Quantum Port-Hamiltonian Neural Networks：通过测量诱导非线性学习保守与耗散动力学

# 量子端口-哈密顿神经网络：通过测量诱导非线性学习保守与耗散动力学
来源：https://arxiv.org/html/2607.12269

###### 摘要

我们提出量子端口-哈密顿神经网络（Q-pHNNs），这是一类以结构保持方式学习经典动力学的参数化量子电路。该框架依赖于同构哈密顿映射（IHM）：反对称互连矩阵 **J** 对应酉门演化，而半正定耗散矩阵 **R** 对应通过电路中测量和经典前馈实现的测量诱导非线性（MINL）。这确保了守恒性和无源性是通过电路构造而非惩罚项强制实现的。我们通过四种架构实例化IHM：（1）量子HNN，学习保守能量流形并通过参数偏移规则精确提取哈密顿方程；（2）Q-pHNN，利用玻恩规则测量实现耗散；（3）Q-pHNN，联合学习能量假设和阻尼系数；（4）拓扑纠缠的量子图神经网络，用于N节点耦合相量网络。在非线性摆和阻尼谐振子上的实验表明：（i）使用辛积分器和尺度校正后的相对能量漂移为1.35%；（ii）MINL电路的100%能量单调性；（iii）从向量场快照中识别阻尼系数时，误差为12.1%，且无需对阻尼系数进行直接监督。

端口-哈密顿系统；量子机器学习；测量诱导非线性；哈密顿神经网络；参数化量子电路；系统辨识；耗散动力学

## I 引言

物理系统受守恒定律、对称性约束和热力学原理支配，这些是朴素的黑箱回归无法保证的。过去十年中，一系列*结构保持*神经网络将这些物理定律直接嵌入模型架构：哈密顿神经网络（HNN）[greydanus2019]通过构造编码能量守恒；拉格朗日神经网络（LNN）[cranmer2020]通过欧拉-拉格朗日方程在构型空间工作；神经常微分方程（Neural ODE）[chen2018]通过任意向量场参数化连续时间动力学；哈密顿生成网络[toth2020]将哈密顿学习扩展到潜在空间；SympNets[jin2020]通过架构而非正则化强制辛结构。端口-哈密顿神经网络（pHNN）[desai2021, duong2021, zhong2020]将该方案扩展到开放耗散系统，分别学习保守互连 **J** 和耗散阻尼 **R**，而物理信息神经网络[raissi2019]则将微分方程作为软惩罚项嵌入。控制方程的数据驱动发现[brunton2016]和通用微分方程[rackauckas2020]进一步证明，物理结构可以直接从测量数据中恢复。

与此同时，参数化量子电路（PQC）已成为量子硬件上进行机器学习的灵活工具[cerezo2021, biamonte2017]。参数偏移规则[mitarai2018, schuld2019]提供了电路可观测量精确的解析梯度，支持有效的变分优化。PQC的表达能力关键取决于数据编码[schuld2021]；几何数值积分理论[hairer2006, leimkuhler2004]确立了辛积分器可任意阶保持哈密顿流的体积形式，使其成为结构保持学习的天然伙伴。量子机器学习（QML）中的一个基本障碍是*线性瓶颈*：所有标准量子门都是酉的，因此是线性的。非线性激活只能通过打开系统引入——即通过对辅助量子比特进行电路中投影测量，这一范式称为测量诱导非线性（MINL）[bharti2022]。

### I.1 本文工作

我们识别出两个研究流之间精确的代数对应关系，称之为**同构哈密顿映射（IHM）**：

这种对应不仅仅是类比：它通过*电路构造*而非惩罚正则化提供结构保证。IHM通过数据编码门上的辛参数偏移规则实现精确的哈密顿梯度，通过Störmer–Verlet分裂实现辛长视界积分，以及通过玻恩规则投影测量实现硬件原生耗散。我们在四种具体架构中实例化IHM，在典型物理系统上验证它们，并展示一个可扩展的量子图神经网络（QGNN），用于N体耦合网络。

### I.2 关键结果

四项具体结果使这项工作区别于先前的结构保持和量子机器学习方法：

1. **300步后1.35%的能量漂移**（非线性摆，Q-HNN）：Störmer–Verlet辛积分器与可学习能量尺度s*=1.335相结合，恢复了正确的振荡频率，并实现了比一阶欧拉基线（12.3%漂移）9.1倍的改进，且仅需8次BFGS迭代即可收敛。
2. **通过电路构造实现100%能量单调性**（Q-pHNN v1）：玻恩规则投影测量在每个时间步强制 Ḣ ≤ 0，无需在损失函数中添加任何无源性惩罚——这是经典pHNN只能通过矩阵投影[desai2021]近似的结构保证。
3. **无监督阻尼系数识别**（Q-pHNN v2）：电路仅从向量场快照中联合学习保守频率和耗散系数γ，从200个均匀采样的向量场快照中恢复γ=0.264（相对于真实值0.300的12.1%误差），验证q̇的MSE为0.268。
4. **N体网络的尺度无关结构保证**（QGNN）：仅在图边上放置双量子比特纠缠器，即可在每个节点数N下实现精确的机器精度能量守恒（|Ḣ|=0）和100%无源性，无需任何架构更改。

### I.3 广泛影响与应用

Q-pHNN框架不局限于玩具物理系统。其核心贡献——来自量子电路拓扑的结构保证，结合精确梯度和硬件兼容测量——直接与几个高影响应用领域相关：

**组学与基因调控网络。** 活细胞是端口-哈密顿系统：生化反应网络遵循守恒定律（质量、电荷、自由能），驱动不可逆熵产生，并通过膜端口接收和发送信号。耦合相量QGNN直接建模基因调控振荡器（昼夜节律、细胞周期反馈[karlebach2008]）和代谢网络韧性[gao2016]，其中耗散 **R** 通道代表mRNA降解率，电路无需监督即可从表达时间序列数据中学习。

**脑机接口与神经动力学。** 运动皮层群体动力学是旋转流形上的低维哈密顿流[shenoy2013, pandarinath2018]。Q-HNN电路可作为脑机接口（BCI）信号的结构保持解码器：保守能量对应神经轨迹的旋转动能，MINL耗散通道则建模从运动开始到运动终止的能量损失。在IBM或IonQ设备上的硬件执行将提供具有保证能量单调性的实时量子解码，消除递归解码器中常见的漂移伪影。

**量化金融与随机动力学。** 期权价格曲面、收益率曲线和投资组合风险曲面作为耗散动力系统演化：能量从高波动率流向低波动率体制。量子电路为蒙特卡洛定价[rebentrost2018b]和投资组合优化[orus2019]提供二次加速。Q-pHNN的 **R** 通道建模波动率衰减（均值回复），而 **J** 通道捕捉跨资产保守耦合。学习到的γ直接对应于均值回复率——这是随机金融中一个独立可验证的量。

**心脏电力学与生物医学数字孪生。** 心脏动作电位传播由高维耗散端口-哈密顿系统[trayanova2011]支配：离子通道是端口，膜电位是能量变量，传导速度在传播波上守恒。拓扑纠缠的QGNN自然映射到浦肯野纤维网络拓扑，每个解剖节点一个量子比特，传导边上放置ZZ纠缠器。

### I.4 贡献

我们提出四项贡献。（1）**同构哈密顿映射。** 我们形式化pH组件与量子电路原语之间的代数对应关系，证明一个结构同构，确保守恒和耗散定律由电路拓扑满足（第IV节）。（2）**Q-HNN和Q-pHNN架构。** 我们设计三种电路模型——Q-HNN（保守型）、Q-pHNN v1（MINL动态电路）和Q-pHNN v2（具有可学习γ和能量尺度s的向量场回归）——仅使用硬件兼容的电路原语（第V节）。（3）**物理验证实验。** 在非线性摆和阻尼谐振子上的三个可重现实验报告四个物理感知指标：能量守恒误差、轨迹RMSE、能量单调分数和阻尼恢复误差（第LABEL:sec:experiments节）。（4）**用于耦合网络的拓扑纠缠QGNN。** 我们将IHM从单个振荡器提升到N节点耦合相量网络，使用**量子图神经网络（QGNN）**：每个节点一个量子比特，仅在耦合边上放置参数化ZZ纠缠器，以及图结构能量读出。IHM的结构保证（精确能量守恒、100%无源性）是尺度无关的：它们通过每个N下的电路构造自动满足（第LABEL:sec:net_architecture节和第LABEL:sec:net_experiments节）。

## II 相关工作

#### 用于动力学的结构保持神经网络。

Greydanus等人[greydanus2019]引入了哈密顿神经网络（HNN），使用前馈网络参数化标量能量Hθ，并通过哈密顿方程获得向量场，从而保证能量守恒，但对耗散系统没有结构保证。Cranmer等人[cranmer2020]提出了拉格朗日神经网络（LNN），通过欧拉-拉格朗日方程在构型空间中操作；它们需要在每次前向传播时反演质量矩阵，增加了计算开销。Chen等人[chen2018]引入了神经常微分方程（Neural ODE），用神经网络参数化向量场并用ODE求解器积分；它们对守恒或耗散都没有结构保证。Tóth等人[toth2020]通过哈密顿生成网络将哈密顿学习扩展到潜在空间；Q-pHNN框架类似地将哈密顿编码为电路可观测量而非神经网络。Jin等人[jin2020]提出了SympNets，通过基本辛层的乘积实现辛结构；Q-HNN通过IHM同构实现辛结构，无需特殊层设计。Zhong等人[zhong2020, zhong2021]通过DissipativeSymODEN和SymODEN将HNN扩展到耗散和受控系统，添加可学习的耗散和控制输入；它们在每个梯度步骤通过反对称化和Cholesky分解强制结构约束。Desai等人[desai2021]和Duong与Atanasov[duong2021]引入了端口-哈密顿神经网络（pHNN），分别学习Jθ和Rθ，受到通过矩阵投影强制执行的显式结构约束。Q-pHNN消除了这些投影：结构约束直接编码在量子电路拓扑中。物理信息神经网络（PINN）[raissi2019]将微分方程作为损失函数中的软惩罚项嵌入；Q-pHNN将其编码为硬拓扑约束。Mattheakis等人[mattheakis2022]展示了嵌入神经网络架构中的物理对称性，Q-pHNN将其扩展到量子电路。Brunton和Kutz[kutz2022]主张将简约性作为物理信息学习的正则化器；Q-pHNN的4参数电路是简约的极端，结构由电路拓扑而非参数数量施加。通用微分方程框架[rackauckas2020]将经典机理模型与神经网络残差接口；一个自然的未来方向是将这些残差替换为Q-pHNN电路。几何数值积分[hairer2006, leimkuhler2004]为Q-HNN中使用的Störmer–Verlet积分器提供了理论基础，确立了辛方法可在指数长时间间隔内将2-形式dq∧dp保持到机器精度。

#### 量子机器学习。

Biamonte等人[biamonte2017]广泛调查了量子机器学习，将量子电路确立为一个模型类别。Mitarai等人[mitarai2018]和Schuld等人[schuld2019]证明了用于量子电路中精确梯度计算的参数偏移规则，我们将其扩展到*数据编码门*以直接计算哈密顿方程——这是该规则的一个独特且新颖的应用。Schuld等人[schuld2021]根据可访问的傅里叶模式表征了变分量子模型的表达力；Q-pHNN使用角度编码与可学习能量尺度s，在不改变傅里叶模式结构的情况下扩展了可访问的幅度范围。Cerezo等人[cerezo2021]综述了变分量子算法，包括我们在第LABEL:sec:discussion节中讨论的贫瘠高原问题。McClean等人[mcclean2018]证明在随机电路中，梯度幅度随量子比特数呈指数衰减，这为我们为QGNN推荐的拓扑感知初始化策略提供了动机。

#### 用于物理的图神经网络。

Scarselli等人[scarselli2009]引入了图神经网络模型；第LABEL:sec:net_architecture节的QGNN是其量子类比，电路纠缠图实际上编码了物理耦合图——这是经典GNN所缺乏的直接结构对应关系。Brunton等人[brunton2016]引入了SINDy用于从数据中稀疏辨识动力系统；Q-pHNN v2提供了一种补充方法，辨识端口-哈密顿结构而非单个方程项，并恢复可解释的物理参数（γ, s），而非符号表达式。Gao等人[gao2016]的韧性网络框架表明，复杂网络——包括基因调控、生态和金融系统——中的通用临界行为在临界阻尼阈值附近遵循类似端口-哈密顿的动力学，表明Q-pHNN可作为一种数据驱动的网络脆弱性诊断工具。

#### 测量诱导非线性与开放系统。

Bharti等人[bharti2022]综述了包括基于测量的量子计算在内的NISQ算法；Govia等人[govia2021]将量子测量识别为量子储层中非线性的来源。