终端对称性作为决策资源：用于任意时间验证构造的逐状态精化

# 终端对称性作为决策资源：针对任意时刻验证构建的状态级细化 来源：https://arxiv.org/html/2608.11318 Yi Liu 隶属机构：硕士生 隶属机构：天文学与空间科学学院 隶属机构：中国科学技术大学 邮箱：[[email protected]](mailto:)

###### 摘要

许多顺序构建任务在完成时表现出精确的对称性，而其执行过程仍然是有方向的且依赖于历史。我们发展了一种关于终端对称性的决策资源视角：过程证据提供方向性，终端对应关系将该结构传输到等价结果之间，已实现状态证据在转移后细化其当前决策相关性，固定验证器认证执行。这一分解产生了“传输–细化–认证”。SymBuild 以回合固定的传输过程结构、其状态受限过程秩、在接受转移后刷新的状态依赖残差秩，以及一个序数秩交（其 top-k 集合恰好是两个提议前缀的并集）来实现该原则。该秩交在前缀覆盖下提供完成保证，并在相应前缀信息模型下达到紧的 worst-case 验证器查询界；一个两状态构建预测了严格的转移后动态–静态分离。在 CAD 装配、小程序和精确填充打包中，状态级刷新分别将任意时刻 AUC 提升了最多 6.77、21.75 和 8.68 个百分点。在来自官方 GRN OOD 场景的 1,135 个目标移除回合上，SymBuild 在三个规模上的平均封顶验证器成本均低于所比较的 GRN 和 CDGS 风格规划器。状态级信号还能跨聚合和调度器组织进行迁移。因此，终端对称性成为一种可复用的有向构建决策资源。

## 1 引言

许多顺序任务最终得到的对象具有精确对称性，即使实现这些对象的过程是有方向的且依赖于历史的。当两条腿交换时，椅子可能保持不变；程序输出可能对重命名不变；精确填充打包在箱子重新标记时保持不变；然而，阻塞顺序、依赖顺序和剩余容量可能使得只有某些下一步动作是有用的。这引出了一个基本问题：*当实现过程本身不对称时，精确的终端对称性能够提供什么决策信息？* 关键区别在于信息层面。过程证据是方向性的来源；终端对应关系将该结构携带到等价目标框架中；已实现状态证据在转移后细化其对当前决策的相关性；固定验证器则认证执行。这种“来源–载体–状态”分解将终端对称性转变为用于有向构建的可复用决策资源。

对称性长期以来被用于减少或引导规划搜索，并简化装配推理（8 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib29)；7 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib30)；19 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib31)）；现代方法在状态–动作模型、规划算子、轨迹或规范表示中编码对称性（31 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib12)；36 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib34)；29 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib14)；12 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib11)）。我们关注的是精确对称性仅在终端结果处可用的情形：有向过程结构独立地在具有适当覆盖、转移查询、几何或执行反馈的演示中建立，而终端对应关系提供可复用的传输映射。定理 1 (https://arxiv.org/html/2608.11318#Thmtheorem1) 形式化了识别–传输分离：相同的对称终端对象和观测演示可以与相反的交换性和优先关系共存。这一分离产生了状态级细化：传输结果所保持的内容，并刷新已实现历史所改变的内容。传输的过程先验记录在对称参考框架中哪个不对称顺序是有用的；局部残差记录当前已实现状态使什么变为新可访问、被阻塞、已满足或容量受限。状态级细化在接受转移后刷新这种瞬时状态证据，同时保持传输先验在语义上固定。SymBuild 使用由此产生的提议顺序向固定验证器分配查询。图 1 (https://arxiv.org/html/2608.11318#S1.F1) 展示了预测的特征：动态和静态策略采取相同的第一步动作，然后在已实现状态改变后刷新重定向验证，并在相同预算内达到已验证完成。

图 1：终端对应关系传输有向过程知识；已实现状态在转移后细化其决策价值。(A) 过程证据建立不对称先验，终端自同构将其传输到目标框架。(B) 在共享的第一步动作改变可行性后，缓存组合变得过时，验证器拒绝其下一个提议。(C) SymBuild 刷新状态残差，并在相同预算和验证器下达到已验证计划。

我们的贡献包括：

- **决策资源表述。** 我们将终端对称、过程不对称的构建表述为一个信息流问题：过程证据识别方向性，终端对应关系传输它，已实现状态证据细化其决策相关性。
- **状态级细化与理论。** 该分解产生“传输–细化–认证”。SymBuild 通过序数秩交实现由此产生的并集–前缀语义，在前缀覆盖下具有完成保证，在前缀信息模型下具有紧的 worst-case 验证器查询界，以及严格的转移后动态–静态分离。
- **跨领域证据与迁移。** CAD、程序构建、打包和 GRN OOD 实验展示了改进的验证效率、预测的时间特征、独特的传输/状态贡献，以及跨聚合和调度器组织的迁移；SymBuild 在所有三个 GRN OOD 规模上的平均封顶验证器成本均低于所比较的直接和 CDGS 风格规划器。

## 2 相关工作

##### 对称性作为共享过程结构。 等变强化学习和可微规划在状态–动作值、策略、规划算子或动作采样过程中编码对称性（31 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib12)；32 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib33)；36 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib34)；24 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib1)；35 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib2)）。对称感知的顺序、轨迹和生成方法将相关结构扩展到解轨迹、结构化生成或策略空间（3 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib13)；29 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib14)；37 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib16)；13 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib15)；9 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib24)）。在这些路线中，对称性是变换后的状态、动作、计算或轨迹所共享的结构的一部分。

##### 规划与装配中的对称性。 经典规划利用精确问题对称性来减少等价搜索（8 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib29)；25 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib6)），并利用从抽象推导出的*几乎对称性*来主动引导动作排序（7 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib30)）。装配规划同样使用组件对称性和群论来简化运动学/空间约束推断和几何装配推理（19 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib31)；26 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib32)）。这一脉络确立了对称性作为主动的计算指导。在此基础上，决策资源表述将对称性焦点放在终端结果上，并将方向性的来源与传输它的对应关系分离：过程证据识别有向关系，终端对应关系携带它，已实现状态细化其当前相关性。

##### 代表选择与不完全对称性。 规范化选择对称轨道的代表（12 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib11)；17 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib26)；38 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib25)）；软等变和近似等变在失配下放松硬对称约束（6 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib35)；33 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib36)），而概率对称性破缺和部分等变控制对称性如何被破坏或选择性应用（14 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib3)；4 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib4)）。这些工作调整等变的表示、强度或局部性；在我们的设置中，终端对应关系保持精确，而状态级细化更新传输的不对称过程信息的决策相关性。附录 B (https://arxiv.org/html/2608.11318#A2) 给出了系统的操作比较，包括基于对称性的轨迹重用（18 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib37)；15 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib38)）。

##### 昂贵评估下的搜索。 部分序规划和部分序约简利用排序结构（22 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib21)；34 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib17)），而任意时刻 A*、LAMA、LazySP 和多启发式 A* 在分数、约束或评估器可用时组织搜索或推迟昂贵评估（16 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib22)；27 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib9)；10 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib8)；5 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib23)；1 (https://arxiv.org/html/2608.11318#bib.bib7)）。决策资源视角在这些选择之前提供了一个信息层：传输的过程结构和已实现状态证据形成由固定验证器消费的提议信号。第 4.5 节 (https://arxiv.org/html/2608.11318#S4.SS5) 在规范、部分序、多启发式和 LazySP 风格接口中实例化相同的信号；附录 C.1 (https://arxiv.org/html/2608.11318#A3.SS1) 给出它们的定义。公开的 SayCanPay、GRN 和 CDGS 风格比较测试聚合和更广泛的引导搜索；附录表 16 (https://arxiv.org/html/2608.11318#A4.T16) 总结了这些接口。

## 3 终端对称性作为决策资源

### 3.1 终端对应关系作为传输

决策资源视角始于传输操作：终端对称性提供等价结果之间的对应关系，而有向过程结构由过程证据独立提供。

#### 3.1.1 构建系统和终端提升

离散构建系统是 \(\mathcal{C}=(\mathcal{S},\mathcal{A},F,s_0,\Psi)\)，其中 \(F:\mathcal{S}\times\mathcal{A}\rightharpoonup\mathcal{S}\) 是确定性部分转移，\(\Psi\) 将最终状态映射到语义对象。完整可执行轨迹是 \(\tau=(a_1,\ldots,a_T)\in\mathcal{T}_{\mathcal{C}}\)，其终端对象为 \(O_{\mathcal{C}}(\tau)=\Psi(s_T)\)。设群 \(G\) 作用于终端对象。一个可能部分且集值的提升 \(\mathsf{L}_g(\tau)\) 满足
\[
O_{\mathcal{C}}(\tau')=g\cdot O_{\mathcal{C}}(\tau)\qquad\forall\tau'\in\mathsf{L}_g(\tau).
\tag{1}
\]
方程 (1) 指定了终端对象的协变性。当选定的提升保持长度并提供事件双射 \(P_g\) 时，有向关系张量 \(R(\tau)\) 通过共轭变换：
\[
R(\tau')=P_g R(\tau) P_g^{\top}.
\tag{2}
\]
共轭传输优先关系、交换性或动作对应关系，同时保持方向性。方程 (2) 给出了跨终端框架的传输条件；在单个已实现轨迹内，等式 \(R=P_g R P_g^{\top}\) 对应于更强的稳定子不变性性质。

#### 3.1.2 识别–传输分离

识别和传输是两种不同的信息操作。方程 (2) 规定了已识别的有向关系如何在等价结果之间移动；识别该关系需要终端观测之外的过程证据。

###### 定理 1（识别–传输分离）。 在有限确定性部分转移构建系统上，任何仅观测终端对象及其稳定子的估计器都无法普遍恢复真实的优先关系或交换性。当估计器观测一条演示时，该结论仍然成立，即使其采样策略不必覆盖反事实动作顺序。在一个两系统见证类上，每个随机估计器的 worst-case 误差至少为 \(1/2\)。一个两系统见证共享相同的终端对象、稳定子和观测演示，但一个系统允许交换菱形，而另一个系统强制为链；附录 A (https://arxiv.org/html/2608.11318#A1) 给出了构造和证明。该定理建立了两种不同的操作：过程证据识别有向关系，终端对应关系根据方程 (2) 将已识别的关系在等价终端框架之间传输，状态级细化在转移后更新其决策价值。

### 3.2 状态级细化

#### 3.2.1 三种信息角色、两个时间尺度、一个验证器

该架构包含三种信息角色和一种认证角色。过程证据提供方向性，终端对应关系将其携带到目标框架，产生回合固定的传输过程结构 \(R_T\)。在具有候选集 \(A_s\) 的状态 \(s\) 下，将 \(R_T\) 限制到当前候选集会诱导状态受限过程秩 \(r_T^s:A_s\to[1,|A_s|]\)。已实现状态证据提供状态依赖残差秩 \(r_X^s\)，在接受的行动之后根据几何、容量、依赖关系或扩展可行性的变化进行刷新。固定验证器 \(V_s(a)\) 认证执行。这些秩在算法上可比较，但在信息上不同。只要任一通道将提议排在前面，提议就应该保持靠前，因为传输和状态证据解决不同的不确定性。具有这种并集–前缀语义的序数算子是
\[
m_s(a)=\min\{r_T^s(a), r_X^s(a)\}.
\tag{3}
\]
引理 1 (https://arxiv.org/html/2608.11318#Thmlemma1) 给出了精确的前缀恒等式。由此产生的规划器 SymBuild 按非递减的 \(m_s\) 测试动作，接受第一个经 \(V_s\) 批准的动作，在转移后重新将固定的 \(R_T\) 限制到当前候选集，并从新的已实现状态证据刷新 \(r_X^s\)；初始静态控制缓存初始组合。

##### 搜索接口视角。 在算法接口上，\(r_T^s\) 是传输过程结构的决策投影，\(r_X^s\) 是已实现状态证据的决策投影。搜索方法可以将它们作为提议启发式使用，而其语义角色仍然不同：多启发式调度保持两个队列，POCL 风格调度