应用纯数学

# 应用纯数学 来源：https://www.argmin.net/p/applied-pure-mathematics *各位读者好！随着秋季学期的开始，文章更新频率也会提升。因此我决定为文章添加简短的描述性标题，方便大家梳理不同的讨论脉络。* *许多读者曾希望我探讨AI企业对数学领域的攻克。今天的文章是初次尝试，绝非终点，旨在解析我们面临的新数学生态。* 职业生涯早期，我有幸参与了纯数学与应用数学交叉领域的一场精彩研究热潮——压缩感知的淘金热。压缩感知提出一个问题：能否在信号采集阶段就实现压缩？与其先用高分辨率相机拍摄图像再压缩为JPEG格式，我们能否直接采集与JPEG文件字节数相当的样本量？压缩感知建立在几何泛函分析、凸几何和概率论等深层数学基础上。它催生了多项工程成果，从更快速的MRI成像到更优质的内容推荐系统。 尽管该领域的影响可见于众多应用领域，但压缩感知的数学始终未形成确定性规范。其定理总是基于无法验证的现实假设，或依赖于成本过高/不切实际的测量系统。然而压缩感知的数学帮助我们聚焦于共同的设计原则叙事，指导我们设计新算法，构建对噪声鲁棒的测量方案，并描绘出哪些系统结构适用于压缩技术。纯数学为我们提供了洞察可能性的框架。 虽然这种数学形式化具有惊人的有效性，但其负面效应同样显而易见。Shahar Menderson在2014年COLT会议上精辟概括了应用纯数学的这一普遍问题：应用数学家常需搭建庞大的数学建模脚手架来解决问题。这些脚手架会衍生出与原问题无关的新数学谜题，却吸引解题者竞相追逐。于是你会看到数十篇后续论文解决这些谜题，却忘记了我们最初关注的问题。 这种“开放问题文化”具有腐蚀性。它催生了“ trophy hunting”现象：人们争相抢先发表，向专家朋友探听内部消息，或用越来越复杂的数学相互碾压。 将解谜视为天才标志的崇拜倾向，长久以来一直是数学领域更广泛的破坏性趋势。人们很容易沉浸于这种刺激中。数学或许是最注重能力主义的学术学科：存在既定问题，解题者即为智者。但人们忘记了，问题之所以赋予地位，只因（a）它们当前未解，且（b）足够多的数学家认定其值得解决。其中的（b）部分并不遵循能力主义。 这正是为何许多数学工作者试图解释“数学的本质在于理解而非证明”时，常令外界感到困惑甚至愤怒。对许多观察者（包括立志成为数学家的人）而言，数学从一开始就是竞赛模式：从小学的标准化测试，到7岁冲刺SAT高分，14岁斩获IMO金牌，19岁横扫Putnam竞赛。 你的奖励是余生可以自由研究任何谜题而无需质疑。获胜者无需解释任何东西——或许他们需要教微积分课程，但不必非得教好。 从外部视角看，人们会认为数学就是赢得竞赛、证明定理。数学很少向外传递“理解是核心追求”的信号。多数人视数学为问答竞赛文化。这种文化极其残酷的竞争性，让许多人感到自己愚钝。 许多著名数学家的行动反而加重了批评者的质疑。关于学术荣誉的争夺和“首个解决者”的竞赛已毁掉两个Clay千禧年大奖问题。鉴于AI企业解决了被认为不可能攻克的数学难题，这种情况必须改变。当计算机完成我们认为不可能的任务时，正确的反应不应是撰写长篇大论论证Eliezer Yudkowsky的预言正确、机器将毁灭人类，而应调整我们关于真实性的参考叙事。 事实上，从OpenAI提出的Clay千禧年大奖Navier-Stokes问题解决方案中，我并未学到流体力学的新知识。这类问题正是我上文感叹的“谜题产物”。解决Navier-Stokes问题本身，对方程试图描述的流体动力学毫无启示。 尽管如此，这个所谓的解决方案让我收获颇丰。我认识到从IMO刷题到攻克千禧年问题的跃迁距离远短于预期。只要构建出擅长IMO问题的算法，辅以正确的要素和计算资源，就能解决高难度数学问题。这意味着大量数学训练本质是培养人类“能力极限突破”。我们已建立一套心理测量学优化的测试体系，专门筛选数学天才。当训练计算机冲击这些基准测试时，最终解决的正是测试本身。千禧年问题何尝不是人类终极数学考试？ 事后看来，这令人无奈地合理！ 若这是教训，会得到有趣的推论：虽然IMO竞赛表现似乎是在数学领域立足的门票，但IMO解题高手未必能成为伟大数学家。后者需要其他天赋支撑——尽管许多聪慧且关怀人士努力探索，这些天赋依然难以言喻，绝非基准测试可衡量。 在人工智能公然反智的文化时代，纯数学家与应用数学家需持续阐明这些天赋的本质。目前关于数学项目价值超越定理真值的宣言（https://mathandai.org/）已是良好开端，尽管未获普遍认同。更多人需要分享数学（即便是最纯粹的数学）对科学家、工程师及社会大众的价值。 以我个人经历为例：尽管现在比早年更少关注定理证明，我仍自视为应用纯数学家。应用数学是连接两个不可通约世界的正式语言。数学是通过公理、特定规则推导引理、定理和推论的演绎实践；而经验科学与工程学是*归纳*的——我们因理论作出正确预测而接受它，明知这是肯定后件式的逻辑谬误。这并非否定科学，正如大卫·休谟三百年前指出：数学无法为科学奠基。[^1] 因此，应用数学是描述归纳过程的逻辑语言。它在这项任务中具有惊人的有效性。如前文讨论的压缩感知所示，它永远无法完美规定实践操作，而是作为技术制图语言，帮助科学界构建复杂理论，协助工程师开发复杂系统。纯数学为这些制图工作提供新的“画笔”。 这正是我推崇（且全文采用）Jordan Ellenberg“应用纯数学”一词的原因。应用数学常指偏微分方程相关数学；应用纯数学则是*任何数学*应用于数学封闭世界之外的*任何事物*。你永远无法预料浩瀚数学库中哪个“看似无用”的角落能助你理解现实。 分享一个我在压缩感知淘金时代遇到的意外灵感：本科阶段是否需要学习p-adic分析（https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_analysis）？或许不必，但这些知识固化了我脑中的规律与模式。当Ali Rahimi和我试图解析代码生成的随机特征时，我记起了Bochner定理（https://en.wikipedia.org/wiki/Bochner%27s_theorem）关于局部紧阿贝尔群的结论。这最终催生了一篇极具实践影响力的精彩论文（https://people.eecs.berkeley.edu/~brecht/papers/07.rah.rec.nips.pdf）。我通过修读奇特课程、钻研深奥数学书籍积累的知识网络，塑造了我对这个应用机器学习问题的理解视角。如今AI或许能建立这种联系，但个人教育历程仍为提示词生成所必需。 在我首门大学数学课的第一讲中，传奇的芝加哥大学教授Paul Sally（https://news.uchicago.edu/story/paul-j-sally-jr-influential-mathematician-and-educator-1933-2013）（*懂的都懂*）直言他不是来教授知识，而是来“重塑大脑”的。Sally毕生奉献数学教育，热情拓展数学家群体的边界。对他而言数学不是竞赛，而是观察世界的方式。即便计算机已在竞赛中超越我们，数学依然可以成为这种观看之道。 [^1]: 原文脚注编号为1，此处保留格式。