深刻定理曾很稀缺。人工智能打破了这个局面（15分钟阅读时间）

# “深刻的定理既稀有又艰深，因此成为识别深度思考的有效机制。而AI已打破了这一体系。” 来源：https://terrytao.wordpress.com/2026/09/13/deep-theorems-were-scarce-and-difficult-and-so-became-an-effective-mechanism-to-identify-deep-thought-ai-has-broken-this-system/ *\本文为客座文章，作者为[Bryna Kra (https://sites.math.northwestern.edu/~kra/)。本文最初以其他文件格式撰写，后经AI转换。——T\.\]* 数代以来，数学家一直将定理的产出视为衡量成功的明确标准。定理越强，证明越深，联系越出人意料，成就就越显著。职位和奖项基于这些定理，而实现突破的数学家也为未来研究指明了方向。 但定理产出只是我们关注的一部分。它是一种更难以衡量的东西——理解——的代理指标。一个重大突破意味着在一个领域投入数年学习和揭示隐藏的方面，并努力使答案在学术界变得显而易见。深刻的定理既稀有又艰深，因此成为识别深度思考的有效机制。 **AI打破了这一体系。** 人工智能降低了生成复杂证明的成本。随着模型的改进，被攻克的深刻猜想清单将不断增长。一个对该领域知之甚少的人，现在就能生成一篇读起来像打磨过的文章、引用了文献、并结合了通常需要多年才能掌握的技巧的手稿。机器产出解决方案的速度，已快到数学界来不及阅读，更不用说消化了。 本周，这种变化降临到了我的领域。Nivat猜想是组合学与动力系统交叉点上的一个美妙问题。想象一个无限的方格网格，每个方格被涂成红色或蓝色。观察每个固定尺寸的矩形窗口，例如{n}格宽、{m}格高，并统计该窗口中出现的不同颜色模式的数量。该猜想声称，如果这样的模式最多有{nm}种，那么整个着色将在网格的某个固定非零平移下重复出现。换句话说，对局部行为的某个精确限制，产生了简单的全局行为——周期性。 尽管这个陈述无需公式或高等数学就能解释，但这个猜想抵制了我们近三十年的努力。 在Van Cyr和我(https://arxiv.org/pdf/1208.4090)于2012年首次流传的工作中，我们证明了一个部分结果，表明当模式数量不超过窗口面积的一半时，周期性成立。我们将组合问题转化为关于动力系统几何的问题，研究系统中信息传播（或不传播）的方式。对挑战性问题的进展并非凭空发生，我们的工作始于研究并建立在文献中早期结果的基础上[1 (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397501003863),2 (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S030439750100281X),3 (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0304397504001033)]。不久之后，Jarkko Kari和Michal Szabados (https://arxiv.org/pdf/1605.05929)开发了一种不同的方法，将组合问题视为代数对象，使用特定类型的多项式来寻找无限模式。 对于我们这些从事该领域工作的人来说，这是一个令人神往的局面。两种不同的方法来解决同一个问题，仿佛在向我们呐喊：找到它们之间的概念桥梁。我们尝试过，但没有成功，于是转向了其他问题。同事们继续推进我们已知的边界，以日益强大的方式结合各种技术[1 (https://arxiv.org/pdf/1710.05360),2 (https://arxiv.org/pdf/1904.01267),3 (https://arxiv.org/pdf/2606.10193)]。 但融合不同方法是前沿模型擅长的领域之一。机器不需要花费数年吸收不同的数学领域，才能找到其中的联系。它可以翻译符号、比较部分结果、尝试成千上万的组合，而不会气馁。Nivat猜想 (https://github.com/google-deepmind/formal-conjectures/issues/3907)已被提议纳入Google DeepMind的“形式猜想”项目，将该问题变成了自动化推理的目标，并让更多人了解了这个问题。 手稿开始陆续寄来。本周，我收到了几位初次涉足该领域的研究者寄来的几份声称证明了完整猜想的稿件。有些作者承认使用了AI，但仅用于润色英语或检查证明。当我询问作者是否愿意通过Zoom会议解释他们的论证时，没有人接受邀请。 沉默并不意味着作者使用了AI，而一份提议的证明也不是定理。但仅仅披露AI的使用和检查证明的正确性（这两者都至关重要）却忽略了重点。假设这些结果是正确的。那这是一项数学贡献。然而，它引发了更多问题：我们学到了什么？作者贡献了什么？这个结果将产生什么影响？ 证明不仅仅是某事为真的凭证。相反，它是一个故事、一幅图景、一种洞见、一种解释。证明突出了新颖的想法，并为我们下一步应该问什么开辟了新的方向。它成为学术界工具包的一部分。一个深刻的定理改变了我们的思维方式，不是因为它的陈述本身，而是因为它所教导我们的东西。正如Bill Thurston在2010年于MathOverflow (https://mathoverflow.net/a/44213)回答关于数学家做什么的问题时所写：“数学的产物是清晰和理解。而定理本身并非如此。” 这些新文本确实包含知识，就像一个由0和1组成的数据文件包含信息一样。但人类作者身份不仅仅是证明某事的字符串。它是智力责任、对新概念的理解、回应问题的能力、从现有框架中筛选新想法的能力。也许最重要的是，它是将结果融入我们理解的语料库中。 我欢迎AI生成的证明，并相信纯人工证明将变得稀少。这是一个深刻的视角转变，但数学家一直在使用外部工具和机器。AI已经成为一种强大的数学工具，我们作为一个学术界，需要负责任地将其融入我们的数学实践。问题不在于机器是否应该参与发现——它们已经在参与了。我们学术界需要解决的问题是：既然某些类型的发现不再稀缺，我们在数学中珍视什么？ 期刊发表新颖成果、招聘委员会奖励这些出版物、以及奖项委员会表彰完成结果者的传统已不再足够。同行评审是一个缓慢的过程，依赖于一小群过度劳累的无偿研究专家的专门知识。任何单一的投稿都可以处理，但目前的数量正压垮审稿人。年轻研究者的职业生涯依赖于产出定理，激励机制促使他们尽可能快地产出尽可能多的成果。深刻的反思所需的时间（这对于深刻的理解是必要的），不会在某人向模型输入问题并快速生成一份手稿时发生。 所有这些问题在AI进入我们领域之前就已存在。不幸的是，我们不再有从容解决它们的奢侈了。 数学正处于一个分水岭时刻。我们的激励结构与高度易用的AI模型的丰富产出错位。当没有报酬时，仔细的验证和卓越的阐述就不会发生。仅仅产出论文已不再足够：作者必须能够解释证明的机制以及他们是如何走到这一步的。期刊需要区分并认可发现、证明、形式化和阐述所扮演的角色。阐述必须成为任何重大智力成就的重要组成部分。我们推进数学不是靠我们写下的东西，而是靠我们学习、验证、应用和教授给他人的东西。 找到正确的概念、构建正确的定义以及提出新问题，始终是我们智力工作的一部分。创造集体理解、在讲座中交流思想的能力、以及激发研究的非正式思想交流，一直备受赞赏。这些成就比产出定理更难量化，因此被视为副产品。但这些正是塑造我们领域未来的关键方面，其价值至少与攻克下一个猜想同等重要。我们的激励体系需要重新调整，以反映我们真正珍视的东西，而不仅仅是我们能够轻易衡量的东西。 数学是智力生活各领域的煤矿金丝雀。其主张可以被仔细检查，因此我们正实时目睹这场颠覆。但当AI颠覆数学这样经过检验的标准时，对于那些证据和解释更具争议的领域，它又会做什么？科学、法律、公共政策和艺术都将不得不在丰富的产出中找到评估价值的方法。 机器生成的数学的到来并未取代人类专业知识的角色。相反，它揭示了我们为何珍视这种专业知识。我们学科的目标不仅仅是解决猜想，而是扩大我们的推理能力，为我们的思想打开新的理解方式。这需要我们整个学术界共同努力：创建新标准、发现创造数学的新方法、与AI模型合作以开启新的知识前沿，并开发接近这些前沿的工具。对于数学家来说，这确实是一个激动人心的时代。