麦克斯韦猜想不成立（GPT 5.6 Sol）

# 麦克斯韦猜想是错误的
Source: https://arxiv.org/html/2607.27197
Philip Arathoon, Gavin Ball, Matthew D. KvalheimBabson College, MA, USA,[email protected] of Missouri, Columbia, MO, USA,[email protected] of Maryland, Baltimore County, MD, USA,[email protected]

\(2026年7月\)

###### 摘要

我们构造了欧氏空间中五个点电荷的一个构型，其静电势至少具有24个临界点，且所有这些临界点都是非简并的。因此，麦克斯韦猜想——即 n 个点电荷的场至多有 \((n-1)^2\) 个临界点且全部非简并——是错误的。

## 1 引言

在 J. C. Maxwell 1873 年关于电和磁的专著中，他讨论了 n 个点电荷所产生的电场中平衡点的数目 [5](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib5), §113。M. Morse 和 S. S. Cairns 在 1969 年（显然不知道这一点）提出了寻找平衡点数目上界的问题 [6](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib6), p. 293。第一批一般性上界由 A. Gabrielov、D. Novikov 和 B. Shapiro 在 [3](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib3) 中给出；他们根据对 [5](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib5), §113 的解读，提出了“麦克斯韦猜想”：若由 n 个点电荷产生的静电势的所有临界点都是非简并的，那么其数目不能超过 \((n-1)^2\)。这些上界后来由 V. Zolotov 在 2023 年改进 [8](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib8)，并在 2026 年由 H. Edelsbrunner、C. Fillmore 和 G. Oliveira 进一步改进 [2](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib2)。麦克斯韦界在 \(n=2\) 时平凡地达到，但即使在 \(n=3\) 时，除等电荷情形 [7](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib7) 外，也未知 4 是否是最大值。经典静电学中进一步的相关问题在 [1](https://arxiv.org/html/2607.27197#bib.bib1) 中讨论。

在本文中，我们给出麦克斯韦猜想的一个反例：五个点电荷的一个构型，具有至少 24 个临界点且全部非简并。该反例从将三个单位电荷放置在等边三角形的顶点开始。这个构型有四个平衡点：一个在中心，三个沿三角形边缘向内偏移，如图1(a)所示。然后在三角形中心加入两个小电荷，并沿正交轴略微分开，形成浅的三角双锥。三个边缘平衡点在小轴向电荷加入后仍然存在，而中心平衡点分岔出一族 21 个平衡点。

### 致谢

Kvalheim 部分得到了空军科学研究办公室的支持，奖励编号 FA9550-24-1-0299。

### 工具与计算资源披露

这一构造的想法由一个大语言模型（OpenAI 的 GPT-5.6 Sol）提出。作者们已验证了数学细节，并用自己的语言写出了论证。计算机代数软件（Mathematica、Maple）被用于验证计算和生成可视化。

## 2 反例

将三个单位电荷放在等边三角形的顶点处

\[
\mathbf{a}_1=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\end{pmatrix},\quad
\mathbf{a}_2=\begin{pmatrix}-1/2\\ \sqrt{3}/2\\ 0\end{pmatrix},\quad
\mathbf{a}_3=\begin{pmatrix}-1/2\\ -\sqrt{3}/2\\ 0\end{pmatrix}.
\]

这些电荷产生的库仑势在原点的泰勒展开为

\[
V_\triangle=\sum_{j=1}^3\frac{1}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_j\|}=3+\frac{3}{4}H_2+\frac{15}{8}H_3+\frac{9}{64}H_4+O(\|\mathbf{x}\|^5)
\]

其中

\[
\begin{aligned}
H_2&=r^2-2z^2,\\
H_3&=x^3-3xy^2,\\
H_4&=3r^4-24r^2z^2+8z^4,
\end{aligned}
\]

是调和多项式，且 \(r^2=x^2+y^2\)。沿三角形对称轴放置两个 \(q_\varepsilon\) 电荷，位于

\[
\mathbf{a}_4=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ \varepsilon\end{pmatrix},\quad
\mathbf{a}_5=\begin{pmatrix}0\\ 0\\ -\varepsilon\end{pmatrix}.
\]

轴向电荷产生的势的展开为

\[
V_{\pm}^{\varepsilon}=\sum_{j=4}^5\frac{q_\varepsilon}{\|\mathbf{x}-\mathbf{a}_j\|}=\frac{2q_\varepsilon}{\varepsilon}-\frac{q_\varepsilon}{\varepsilon^3}H_2+\frac{q_\varepsilon}{4\varepsilon^5}H_4+O\left(\frac{q_\varepsilon\|\mathbf{x}\|^6}{\varepsilon^7}\right).
\]

###### 定理 1.

存在 \(\varepsilon_0>0\)，使得对所有 \(0<\varepsilon<\varepsilon_0\)，由五个电荷分别位于 \(\mathbf{a}_1,\dots,\mathbf{a}_5\) 且强度为 \(1,1,1,q_\varepsilon,q_\varepsilon\) 的势 \(V_\varepsilon=V_\triangle+V_{\pm}^{\varepsilon}\) 至少具有 24 个非简并临界点，其中

\[
q_\varepsilon=\frac{3}{4}\varepsilon^3-\frac{5}{32}\varepsilon^5
\tag{1}
\]

此外，对电荷强度的微小扰动给出一个势，其具有有限个且全部非简并的临界点，数目 \(k\geq 24\)。

为了证明定理1，我们引入一个变形势 \(\Phi_\varepsilon\)，定义为

\[
\Phi_\varepsilon(\mathbf{X})=\frac{V_\varepsilon(\varepsilon^2\mathbf{X})-V_\varepsilon(\mathbf{0})}{\varepsilon^6},\quad\text{for }\varepsilon>0.
\]

###### 引理 1.

设 \(q_\varepsilon=\frac{3}{4}\varepsilon^3-\frac{5}{32}\varepsilon^5\) 如 (1) 所示，并设

\[
\Phi_0=\frac{5}{32}H_2+\frac{15}{8}H_3+\frac{3}{16}H_4.
\]

那么存在 \(\{0\}\times \mathbf{R}^3\) 的一个开邻域 \(U\) 和 \(U\) 上的实解析函数 \(\Psi\)，使得当 \(\varepsilon>0\) 且 \((\varepsilon^2,\mathbf{X})\in U\) 时，

\[
\Phi_\varepsilon(\mathbf{X})=\Phi_0(\mathbf{X})+\varepsilon^2\Psi(\varepsilon^2,\mathbf{X}).
\]

因此，对每个 \(k\geq 0\) 以及每个紧集 \(K\subset \mathbf{R}^3\)，对所有足够小的 \(\varepsilon>0\)，我们有 \(\lVert\Phi_\varepsilon-\Phi_0\rVert_{C^k(K)}\leq C_{K,k}\varepsilon^2\)。

###### 证明.

设 \(K\subset \mathbf{R}^3\) 为任意紧集。记 \(t=\varepsilon^2\)。由于 \(V_\triangle\) 在 \(\mathbf{0}\) 附近实解析且 \(H_j\) 是齐次的，我们有

\[
V_\triangle(t\mathbf{X})-V_\triangle(\mathbf{0})=\frac{3}{4}t^2H_2+\frac{15}{8}t^3H_3+\frac{9}{64}t^4H_4+t^5R_\triangle(t,\mathbf{X})
\]

其中 \(R_\triangle\) 在 \(\{0\}\times K\) 附近实解析。对于轴向对，

\[
V_{\pm}^{\varepsilon}(t\mathbf{X})-V_{\pm}^{\varepsilon}(\mathbf{0})=t\left(\frac{3}{4}-\frac{5}{32}t\right)F(\varepsilon,\mathbf{X}),
\]

其中

\[
F(\varepsilon,\mathbf{X})=\frac{1}{\sqrt{1-2\varepsilon Z+\varepsilon^2\|\mathbf{X}\|^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2\varepsilon Z+\varepsilon^2\|\mathbf{X}\|^2}}-2.
\]

该函数是实解析的，且关于 \(\varepsilon\) 为偶函数，其泰勒展开为

\[
F(\varepsilon,\mathbf{X})=-\varepsilon^2H_2(\mathbf{X})+\frac{\varepsilon^4}{4}H_4(\mathbf{X})+\varepsilon^6R_{\pm}(\varepsilon^2,\mathbf{X}).
\]

代入 \(\varepsilon^2=t\) 并将 \(V_\triangle\) 和 \(V_{\pm}^{\varepsilon}\) 的项相加，得到

\[
V_\varepsilon(t\mathbf{X})-V_\varepsilon(\mathbf{0})=t^3\left(\frac{5}{32}H_2+\frac{15}{8}H_3+\frac{3}{16}H_4\right)+t^4R(t,\mathbf{X}).
\]

其中某个实解析函数 \(R\)。除以 \(t^3=\varepsilon^6\) 即证明了 \(\Phi_\varepsilon\) 的公式。\(C^k\) 估计成立，因为 \(R\) 的导数在 \(\{0\}\times K\) 的一个邻域上有界。 ∎

###### 注 1.

电荷 \(q_\varepsilon\) 被特意选为 (1) 中的形式，原因有二。首先，为了使 \(\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\Phi_\varepsilon\) 存在，\(q_\varepsilon\) 的阶必须至少为 \(\varepsilon^3\)，\(\varepsilon^3\) 的系数必须等于 \(3/4\)，并且不能有 \(\varepsilon^4\) 项。其次，\(\varepsilon^5\) 的具体系数是为了方便而选取，以简化 \(\Phi_0\) 的形式；它可以用任意大于 \(-45/256\) 的负系数代替，而不影响我们的结果。

###### 引理 2.

多项式 \(\Phi_0\) 恰好有 21 个临界点，且全部非简并。

###### 证明.

在柱坐标中，

\[
\Phi_0=\frac{1}{32}\left(18r^4+60r^3\cos 3\theta-144r^2z^2+5r^2+48z^4-10z^2\right)
\]

其偏导数为

\[
\begin{aligned}
\frac{\partial\Phi_0}{\partial r}&=\frac{r}{16}\left(36r^2+90r\cos 3\theta-144z^2+5\right),\\
\frac{\partial\Phi_0}{\partial\theta}&=-\frac{45r^3}{8}\sin 3\theta,\\
\frac{\partial\Phi_0}{\partial z}&=\frac{z}{8}(48z^2-72r^2-5).
\end{aligned}
\]

现在通过常规计算可以求出临界点并评估其 Hessian 矩阵。这些点分类如下：

- ➢ 原点 \(r=z=0\)，符号为 \((+\,+\,-)\)。
- ➢ 两个轴向平衡点，位于 \(r=0\) 且 \(z=\pm\frac{\sqrt{15}}{12}\)，符号为 \((+\,-\,-)\)。
- ➢ 六个平面平衡点，位于 \(z=0\)，\(\theta=\frac{\pi}{3},\pi,\frac{5\pi}{3}\)，且 \(r=\frac{15\pm\sqrt{205}}{12}\)，外半径处的符号为 \((+\,+\,-)\)，内半径处的符号为 \((+\,-\,-)\)。
- ➢ 十二个非平面平衡点，位于 \((r,z)=\left(\frac{1}{3},\pm\frac{\sqrt{39}}{12}\right)\)，符号为 \((+\,-\,-)\)，以及 \((r,z)=\left(\frac{1}{6},\pm\frac{\sqrt{21}}{12}\right)\)，符号为 \((+\,+\,-)\)，其中 \(\theta=0,\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3}\)。

∎

###### 注 2.

对于原始三角形构型，中心平衡点的莫尔斯指标为 1，三个边缘平衡点的莫尔斯指标各为 2。它们满足欧拉示性数方程

\[
m_0-m_1+m_2-m_3=0
\]

其中 \(m_1=1\)，\(m_2=3\)，\(m_3=3\) 表示电荷位置，\(m_0=1\) 表示无穷远点。当加入两个小的轴向电荷时，三个边缘平衡点仍然存在，但中心平衡点分岔为 \(\Phi_0\) 的临界点，其中 10 个的莫尔斯指标为 1，11 个的莫尔斯指标为 2。因此莫尔斯不等式仍然一致，其中 \(m_0=1\)，\(m_1=10\)，\(m_2=14\)，\(m_3=5\)。

###### 定理 1 的证明.

由引理1，函数 \((\varepsilon,\mathbf{X})\mapsto\Phi_\varepsilon(\mathbf{X})\) 是光滑的，因此隐函数定理意味着由引理2给出的 \(\Phi_0\) 的 21 个非简并临界点，对所有足够小的 \(\varepsilon>0\)，持续为 \(\Phi_\varepsilon\) 的 21 个非简并临界点。这些临界点给出 \(V_\varepsilon\) 的 21 个非简并临界点，它们位于距离原点 \(O(\varepsilon^2)\) 处。

另一方面，隐函数定理也意味着 \(V_\triangle\) 的三个非零非简并临界点，对所有足够小的 \(\varepsilon>0\)，持续为 \(V_\varepsilon\) 的三个非简并临界点