数学台球 (2024)

# STRUCTURES 博客 | 数学台球 来源：https://structures.uni-heidelberg.de/blog/posts/2024_01_costa/index.php 作者：Lael Shelton Costa | 2024年1月10日 讨论请访问：https://www.instagram.com/structures_heidelberg/ | https://bsky.app/profile/structures-hd.bsky.social | https://www.linkedin.com/company/structures-cluster/ *这是什么结构？*你喜欢玩台球或美式落袋吗？我当然喜欢；我觉得用复杂的击球，经过多次反弹后进球非常令人满足。不过，我不是个技术很好的玩家，所以经常失手。幸运的是，我可以把这些失误归咎于摩擦、碰撞中的非弹性，或者其他球的意外干扰。当我得知数学台球的存在时，你可以想象我有多欣慰！ 在这篇文章中，我将描述几种数学台球的变体，并讨论我如何使用计算机实验来推动对这些游戏的研究。你看到的图像部分来自Geogebra (https://www.geogebra.org/geometry)，部分来自我创建并托管在我网站上的一个软件。稍后会有更多介绍；让我们先深入第一个游戏。 ### 内部台球 想象一下你在玩台球，但用的不是标准的矩形球桌，而是一个你选择的形状的、没有袋口的定制球桌。例如，我们可以画一个椭圆形台球桌的形状（见图1）。不过这个选择只是一个例子！你可以使用任何形状，只要它是凸的 (https://en.wikipedia.org/wiki/Convex_set)，意思是从边界上的任何一点到另一点都有清晰的击球路线。  数学家将这个过程描述为一种映射，其中定向弦“*xy*”被映射到定向弦“*yz*”。现在，在椭圆的边界上选取两个不同的点——我们称它们为“*x*”和“*y*”。想象你从*x*点朝着*y*点的方向击出一个点状球。它将沿着图1中的青色路径行进，撞向墙壁后弹向一个新点“*z*”。在一个理想的、无摩擦的世界里，我们可以追踪球经过任意次反弹的路径。由此产生的弦序列称为*轨迹*。数学台球就是研究这些理想化台球游戏中球的轨迹的学科。 ### 进阶读者：台球作为动力系统 数学家喜欢将这样的“游戏”描述为*动力系统*。一个动力系统描述了一个“*状态*”（在此例中，是一对像上面的*x*和*y*这样的点，表示在某个时刻球从*x*移动到*y*），以及该状态随时间演化的方式（在此例中，是物理概念：当球在*y*点反弹时，它会改变方向朝*z*点移动）。 熟悉动力系统理论的人可能会这样描述这个游戏：台球是在定义我们球桌的形状*K*上的定向弦空间中的一个动力系统。*台球映射**T**K*是执行上述操作的变换：它“吞下”定向弦*xy*，“吐出”弦*yz*，使得这些弦在点*y*处遵循反射定律。 研究这类系统的几何学家会提出这样的问题：*K*是否允许周期轨迹？也就是说，能否选择一个*x*和*y*，使得生成的轨迹在一段时间后精确地重复其步骤？  许多数学家研究过这种形式的台球，并且已有大量已知成果，但仍有一些基本问题悬而未决。例如，是否所有三角形都允许周期轨迹尚未可知。关于此主题的一个良好参考可以在这里找到 (https://www.google.com/books/edition/Geometry_and_Billiards/QrDxBwAAQBAJ?hl=en&gbpv=1)。 ### 外部台球 偶尔，像我这样的新手台球玩家可能会把主球击得稍微用力过猛，将其完全击飞出球桌。如果你有过这种经历，别担心！数学再次为我们提供了一种名为“外部台球”的游戏。这种游戏不再遵循*物理*台球的“常规”规则（即球桌上碰撞的物理规律），而是一个抽象的游戏，根据一套完全不同的数学规则描述一个物体绕给定几何形状的运动。 为了说明，我们再次选择简单的椭圆例子。考虑一个位于椭圆*外部*的点“*x*”，并构建它到椭圆边界的两条切线。如图3动画所示，选择两个切点中的一个（图中称为“*p*”），使得从位于*x*点的玩家视角看，椭圆内部位于蓝色线段的左侧。最后，将玩家的位置*x*关于该切点反射，得到新点“*y*”。从*x*到*y*的路径对应于这个改良台球游戏中的“一击”。  外部台球是一个新的动力系统，其中状态是球桌外平面上的一个点，系统的演化是上述从*x*到*y*的映射。到达*y*点后，我们可以反复重复同样的过程。从*x*出发，“台球”将按这种方式访问的所有位置的序列（*换句话说，包含点*x*、*x*被映射到的点、该点被映射到的点，依此类推的集合*）称为该点的*轨道*。 外部台球提供了一个丰富的研究领域，因为其中展现了各种各样的行为。取决于所研究几何形状的选择，人们可能看到非常可预测的行为，或某些混沌现象。对于椭圆桌，外部台球系统表现得非常良好：每个轨道都位于一个与球桌共享焦点的椭圆上。但已经证明，存在轨道发散到无穷远的球桌（参考文献 (https://arxiv.org/abs/0709.1229)）。 ### 注意：非光滑形状的外部台球定义 注意，在外部台球的定义中，对于非光滑的形体，“切线”可能仅仅意味着“经过一个顶点”。 ### 外部台球映射的奇点 在本文的剩余部分，我将主要讨论所研究的几何形状是正多边形的情况。细心的读者可能已经注意到我们对外部台球映射定义的一个漏洞：如果我们希望用于反射*x*的切线沿着该形状的一条平边，会发生什么？位于该直线一侧的点通过一个顶点反射，而另一侧的点通过另一个顶点反射。无法为位于这条线上、连接两个顶点的点定义映射，因此我们说映射在这里没有定义，或者说它在*x*处有一个“*奇点*”。当我们的球桌是一个*n*边形时，这意味着我们必须将*n*条射线（多边形各边的延长线）从映射的定义域中排除。除此之外，映射定义得非常好。 但是……会不会发生这样的情况：一个从非奇点出发的台球最终到达一个奇点并卡住？这确实可能发生。我们必须将所有这些起始点也称为奇点，因为我们只关心整个轨道都有定义的点。那么完整的奇点集是什么样子的呢？这正是计算机真正大放异彩的地方。  如果我们的球桌形状是正则镶嵌多边形（即三角形、正方形或六边形），奇点图像是平面的镶嵌（并且每个非奇点都位于一个周期轨道上）。但对于其他边数的正多边形，我们得到的图像可能复杂得多（例如见图5）。一些情况已被详细研究。例如，五边形具有描述清晰的分形行为和非周期轨道。 对于所有正多边形，无论有多少条边，我们可以观察到：平面上有一些多边形形状的区域没有奇点（图像中的深色区域）。如果球从其中一个区域开始，它会被送到另一个区域，然后再一个。有时，球可能回到它开始的区域，如果发生这种情况，那么该区域的*每个*起始点都会回到其起始点！出于这些原因，我们有时称这些区域为“周期岛”。对于几乎任何形状的球桌，通常可以观察到若干个这样的岛以及它们之间一些更混乱的区域。  ### 进阶读者：双曲外部台球 我发现这个问题的一个变体特别有趣，即将其转化到*双曲几何* (https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_geometry)中进行探索（关于这个主题的入门介绍，可参见例如这个网站 (https://maa.org/press/periodicals/loci/joma/hyperbolic-geometry-introduction)）。对我们目的而言，一个关键区别是，对于每个*n*，不再只有一个正*n*边形，而是存在一整个边长不同的家族。让我们从等边三角形开始。一个典型的奇点图似乎有各种大小的圆形周期岛，以及一些描述未知的较小连通分支。也许这些区域构成了周期轨道？也许它们具有某种分形结构？  但当我们改变边长参数时，可能会偶尔注意到图像中惊人的规律性。对于一些非常精确选择的边长，图像会大大简化。事实上，对于任意整数 $k\\geq 7$，我们可以计算出一个具有以下特殊性质的边长 $\\ell\(k\)$。边长为 $\\ell\(k\)$ 的三角形的奇点集看起来完全像是由三角形和 $k$ 边形构成的平面镶嵌，每个顶点处交替地有两个每种形状的副本相遇。这个结果对所有满足 $1/n\+1/k < 1/2$ 的整数 $n,k\\geq 3$ 都成立。这告诉我们，在双曲几何中，存在无限多种不同的正多边形球桌形状使得所有轨迹都是周期的，而不是我们在欧几里得平面上所知的三种。关于这些镶嵌的一般性信息（即非台球语境下的），参见维基百科 (https://en.wikipedia.org/wiki/Uniform_tilings_in_hyperbolic_plane)。  我是通过玩我编写的软件程序，直到模式显现出来而发现这一点的。然后，在知道要寻找什么之后，我能够手动追查细节。对我来说，这是计算机实验如何能够推动纯数学进展的一个好例子。 ### 外部长度台球 现在让我们回到欧几里得平面，描述另一种稍微复杂一点的台球形式。再次考虑一个位于球桌外部的点*x*，并构建它到球桌的两条切线。从*x*的视角看，其中一条线的球桌在左侧。标记该线与球桌的切点为*p*。我们现在构建唯一的圆*C*，它在*p*点与球桌相切，并与两条线都相切，如下所示：  这个圆实际上与我们的球桌共享*三条*切线，其中两条已经画出。构建第三条切线以获得新点*y*，它被定义为过*p*的切线与第三条切线的交点。这个游戏暂称为*带长度的外部台球*，原因超出了本文的范围，最近由宾夕法尼亚州立大学的Sergei Tabachnikov和海德堡大学STRUCTURES集群的Peter Albers描述。 外部长度台球类似于外部台球，因为映射沿着切线移动点，但在每一步中，行进的距离以更复杂的方式取决于球桌的形状。我的程序试图绘制奇点集，其定义类似于标准外部台球。然而，图像更为复杂。对于有数学经验的读者，让我补充一点，这是因为该映射不再是*等距映射*，所以直线的原像通常不再是直线。  虽然在这个游戏中，每个正多边形肯定至少允许一个周期轨道，但目前对于该系统的普遍行为几乎无法确定。然而，其动力学似乎展示了简单性和复杂性之间迷人的结合。 ### 动机 为什么数学家关心这样的问题？有几个不同的原因。首先，是与物理世界的联系：标准台球模型化了球在球桌内的反弹，或光子在镜室中的运动；而外部台球最初被构想为行星运动的非常粗糙的模型。其次，平面上的动力学问题之所以有趣，是因为在看似如此熟悉的空间中隐藏着如此多的细节。我可能会说*“我对欧几里得几何了如指掌”*，但就像我可能好奇在显微镜下观察自己手部的皮肤一样，即使是最简单的几何系统的行为，也有太多需要学习。第三，我们为研究动力系统而开发的实验和理论工具，通常在数学的其他领域也能带来回报。动力系统的定义非常广泛，以至于许多最初用动力系统理论语言表述的结果，适用于大量多样化且有趣的问题。 ### 软件 用于生成本文图像的台球软件链接在文章末尾。邀请读者试用，但我必须提醒您，控件并非总是不言自明，并且这是一个进行中的作品。代码使用Angular Typescript和Three.JS为Web编写。这具有易于部署和与合作者分享的优点，但也带来了一些性能上的缺点。 顺便提一下，我推荐ShaderToy (https://www.shadertoy.com/)。如果你感兴趣的过程可以表述为“对平面上的每个点进行一些算术运算，然后根据结果绘制一种颜色”，那么ShaderToy为你提供了一个快速、基于浏览器的方式来查看它的样子。例子包括本文描述的外部台球游戏的Julia分形 (https://www.shadertoy.com/view/wdjXz3) 和奇点集 (https://www.shadertoy.com/view/cslfW8)。仅用几行代码就可以创建极其详细的图像。 ### 实验 ≠ 证明 最后，我想更广泛地思考计算机在数学研究中的各种角色。这个博客上的其他文章已经描述了……