SplineNet：一种面向复杂壳体的等几何深度学习方法

# SplineNet：一种用于复杂壳体的等几何深度学习方法
来源：https://arxiv.org/html/2607.06026
\[1\]\\fnmXiaodong\\surWei

1\]\\orgdivGlobal College,\\orgname上海交通大学,\\orgaddress\\city上海,\\postcode200240,\\country中国

###### 摘要

我们提出了一种新颖的等几何深度学习方法，命名为 **SplineNet**，用于具有复杂几何形状的壳体结构的无缝设计与分析。该方法基于水密样条表示（例如，分析适用的非结构化 T 样条），并在神经网络中精确描述计算机辅助设计（CAD）模型的几何。利用贝塞尔提取构建网络架构，其中伯恩斯坦多项式作为非线性激活函数。SplineNet 既可用于无数据方式，也可用于数据驱动方式。在无数据情况下，基于能量的公式可以自然地作为损失项纳入，满足计算机辅助工程（CAE）的需求，并能准确计算。特别地，采用基尔霍夫-洛夫（KL）模型来求解壳体结构的力学行为。这样，深度神经网络能够紧密集成 CAD 和 CAE，无需耗时的模型/数据交换过程。在数据驱动情况下，SplineNet 可用作深度算子网络（DeepONet）的主干网络，以提供可解释性。针对训练好的网络和未见过的输入数据，可以立即获得结果，无需重新训练网络或重复执行传统的分析工作流程。最后，通过多种数值算例验证了所提方法的有效性，特别是在处理实际复杂几何形状时。

###### 关键词：

深度算子网络，可解释性，等几何分析，分析适用非结构化样条，贝塞尔提取

## 1 引言

等几何分析（IGA）旨在通过将 CAD 中使用的基于样条的表示作为数值分析的基函数，来弥合计算机辅助设计（CAD）与计算机辅助工程（CAE）之间的鸿沟[cottrell2009isogeometric]。通过直接利用精确的几何描述，IGA 能够实现比有限元法（FEM）[reddy1993introduction]更高的几何保真度和更好的数值性能。特别地，基于样条的离散化具有高阶连续性，使其特别适用于高阶偏微分方程（PDE），例如基尔霍夫-洛夫（KL）壳公式[kiendl2009isogeometric]。尽管有这些优势，传统 IGA 方法在大规模问题中计算成本高昂，并且在设计优化[nagy2010isogeometric]和不确定性量化[beck2019iga]中需要重复模拟。

为克服这些缺陷，利用深度学习来增强传统 PDE 求解器的性能已引起广泛关注[wang2024artificial]。根据学习目标，这些方法大致可分为两类：解学习和算子学习。

在解学习范式中，神经网络作为函数逼近器来求解特定问题。基于 PDE 的强形式和能量/弱形式，已研究了许多相关方法，例如物理信息神经网络（PINNs）[raissi2019physics]、深度里兹方法（DRM）[yu2018deep]、深度能量方法（DEM）[samaniego2020energy]和变分物理信息神经网络（VPINNs）[kharazmi2021hp]。PINNs 利用强形式残差定义损失函数，提供了一种灵活、无网格的方法来求解正问题和反问题。然而，它们需要高阶导数，导致训练困难[basir2022investigating,chickering2024quasilinear]。DRM、DEM 和 VPINNs 采用 PDE 的能量/弱形式作为损失函数，有助于降低导数阶次[fuhg2022mixed]并提高计算效率[bai2025energy]。尽管有所改进，但这些方法的许多实现中，本质边界条件通过惩罚项施加，导致训练过程中出现梯度冲突[wang2021understanding,berrone2023enforcing]。

另一类解学习方法受经典离散化技术启发，例如分层深度学习神经网络（HiDeNN）[saha2021hierarchical,zhang2021hierarchical,liu2023hidenn,lu2023convolution]和有限元神经网络插值（FENNI）[vskardova2025finite,daby2025finite]。这些方法利用神经网络架构构建类似有限元的形函数。这样的网络可以增强可解释性，准确施加边界条件，并促进高级策略如 r-自适应[zhang2021hierarchical,vskardova2025finite]和多重网格训练[vskardova2025finite]。然而，这些方法仍然针对特定实例：几何、边界条件或载荷的任何变化都需要重新训练。

相比之下，算子学习方法旨在学习从输入函数到输出解域的映射，使其能够为未见输入提供即时预测，无需重新训练。例如，傅里叶神经算子（FNO）[li2020fourier]利用快速傅里叶变换（FFT）实现高效且分辨率无关的算子学习。然而，FNO 通常要求函数在均匀网格上表示，限制了其在复杂域中的应用。Geo-FNO[li2023fourier]通过学习将不规则物理域转换为潜在均匀网格来解决此问题。图核网络（GKNs）[li2020neural]在图离散化上近似核积分算子，因此可以处理不规则网格。深度算子网络（DeepONet）[lu2021learning]采用分支网络编码输入函数，主干网络编码输出位置，为学习非线性算子提供了灵活框架。存在多种变体来增强 DeepONet 的性能。例如，利用残差 U-Net 编码复杂几何[he2023novel]。Point-DeepONet[park2026point]集成 PointNet 从点云中学习几何信息。黎曼流形上的神经算子（NORM）[chen2024learning]利用定义在底层流形上的拉普拉斯-贝尔特拉米算子的特征函数表示输入和输出，从而为学习输入-输出映射提供谱基。这些方法将算子学习扩展到规则网格之外。

然而，这些方法在工程设计中应用存在根本性的差距，因为它们的几何表示由计算域中的采样点识别，而非 CAD 模型。这种不一致性带来若干限制。首先，神经网络的性能可能对点位置的选择敏感，特别是在局部特征（如应力集中和裂纹）重要的问题中[wu2023comprehensive,gu2023enriched,visser2026pacmann]。其次，即使有精心挑选的点集，分析结果仍需映射回原始 CAD 模型以促进设计迭代，这可能容易出错，尤其对于大规模问题。第三，分析结果的可视化需要额外注意，包括评估设计的点位置选择以及对这些点进行三角剖分以得到直观且高质量的可视化，这通常需要领域知识。因此，将等几何概念（即，在任何地方使用相同的几何表示）融入学习方法中，具有增强传统数值求解器的巨大潜力，同时在神经网络中无缝集成 CAD 和 CAE。

最近的研究已开始探索这一想法，将样条表示整合到解学习方法中。例如，等几何神经网络（IGN）[gasick2023isogeometric]训练神经网络预测控制变量（类似于 FEM 中的节点值），而非逐点解值，从而减少计算负担，并使学习到的解保持在等几何逼近空间中。等几何卷积 HiDeNN（C-IGA）[zhang2023isogeometric]将卷积引入 HiDeNN 以再现样条并支持自适应细化。后来，通过跨片界面施加相容性条件，扩展到多片情况[zhang2025multi]。或者，多片等几何神经求解器[von2025multi]在 IGA 参考域上构建神经 ansatz 函数，其中强制执行界面条件，并使用基于能量的损失进行训练。尽管如此，多片表示在建模复杂几何时受到很大限制，因为它们需要通常难以实现的多块网格结构。此外，强制执行界面条件可能繁琐且对高阶问题（如基尔霍夫-洛夫壳）具有挑战性。

为解决这些问题，我们提出了一种新颖的等几何深度学习方法，命名为 **SplineNet**，用于具有复杂几何形状的薄壳结构的无缝设计与分析；参见图 1 的概述。

图 1：SplineNet 及其在解学习和算子学习中的应用概览。非结构化样条被显式嵌入到神经网络中，构建基础的 SplineNet（顶部）。它支持两种不同的范式：由物理损失（例如，基尔霍夫-洛夫壳的总能量）驱动的解学习范式（P-SNet），用于求解 PDE；以及算子学习范式（O-SNet），其包含额外的分支网络和数据损失，以实现不同输入条件下的即时预测。受基函数感知网络（例如 HiDeNN 和 C-IGA）的启发，SplineNet 通过贝塞尔提取将分析适用的非结构化样条（ASUTS）[wei2022analysis]（一种用于以水密方式建模复杂几何的高级样条技术）直接嵌入到神经网络中。SplineNet 的权重和偏差来自提取矩阵，伯恩斯坦多项式作为激活函数。输入是参数坐标，而可学习参数是控制变量或控制点，具体取决于应用场景。这样，SplineNet 的几何模型在设计和分析中保持一致。由于 ASUTS 的建模能力，SplineNet 可以处理来自实际应用的几何形状，超越了简单的单片或多片设置。

SplineNet 支持解学习和算子学习。在前一种情况下，SplineNet 充当物理信息神经网络，使用基于能量的方法为单个实例求解控制 PDE，称为 **物理信息 SplineNet**（P-SNet）。在后一种情况下，DeepONet 的主干网络被替换为 SplineNet。因此，解域被表示为样条的线性组合，从而增强了算子网络的可解释性。此情况下的变体称为 **算子 SplineNet**（O-SNet）。本文的主要贡献总结如下：

1.  我们提出 SplineNet，将非结构化样条显式嵌入到神经网络中，实现了复杂几何的水密表示以及神经网络中 CAD/CAE 的无缝集成。
2.  我们在解学习和算子学习中均采用 SplineNet，以学习能力增强 IGA，并为算子网络提供可解释性。
3.  我们将 SplineNet 与基尔霍夫-洛夫壳结合，展示了其在处理实际几何形状和高阶 PDE 方面的能力。

本文其余部分组织如下。第 2 节介绍 ASUTS 以及贝塞尔提取。第 3 节给出基尔霍夫-洛夫壳的公式。第 4 节详细介绍 P-SNet 和 O-SNet。数值算例在第 5 节中展示。最后，第 6 节总结并提出未来研究方向。

## 2 分析适用的非结构化 T 样条

非均匀有理 B 样条（NURBS）[rogers2000introduction]是当前表示 CAD 几何的工业标准。复杂几何通常表示为裁剪的 NURBS 片集合。虽然裁剪 NURBS 为几何建模提供了极大的灵活性，但裁剪操作通常会导致相邻裁剪片之间的间隙和重叠，阻碍 CAD 与 CAE 之间的模型/数据交换。

为克服这一根本问题，T 样条[sederberg2003t]及相关变体被开发出来。其中，分析适用的非结构化 T 样条（ASUTS）[wei2022analysis]为设计和分析提供了理想的特性，例如复杂几何的水密性、全局光滑性、线性无关性、单位分解性、最优收敛性和自适应性。因此，我们在本文中采用 ASUTS 作为 CAD 和 CAE 无缝集成的基础。接下来，我们简要回顾 ASUTS 的基础知识。有兴趣的读者可参阅 [wei2022analysis] 了解详情。

ASUTS 由两个组件构建：一个非结构化四边形控制网格（可能带有 T 型节点）和相应的样条基函数。控制网格由控制点、边和面（或单元）组成。ASUTS 的一个关键是处理奇异点（EP）。EP 是价数不为 4 的内点，或价数不为 3 或 2 的边界点，其中点的价数是与其共享边的数量。对于表示复杂几何，EP 是不可避免的；参见图 2。

图 2：(a) 汽车船体模型 (b) 其带有奇异点（红点）的控制网格。

几何表示为

\[
\bm{r}(\xi,\eta)=\begin{bmatrix}x(\xi,\eta)\\ y(\xi,\eta)\\ z(\xi,\eta)\end{bmatrix}=\sum_{i=1}^{n}N_i(\xi,\eta)\bm{P}_i,
\tag{1}
\]

其中 \(N_i(\xi,\eta)\) 表示与控制点 \(\bm{P}_i\) 相关的 ASUTS 基函数，\(n\) 是基函数的数量。

每个 ASUTS 基函数都是一个双三次分片光滑多项式。它们在单元上定义，并随单元类型而变化。根据 EP 的影响，ASUTS 控制网格中的面主要分为不规则单元、过渡单元和规则单元。不规则单元是包含至少一个 EP 的面。过渡单元与不规则单元相邻。其余的面是规则的。规则单元中的 ASUTS 基函数就是简单的双三次 B 样条。然而，在 EP 附近需要特殊处理以确保所需的属性（如光滑性和收敛性）。更具体地说，在不规则单元中添加额外的基于面的点和相关的样条以确保收敛，在此基础上采用 D 片方法[REIF1997174]将 \(C^1\) 连续性构建到样条中。随后，在过渡单元中使用截断机制[wei2018blended]使新添加的样条与现有样条兼容，并恢复单位分解性。