Deep Embedded Multiplicative DMD：代数保持Koopman学习

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摘要

DeepMDMD将深度学习与代数约束相结合，学习紧凑且动态一致的Koopman算子表示，并将乘积规则作为精确约束强制实施。该方法在高维混沌和流体动力学问题上优于几何方法，减少了谱污染并实现了稳定的长期预测。

Koopman理论将非线性动力学转化为线性谱问题。然而，在计算中，一切都依赖于一个困难的有穷维选择：可观测量必须具有表达能力，在动力学下几乎不变，并且理想情况下与复合兼容。深度Koopman方法学习灵活的坐标，而结构保持方法在固定字典上强制执行算子恒等式。我们通过引入Deep Embedded Multiplicative Dynamic Mode Decomposition (DeepMDMD)来结合这些思想，该方法学习一个潜在空间及其划分，同时将Koopman乘积规则作为精确代数约束强制实施。训练在精确乘法算子更新和促进Koopman闭包的可微潜在聚类步骤之间交替进行。结果是在学习的潜在细胞上的有限转移图。其非零谱位于单位圆上，其字典由动力学而非环境几何塑造，预测在潜在坐标中生成，然后解码到物理空间。在Hamiltonian、混沌和流体示例中，DeepMDMD学习的字典比几何MDMD划分产生的字典更加紧凑且动态一致。它减少了谱污染，揭示了更丰富的连续谱结构，并在严重噪声下提供稳定的预测。在高维流动中，包括158,624维的圆柱尾流和噪声Re=20,000的顶盖驱动空腔，它在状态空间MDMD失败的情况下保持了相干结构和长时间谱统计。这些结果为Koopman学习提出了一个实用规则：学习坐标，约束代数。
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