基于物理信息的错误场学习：物理信息神经网络的后训练优化框架

# 物理信息误差场学习：物理信息神经网络的训练后优化框架  
来源：https://arxiv.org/html/2608.24970  
孙九云 单位=山东科技大学数学与系统科学学院，地址=前湾港路579号，城市=青岛，邮编=266590，州=山东，国家=中国  

###### 摘要  

物理信息神经网络（PINNs）已成为求解偏微分方程（PDEs）的重要数值方法类别。然而，在后期优化过程中，进一步的参数更新往往导致精度提升逐渐减弱，同时计算成本增加。为解决此问题，本文提出了一种针对PINNs的物理信息误差场学习（PIEFL）框架。与传统方法通过单一网络持续逼近解场不同，PIEFL在主网络达到满意精度后引入辅助误差网络，并将学习目标从解场转向误差场。通过在物理约束下推导误差控制方程，误差网络学习当前近似解与精确解之间的差异，并将学习到的误差修正与主预测结合以提高解的精度。该框架避免了持续优化整个解空间，将计算资源集中于修正现有预测误差。此外，PIEFL无需修改主网络架构，兼容现有PINN模型，可作为通用的训练后优化策略。在代表性PDEs上的数值实验表明，PIEFL在相同计算预算下能实现更高的解精度，验证了其在提升PINNs性能方面的有效性。  

###### 关键词  

物理信息误差场学习，物理信息神经网络，偏微分方程  

## 1引言  

偏微分方程（PDEs）是描述自然科学与工程中复杂物理过程的基本数学工具，在流体力学、材料科学、环境科学及生物医学等领域有广泛应用（Evans 2022；Cai等 2021b；Pun等 2019；Cleary与Prakash 2004；Sobie等 2011）。开发高效准确的PDE求解方法长期是科学计算的核心研究课题。近年来，物理信息神经网络（PINNs）作为一种将数据驱动学习与物理约束相结合的新型计算框架，为求解PDEs提供了新范式（Raissi等 2019）。通过将物理残差纳入神经网络的损失函数，PINNs消除了传统数值方法所需的复杂网格划分过程，并在流体动力学、固体力学及生物医学工程等应用中展现出巨大潜力（Cai等 2021a；Hu等 2024；Roquemen-Echeverri与Mosquera-Lopez 2025；Rao等 2021）。  

尽管PINNs在求解PDEs方面展现出显著潜力，但在计算效率、训练稳定性及实现高精度解的能力方面仍面临重大挑战（Cuomo等 2022；Karniadakis等 2021；Krishnapriyan等 2021）。为解决PINN训练中遇到的优化困难、收敛缓慢及对复杂物理场的逼近能力有限等问题，现有研究主要聚焦于增强解网络的表示能力及改进训练策略（Jagtap等 2020a；Yang等 2021；Lin与Chen 2022）。一方面，已开发出更有效的神经网络架构，包括残差连接、傅里叶特征及其他高级特征映射技术，以提升神经网络表示复杂物理场的能力（Wang等 2021a；Wang等 2021b；Song与Wang 2023；Gao等 2021；Ren等 2022；Sun等 2024）。另一方面，引入自适应采样和域分解等策略优化训练点分布，使网络能更有效地聚焦于物理约束难以满足的区域（Wu等 2023；Tang等 2023；Jagtap等 2020b；Jagtap与Karniadakis 2020；Moseley等 2023）。此外，自适应损失加权、梯度平衡及高级优化算法被用于缓解不同损失分量之间的不平衡，提高训练过程的稳定性和收敛性（Wang等 2021a；Xiang等 2022；Feng等 2026；Li与Feng 2022；Hou等 2023；Wang等 2025；Tao等 2025）。这些方法从不同角度提升了PINNs的性能，但它们的共同特点是：本质上仍依赖持续优化解网络参数以逼近精确解。  

然而，一个尚未得到充分关注的问题是：在PINN训练的后期阶段，进一步优化网络参数往往导致解精度的提升逐渐减弱，而计算成本持续增加，产生显著的收益递减效应。此时，解网络通常已捕获目标解场的整体结构，大量计算资源用于进一步精炼网络参数，却只能实现解误差的边际改善。因此，一个重要问题自然浮现：是否仍需持续优化解网络，抑或通过转向学习目标能更高效地实现更高的解精度？  

基于上述观察，本文提出一种新颖的物理信息误差场学习（PIEFL）框架，为PINNs的后期优化提供新策略。与现有持续学习解场的方法不同，所提方法首先训练PINN以获得解场的精确近似（称为主网络）。一旦主网络达到满意精度，学习目标便从解场转向误差场。通过构建误差控制方程，主网络的预测误差被转化为满足底层物理约束的误差场，并采用辅助PINN学习该场。最终，将学习到的误差场叠加到主网络预测上，以获得更精确的数值解。  

与持续优化已接近收敛的解网络相比，PIEFL引入独立的误差网络直接学习现有预测中的残差误差，从而仅以边际额外计算开销实现精度进一步提升。因此，本工作专注于提升PINNs在后期优化过程中的计算效率。具体而言，通过转向学习目标实现更高效的误差修正，同时保留原始的物理约束求解框架。  

所提PIEFL框架无需修改现有PINNs的基本架构，可作为通用的训练后优化策略，兼容现有增强技术（包括网络架构改进、自适应采样和损失加权策略）。本文的主要贡献总结如下：  
- • 提出物理信息误差场学习（PIEFL）框架。与传统PINNs持续优化解网络不同，PIEFL将误差场视为独立学习目标，将优化目标从解场学习转向误差场学习。  
- • 建立误差场相应的物理控制方程。通过推导误差场满足的物理约束，将误差学习过程纳入PINNs框架，确保误差网络与原系统服从相同的物理约束。  
- • 开发PINNs的高效后期优化策略。在收益递减阶段从解优化转向误差场学习，PIEFL以更低计算成本进一步降低预测误差。  
- • 通过多个代表性PDE问题验证PIEFL的有效性。数值结果表明，与持续训练策略相比，PIEFL以更低计算成本实现更高解精度，同时表现出强适用性和兼容性。  

本文其余部分组织如下：第2节详细阐述PIEFL的理论基础和实现方法；第3节描述实验设置、分析数值结果并提供所提框架的对比验证；第4节总结本文工作。  

## 2方法  

本节介绍标准PINNs的基本结构以及所提PIEFL框架的学习原理。  

### 2.1标准PINNs  

本文主要考虑以下一般形式的PDEs：  

$$\frac{\partial u(x,t)}{\partial t} + \mathcal{N}[u(x,t)] = 0, \quad x \in \Omega \subset \mathbb{R}^D, \ t \in [0,T],$$  
$$u(x,0) = I(x), \quad x \in \Omega,$$  
$$u(x,t) = B(x,t), \quad x \in \partial\Omega.$$  

其中，$u(x,t)$ 表示目标解，$\mathcal{N}[u(x,t)]$ 代表非线性微分算子。$I(x)$ 和 $B(x,t)$ 分别表示初始条件和边界条件（IC/BC）。根据参考文献（Raissi等 2019），解 $u(x,t)$ 可由深度神经网络近似。本质上，PINNs通过物理约束将物理规律纳入损失函数。因此，方程（1）对应的物理残差 $f$ 定义为  

$$f := \frac{\partial u}{\partial t} + \mathcal{N}[u].$$  

PINNs的损失函数包含数据损失 $\text{MSE}_u$ 和物理损失 $\text{MSE}_f$：  

$$\text{MSE} = \text{MSE}_u + \text{MSE}_f,$$  

其中  

$$\text{MSE}_u = \frac{1}{N_u} \sum_{i=1}^{N_u} \| u(x_u^i, t_u^i) - u^i \|^2,$$  

以及  

$$\text{MSE}_f = \frac{1}{N_f} \sum_{i=1}^{N_f} \| f(x_f^i, t_f^i) \|^2.$$  

此处，$(t_u^i, x_u^i, u^i), i=1,\ldots,N_u$ 表示初始和边界训练数据，而 $(t_f^i, x_f^i), i=1,\ldots,N_f$ 代表用于评估物理残差 $f$ 的配置点。项 $\text{MSE}_u$ 对应于与初始和边界条件相关的损失，而 $\text{MSE}_f$ 在配置点集上施加方程（2）定义的物理约束。  

### 2.2物理信息误差场学习框架  

本节详细描述物理信息误差场学习（PIEFL）框架的基本原理。PIEFL采用新颖的级联架构，将求解过程分解为两个阶段。第一阶段，训练主网络以获得满足控制PDE的初始近似解。第二阶段，引入受主网络预测指导的误差网络，专门学习满足相应物理约束的误差场。最后，通过组合两个网络的输出获得高精度解。所提框架的整体架构如图1所示。  

![图1](figure_url) 图1：PIEFL示意图  

#### 2.2.1主网络  

在PIEFL框架中，主网络执行第一阶段求解任务，旨在为目标PDE提供满足控制物理定律和相应IC/BC约束的基础近似解。  

主网络与标准PINNs共享相同的输入配置和损失函数。其输出包括初始预测 $u_p$ 及相应的PDE残差：  

$$f_p := \frac{\partial u_p}{\partial t} + \mathcal{N}[u_p].$$  

预测解 $u_p$ 和残差 $f_p$ 随后用于误差网络的训练，为后续误差校正提供所需的初始预测信息和物理残差约束。  

#### 2.2.2误差网络  

误差网络是PIEFL框架中实现后续误差校正的核心组件。主网络参数固定后，其生成的基本近似解 $u_p$ 作为初步解信息。误差网络的目标是学习并重建一个由相应物理方程控制的、受物理约束的误差场。本文中，误差场定义为 $u_e$，满足  

$$u_e = u - u_p.$$  

将方程（7）改写为 $u = u_p + u_e$ 并代入方程（1），得到  

$$\frac{\partial (u_p + u_e)}{\partial t} + \mathcal{N}[u_p + u_e] = 0.$$