基于多项式混沌展开与多变量主动学习的工程结构不确定性量化

# 多项式混沌展开与多变量主动学习的工程结构不确定性量化  
来源：https://arxiv.org/html/2606.17233  

###### 摘要  

在许多工程应用中，单个高保真模型在相同输入参数下会产生多个关注量(QoIs)，例如复杂物理系统的有限元模型。为了缓解直接模型评估的高计算成本，代理模型被广泛用于构建模型响应的高效近似。自然，代理模型的精度在很大程度上取决于实验设计(ED)的质量。然而，单一的实验设计可能无法同时为所有输出提供足够的表示，尤其是当不同输出对输入变量表现出不同的敏感性时。一个直接的解决方案是为每个输出进行单独采样，但这会增加采样复杂度和计算成本。从统计角度看，这种方法也忽略了所有输出之间潜在的关联，可能损害数据一致性。为解决这一问题，本文推广了一种自适应序贯采样方法，用于构建面向向量值关注量的多项式混沌展开代理模型。该方法根据候选样本对输出方差的局部贡献，从候选池中顺序选择新样本，同时平衡基于距离的输入空间探索和跨所有输出聚合方差信息的利用。通过与多种工程问题的非序贯拉丁超立方采样进行性能比较，数值结果表明，所提策略提高了代理模型的精度和稳定性，并提供了更可靠的二阶统计量估计。  

###### 关键词：  
多项式混沌展开，不确定性量化，自适应采样，序贯采样  

†† 期刊：Engineering Structures  

{highlights}  
- 提出了多输出序贯自适应采样的推广与应用。  
- 引入归一化方差聚合以评估多输出PCE模型。  
- 所用准则在多输出问题中平衡方差贡献与样本空间探索。  
- 工程算例的数值结果证明了主动学习具有更优的精度和稳定性。  

## 1 引言  

不确定性是工程系统中不可分割的一部分，并可能以不可预测的方式影响结构行为。这一现象源于众多因素，如环境条件和施工误差，这些因素影响施加荷载、材料属性以及结构构件的尺寸。因此，通过确定这些不确定性的精确值，可以在结构寿命周期内获得对结构性能和行为更准确的估计。该估计包括安全水平和最可能的失效模式，从而能够在必要时及时采取所需措施。因此，主要目标是利用数学模型确定工程结构中不确定性的量级、理解其影响、描述并传播这些不确定性。  

在现实世界中，工程结构的不确定性量化(UQ)需要复杂的仿真，利用基于有限元的模型来建模结构响应，这些模型通常计算成本极高。因此，使用数值方法和传统蒙特卡洛(MC)仿真方法往往因过高的计算负担而不可行。为此，使用代理模型进行工程结构的不确定性量化引起了广泛关注。此外，在结构与力学分析中，高保真数值仿真通常不是提供一个而是同时提供多个关注量。这种多输出特性在与不确定性相关的分析中尤其具有挑战性，因为需要重复评估模型，相关计算成本可能变得难以承受。代理建模因此提供了一种有效途径，在保持可接受预测精度的同时减轻这一负担。  

在现有的代理建模技术中，多项式混沌展开(PCE)[Wiener_PCE]已成为不确定性量化[LuthenReview]、敏感性分析[SUDRET, CRESTAUX20091161]、可靠性分析[Zhou2020, Marelli2018]以及近期科学机器学习[NOVAK2024112926, SHARMA2024117314]或算子学习[SHARMA2026118796]的成熟方法。由于其在数学上的自然结构，PCE不仅提供随机系统响应的高效近似，还能通过展开系数直接获得统计量[PCEMoments]和敏感性指标[NOVAK2022106808]。这一特性使得非侵入式PCE在计算昂贵数值模型的应用中极具吸引力，例如Slowik等人提出的预应力混凝土桥梁复杂非线性有限元模型[ApplicationPCE_bridge]，其中允许的模型评估总数极为有限。  

然而，对于通过回归构建的非侵入式PCE，代理模型的质量高度依赖于实验设计[PCEOLSreview]，即训练数据集的质量。大量工作致力于设计用于代理构建的采样策略。经典的静态采样设计包括蒙特卡洛采样[McKayConovBeck:three:1979]、拉丁超立方采样(LHS)[Stein:87:LargeSampleLHS]以及基于低差异序列的准蒙特卡洛方法[Nieder:RandNumGen_AND_QMC_1992]。此外，从几何和分布的角度，空间填充原则衍生出多种采样准则，如miniMax、Maximin[JohMooYlv:MixiMinMiniMax:JSPI:90]、基于距离准则的广义版本[MorMit:JStatPLanInf:95, VorEli:Technometrics:20]、基于差异的准则[fang2001wrap]和基于熵的准则[Shewry1987MaximumES]。从回归的角度，几种最优性准则，包括D最优性、A最优性、E最优性和I最优性[AtkinsonDonev1992, Duarte2025]，也被用于通过优化信息矩阵的不同特性来提高代理模型的稳定性和精度。这些方法因其实现简单而具有吸引力。但由于所有设计点均为一次性预先选定，这些策略无法利用已有评估样本中提取的信息。此外，当响应变得复杂或不均匀时，尤其在多输出设置中不同输出可能在输入空间内表现出不同的复杂度，它们的效率可能会下降。  

为了充分利用现有代理和可用响应提供的信息，自适应序贯策略（通常称为主动学习技术）已在代理建模和可靠性分析中得到研究[Zhou2020]。在这些方法中，实验设计通过根据不断更新的代理模型提供的信息选择新点进行迭代优化。准则通常基于近似误差、统计指标或输入空间的局部几何性质。对于PCE，自适应序贯设计通常由针对展开结构定制的准则指导[AdaptiveCoherence, SequentialPCEThapa]。在实践中，准则常依赖于误差指标、基自适应性或利用PCE系数中信息的方差相关度量[PCESoptimSeq, NOVAK2021114105]。在此背景下，Novák等人提出的基于方差的自适应序贯采样策略是PCE代理构建的一项重要进展，其关联准则将方差相关项与距离相关项相结合，以实现开发与探索之间的平衡[NOVAK2021114105]。这种平衡在工程应用中已被证明特别有吸引力[Theta_application1, ThetaApplication_2]，因为它既避免了样本过度集中，也避免了输入空间部分区域的覆盖不足，同时优先考虑预计对总响应方差贡献显著的区域。因此，该准则在PCE代理的自适应构建中显示出优越性能。  

尽管有这些优点，原准则针对的是单输出问题。这一限制在许多工程应用中可能成为问题，因为一次仿真同时产生多个输出，且所有输出必须在有限且共享的计算预算下进行近似。单输出准则直接应用于多输出情形通常不令人满意，原因如下。首先，对不同输出使用不同的实验设计可能难以在代理构建中保持一致性，而当多个响应需要在统一的多输出设置中联合近似时，这是不可取的。其次，针对不同训练集重复采样过程，当底层模型计算昂贵时，效率可能低下。第三，不同输出可能表现出不同程度的变异性、平滑性和近似难度，因此对一个输出有信息量的样本可能对其他输出信息量小得多。因此，从单输出准则向多输出准则的推广不仅仅是一个形式上的扩展，而是面向实际多输出问题的一种必要步骤，以实现高效的采样策略。  

受此限制的驱动，本文提出了一种用于非侵入式PCE自适应序贯采样的多输出准则。所提方法将多个输出的方差和距离信息聚合为一个统一准则，从而每个新增样本的选取旨在最大化代理模型的整体改进。通过包括工程问题在内的多个数值算例对所提方法进行了验证，并在近似精度、统计估计性能和模型稳定性方面与工程应用中常用的标准采样方法LHS进行了比较。结果表明，所提方法为多输出PCE代理模型提供了一种有效且高效的采样策略。  

## 2 非侵入式多项式混沌展开  

设 \(Y = g(\bm{X})\) 表示一个数学模型，其中 \(\bm{X}=(X_1, X_2, \dots, X_M)\) 代表一组 \(M\) 个独立随机输入变量。在标准PCE框架中，输入变量首先映射到标准化随机基 \(\bm{\xi}=(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_M)\)，从而根据Wiener–Askey方案[Askey]构建正交多项式基。正交性条件定义为  

\[
\langle \psi_j, \psi_k \rangle = \int \psi_j(\xi) \psi_k(\xi) p(\xi) d\xi = 0, \quad j \neq k, \tag{1}
\]

其中 \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) 表示内积，\(\psi_j\) 和 \(\psi_k\) 是正交多项式基函数，\(p(\xi)\) 是基 \(\xi\) 的概率密度函数。相应的多元多项式基函数 \(\Psi_{\bm{\alpha}}(\bm{\xi})\) 通过单变量正交多项式的张量积构造：

\[
\Psi_{\bm{\alpha}}\left(\bm{\xi}\right) = \prod_{i=1}^M \psi_{\alpha_i}\left(\xi_i\right), \tag{2}
\]

其中 \(\bm{\alpha} \in \mathbb{N}^M\) 是一个多指标，表示每个维度 \(i\) 对应的多项式次数。因此，响应 \(Y\) 可利用这些多元基函数表示为[ghanem2003stochastic]  

\[
Y = g(\bm{X}) = \sum_{\bm{\alpha} \in \mathbb{N}^M} \beta_{\bm{\alpha}} \Psi_{\bm{\alpha}}(\bm{\xi}), \tag{3}
\]

其中 \(\beta_{\bm{\alpha}}\) 是多元多项式基的确定性系数。这些系数可以通过使用回归技术（如普通最小二乘(OLS)或最小角回归(LAR)）最小化近似误差来估计。  

在实际计算中，PCE模型必须截断为有限项。一种常用的截断策略是总阶截断，即仅保留总阶不超过预设阶数 \(p\) 的多元多项式项。此时，基项的数量为  

\[
P = \frac{(M+p)!}{M! \, p!}. \tag{4}
\]

随着 \(M\) 或 \(p\) 的增加，基项数量 \(P\) 增长迅速，导致计算成本显著增加——这是常见的维数灾难现象。因此，适当应用基选择策略至关重要。当基函数数量适中时，常用OLS；当候选基函数数量远大于必要数量时，常采用LAR和其他先进的基选择算法[OMP, BCS]用于高维稀疏问题。  

对于OLS，确定性系数可基于实验设计轻松估计，表示为  

\[
\bm{\beta} = \left(\bm{\Psi}^T \bm{\Psi}\right)^{-1} \bm{\Psi}^T \mathbf{y}, \tag{5}
\]

其中 \(\mathbf{y}\) 表示训练集的输出，\(\bm{\Psi}\) 是通过在实验设计中的输入样本处评估基函数构建的数据矩阵。  

一旦建立了PCE代理模型，就需要量化其预测能力。为此，常用留一法(LOO)交叉验证误差 \(Q^2\)，与决定系数 \(R^2\) 相比，它更不易过拟合。LOO误差通过从模型构建中依次排除实验设计中的每个样本并计算预测误差来获得。对每次排除，利用剩余样本构建代理模型，并在被排除点处计算预测误差。对所有样本重复此过程可提供整体预测误差的估计。尽管直接实现此过程需要较大计算成本，但LOO误差 \(Q^2\) 也可以从单个PCE模型解析计算如下：

\[
Q^2 = 1 - \frac{\frac{1}{n_{\mathrm{sim}}} \sum_{i=1}^{n_{\mathrm{sim}}} \left[ \frac{g(x^{(i)}) - g^{\mathrm{PCE}}(x^{(i)})}{1 - h_i} \right]^2}{\sigma_{Y,\mathrm{ED}}^2} \tag{6}
\]

其中 \(\sigma_{Y,\mathrm{ED}}^2\) 是利用原始模型在实验设计点处评估的模型响应方差，\(h_i\) 表示矩阵 \(\mathbf{H} = \bm{\Psi} (\bm{\Psi}^T \bm{\Psi})^{-1} \bm{\Psi}^T\) 的第 \(i\) 个对角线元素。  

此外，PCE的特定结构便于计算响应的统计矩。响应的第 \(m\) 阶原始统计矩可基于PCE重新表述如下：

\[
\begin{aligned}
\langle Y^m \rangle &= \int [g(\mathbf{X})]^m p_{\mathbf{X}}(\mathbf{X}) \, d\mathbf{X} \\
&= \int \left[ \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^M} \beta_\alpha \Psi_\alpha(\bm{\xi}) \right]^m p_{\bm{\xi}}(\bm{\xi}) \, d\bm{\xi} \\
&= \int \sum_{\alpha_1 \in \mathbb{N}^M} \cdots \sum_{\alpha_m \in \mathbb{N}^M} \beta_{\alpha_1} \cdots \beta_{\alpha_m} \Psi_{\alpha_1}(\bm{\xi}) \cdots \Psi_{\alpha_m}(\bm{\xi}) p_{\bm{\xi}}(\bm{\xi}) \, d\bm{\xi}
\end{aligned} \tag{7}
\]

(注：此处翻译完整保留了数学结构，自然衔接后续内容。原文在 `\int\sum_{\alpha_1\in\mathbb{N}^M}\cdots\sum_` 处截断，按常见PCE矩公式补充完整，但为忠实于原文，仅呈现至原文结束处。后续应根据原文继续。)