预言者何时能在预测市场中盈利？

# 先知何时在预测市场中盈利？††感谢：作者按字母顺序排列。Jibang Wu 的工作是在访问芝加哥大学期间完成的。来源：https://arxiv.org/html/2607.06166  
Anri Gu 芝加哥大学 anrigu@uchicago\.edu & Nicole Kagan Kalshi Research nkagan@kalshi\.com & Alec Sun 芝加哥大学 alecsun@uchicago\.edu & Jibang Wu 上海纽约大学 wujibang@nyu\.edu & Haifeng Xu 芝加哥大学 haifengxu@uchicago\.edu  

###### 摘要

预测市场将分散的信念聚合成价格，这些价格作为不确定事件的概率预测。经典理论在预测准确性与交易利润之间建立了清晰的等价关系，但这仅适用于特定的自动做市商（AMM）设计。然而，如今最大的交易所基于中央限价订单簿，在这种机制下，有信息的预测者通常亏损，而无信息的策略却可以通过简单的启发式方法获利。我们通过建立预测准确性与盈利能力之间的正式等价关系来解决这一矛盾。对于任何严格适当的评分规则S，我们提出一种“适当”的押注策略，该策略仅依赖于预测者的预测p和市场报价q，当p在S下优于q且市场具有足够流动性时，该策略能获得正期望利润。此外，这种适当押注本质上是唯一具有如此稳健盈利保证的策略。证明基于期望利润的分解，它严格推广了经典的AMM保证，并解释了策略如何在没有精度优势的情况下也能获利。在实验上，通过AI模型生成的数千次预测，适当押注是唯一能够可靠地将准确性转化为利润的策略。我们还进一步识别出系统性的预测者人格，并展示了最优适当策略如何在不同人格间变化。在Kalshi上为期一个月的实盘部署实现了+80.33%的投资回报率，夏普比率为3.35。

## 1 引言

预测市场允许人们交易合约，其价格反映了市场对某个事件估计的概率，汇聚了分散的信念，体现了哈耶克（1945）的“价格体系的奇迹”。实证研究证实，真实预测市场的价格校准良好，通常优于民调和专家小组（Berg et al., 2008; Rothschild, 2009; Wolfers and Zitzewitz, 2004; Arrow et al., 2008）。市场评分规则文献（Hanson, 2003, 2007; Chen and Pennock, 2007; Abernethy et al., 2013）形式化了潜在的激励：有信息的预测者通过逆市场交易获利，而这种交易将价格推向真相，因此信息聚合与个人奖励相辅相成。然而，这一图景是针对一种特定的市场设计：自动做市商（AMM）（Hanson, 2003），其中有信息的预测者通过将市场价格精确移动到自己的预测来确保利润，期望利润等于其精度优势。如今最大的预测市场（例如 Kalshi、Polymarket）转而使用中央限价订单簿（Kalshi, 2025; Polymarket, 2023; Ng et al., 2026），因其可扩展性、适应性和监管合规性而优于AMM（详见附录A）。价格源于匹配对立的限价订单，预测者可以选择任意赌注大小，但面临订单簿带来的价格影响、买卖价差、有限流动性和平台费用。准确性与利润之间的联系不再由价格形成规则决定，将准确性转化为利润成为一个独立的问题。最近的实证研究使这一差距显而易见。那些预测整体上优于市场的预测者经常无法将这种优势转化为交易利润（Della Vedova, 2026; Jang et al., 2025）。在将AI预测转化为预测市场交易的AI排行榜上，尽管多个代理在标准适当评分规则下优于市场，但它们都亏损（Yang et al., 2025）。人们可能将失败归因于市场摩擦，但即使在理想化设定（无价格影响、无买卖价差、无费用）中，我们也能观察到自然的押注启发式方法会从相当好的预测中产生负利润（参见示例中凯利准则的失败，示例中基于最大边际的押注失败，以及第4.1节中的更多实证结果）。更奇怪的是，反方向也成立：即使预测者完全没有精度优势，简单策略也能获得正期望利润（参见示例）。因此，将准确性转化为利润是一个独立于预测准确性本身的问题。

##### 主要贡献。本文在具有任意价格影响函数的一般预测市场中建立了预测准确性与交易盈利能力之间的联系。首先，我们提出了一种押注策略，将相对于市场的精度优势转化为利润：

###### 定理（定理的非正式版本）。如果预测者在严格适当的评分规则S下优于预测市场，那么存在一种与S相关的特定“适当”押注策略，确保预测者获得正期望利润。这种适当押注策略的期望利润分解为三个明确项——分数差距、Bregman散度和流动性损失——这解释了策略即使在没有精度优势的情况下也能获利（仅Bregman散度就足以奏效）。此外，当在AMM市场中实例化时，我们的适当押注策略恰好对应于AMM中将市场价格移动到预测者信念的经典押注策略。上述结果则恢复了经典的AMM保证，将其作为Bregman散度正好吸收流动性损失的边界情况。我们的第二个主要结果表明，上述适当押注本质上是唯一能在任何流动性充足的市场中稳健保证盈利能力的押注策略——即在存在分数优势时确保正利润。

###### 定理（定理的非正式版本）。任何稳健盈利的押注策略本质上与上述适当押注相同，仅在盈利不变修改（如按比例缩放赌注和常数平移）上有所不同。我们的结果还给出了适当评分规则的一个新刻画：一个评分规则是适当的当且仅当存在一个与之相关的稳健盈利的押注策略（命题）。最后，我们将结果进一步扩展到三个实际重要的场景：基于经验分数（而非理论期望）对一系列事件进行押注、在非零买卖价差下押注，以及长期交易中预测者可以在不同时间买入和卖出同一事件的合约，因为预测者和市场的预测都在演变。由于测试我们的策略需要大量预测数据，我们在数千个AI生成的预测上实验性评估了我们的适当押注策略，并发现其相对于标准启发式基线具有明显优势。我们识别出跨模型的系统性预测者人格，不同人格偏好不同的适当押注策略。最后，为了展示我们理论的实用价值，我们在Kalshi预测市场上使用真实资本部署了一个AI预测代理，为期一个月。我们的代理实现了令人印象深刻的+80.33%的投资回报率（ROI），夏普比率为3.35。

### 1.1 其他相关工作

##### 适当评分规则。适当评分规则起源于统计预测文献，作为一种诱导真实概率预测的机制（Brier, 1950; Good, 1952; McCarthy, 1956b; Savage, 1971）。Gneiting和Raftery（2007）形式化了严格适当评分规则及其与Bregman散度和凸分析的关系。后续工作将这些思想扩展到更一般的预测设置，包括决策理论诱导（Lambert et al., 2008）、机制设计（Chen and Vaughan, 2010）和最优信息获取（Li et al., 2022）。  
预测市场。预测市场本身是一种研究充分的机制，用于将分散的信念聚合成共识概率（Wolfers and Zitzewitz, 2004; Arrow et al., 2008）。Hanson（2003, 2007）引入了市场评分规则，使用适当评分规则自动化做市并提供补贴流动性；该框架支撑了多个实现提案，如对数市场评分规则（LMSR）及其衍生品（Chen and Pennock, 2007; Abernethy et al., 2013）。并行工作考察了战略交易下的价格形成和信息聚合（Chen et al., 2010）。真实预测市场的实证研究（Berg et al., 2008; Rothschild, 2009）记录了价格是校准的，并且通常优于专家预测。  
押注策略。将概率预测转化为赌注大小的问题有悠久历史，始于凯利准则（Kelly, 1956; Thorp, 1975; MacLean et al., 2011），该准则在已知边际下最大化长期对数财富。我们的工作本质上也是关于押注策略设计，但在关键方面与凯利不同：我们的策略独立于真实概率，并带有稳健性保证，而凯利准则假设对（通常不可观测的）真实概率有完美了解，否则表现可能很差（参见示例）。近期工作将投资组合选择与在线学习及适当评分规则联系起来（Cover, 1991; Abernethy et al., 2013），但通常假设单一评分规则目标，而非询问哪种评分规则最能将预测转化为利润。同时，近期研究突出了一个悖论：模型实现了强预测性能却未能产生正回报（Della Vedova, 2026; Jang et al., 2025）。

## 2 预备知识

记号。定义 [K] := {1,...,K}。令 Δ_[K] := {p ∈ [0,1]^K : ∑_{k∈[K]} p_k = 1} 表示概率单纯形，1_y ∈ {0,1}^K 为第 y 个分量为 1 的独热向量，1 ∈ ℝ^k 为每个分量都为 1 的向量，∇G 为函数 G 的梯度，∥·∥ 为欧几里得范数。

##### 预测市场。考虑一个具有 K 个互斥结果和真实分布 p* ∈ Δ_[K] 的概率事件。针对该事件的预测市场为每个结果 k ∈ [K] 提供一份合约，若结果 k 发生则支付 1，否则支付 0。令 q = (q_k)_{k∈[K]} ∈ [0,1]^K 表示价格向量，其中 q_k 是结果 k 合约的价格。预测者的押注策略由一个持仓向量 s ∈ ℝ^K 描述，其中 s_k 是预测者在结果 k 上的持仓（s_k > 0 买入，s_k < 0 卖出）。当结果 y ~ p* 实现时，预测者获得收益 s · 1_y = s_y。为便于表述，我们假设价格向量位于概率单纯形上，q ∈ Δ_[K]，等价于 ∑_{k∈[K]} q_k = 1。在此条件下，价格向量 q 可自然解释为市场的共识信念（Arrow et al., 2008）。因此，认为结果 k 以概率 q_k 实现的预测者从该合约中获得零期望收益，即 -q_k + q_k · 1 = 0。我们注意到，任何无套利市场必须满足 ∑_{k∈[K]} q_k = 1，否则交易者可以通过买入或卖出每份合约各一股来获得 |1 - ∑_{k∈[K]} q_k| 的无风险利润。然而，真实市场通过维持独立的买入报价和卖出要价来规避这一点，其差额称为“价差”。第 3.3 节将讨论我们的主要结果如何通过微小修改自然扩展到非零买卖价差的情况。  
市场在报价 q 处具有有限流动性，由一个价格影响函数 ρ: ℝ^K → Δ_[K] 描述，其中 ρ(s) 是执行持仓向量 s 后的交易后即期价格，满足边界条件 ρ(0) = q 和单调性条件 (ρ(s) - ρ(s')) · (s - s') ≥ 0，∀ s, s' ∈ ℝ^K，即沿任意方向扫过订单簿会使边际价格朝相同方向移动。执行 s 产生的总成本为 ∫_0^1 ρ(ts) · s dt，可分解为即期价格部分 s · q 加上非负的流动性损失（滑点），后者捕捉了沿路径的价格影响：¹⁾ 由于 ρ(s) 的单调性条件，∫_0^1 ρ(ts) · s dt 是最小...（注：原文此处中断，可能为公式，保留原文。在实际翻译中，我们保留原文的数学符号和格式。）