部分——的定义和评价标准，交由那些可能无法完全捕捉我们所珍视的价值的自动化系统来主导？答案很可能取决于我们作为社群，如何明确地阐述、捍卫和实践那些超越可量化指标的数学价值。

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² 例如，像 Lean、Coq 或 Isabelle 这样的形式化证明系统，允许将数学证明编码为机器可检查的格式。