基于条件归一化流的不确定性感知多保真度闭合模型

# 基于条件归一化流的不确定性感知多保真闭合模型
来源：https://arxiv.org/html/2606.09857  
###### 摘要  
降阶模型（ROM）为复杂多尺度系统提供了一种高效的替代模型，但其预测精度常因截断误差以及已解析与未解析尺度之间相互作用的不充分表示而受损。被截断（未解析）尺度对ROM（已解析）尺度的缺失影响通常被称为闭合问题。本文将ROM闭合建模表述为一个多保真（MF）学习问题，并提出一种基于条件归一化流的不确定性感知MF框架，以提高ROM的预测精度。所提出的方法学习从低保真（LF）ROM系数到高保真（HF）系数的概率映射，从而在提升预测保真度的同时量化与所学闭合相关的不确定性。研究了两种校正策略：直接学习（直接从LF输入预测HF系数）和残差学习（学习LF与HF系数之间的差异，并利用该差异恢复校正后的HF解）。该框架在由二维Navier–Stokes方程控制的涡旋合并问题上进行了验证。结果表明，两种校正策略均能提升ROM相对于未校正ROM的精度，且残差学习始终优于直接学习。此外，所提出的两种深度生成模型策略能够为校正后的ROM系数提供不确定性量化，这对于评估预测置信度以及支持ROM在实际应用中的可靠使用至关重要。  
###### 关键词：降阶模型，生成式AI，多保真建模，不确定性量化，闭合建模  
\affiliation[PNNL]organization=先进计算、数学与数据部，太平洋西北国家实验室，城市=里奇兰，邮编=99352，州=WA，美国  

## 1 引言  
高保真（HF）模拟对于精确解析复杂多尺度系统的动力学至关重要，但其计算成本通常高得令人望而却步，特别是在参数研究、优化、不确定性传播和控制等多查询场景中。为减轻这一负担，通常通过将全阶动力学投影到一个由少量主导基函数定义的低维子空间来构建降阶模型（ROM）[16,19]。在最广泛使用的方法中，本征正交分解（POD）通过使用由平均场、有限个POD模态及其相关时间相关模态系数组成的截断展开来近似全状态场，从而提供了一种高效的降阶表示[13]。尽管高效，基于POD的ROM常因仅保留一个小子集的模态而面临预测精度下降的问题。特别是，伽辽金POD（GPOD）框架通过将控制全阶算子投影到降阶POD基上来演化保留的模态系数[26]。然而，这种截断忽略了未解析模态和丢弃尺度的影响，而这些模态与已解析模态的相互作用在动力学上可能仍然重要。因此，降阶系统可能无法再现保留系数的真实演化，尤其对于表现出强非线性动力学的系统。这种缺陷通常被称为ROM中的闭合问题[1]。  

POD系数的精确预测通常需要一个额外的校正项（即闭合项）来补偿已解析与未解析尺度之间的缺失相互作用。从这个角度看，闭合校正可以自然地解释为一个多保真（MF）学习问题[23,2]。具体而言，ROM的输出被视为低保真（LF）近似，因为它以显著降低的计算成本捕捉了系统的主要大尺度行为，但并未完全考虑截断模态的影响。相比之下，从HF模拟获得的对应系数被视为HF目标。因此，核心目标是学习一个校正算子，将LF信息映射到与HF一致的系数，从而使得校正后的ROM能够在保持计算效率的同时恢复全阶动力学的精度。  

近来算子学习的进展，如DeepONet[14,4]和傅里叶神经算子（FNO）[12,17]，为降阶和多保真建模中的校正项学习提供了强大工具。特别是，这些方法非常适合构建LF与HF表示之间的映射，并在众多科学计算问题中表现出强大性能[15]。例如，Ahmed等人[2]将闭合建模表述为一个MF算子学习问题，其中GPOD模型作为LF分量，而学习到的算子估计所需的HF校正，以改进POD系数的演化。尽管取得了成功，现有基于DeepONet、FNO或相关神经架构的大多数校正框架本质上是确定性的，即对于给定的LF输入，它们只产生一个校正输出[8]。在许多降阶设定中，从LF系数到HF系数的映射并非严格确定性的，因为降阶表示并未完整保留未解析模态所携带的信息。模态截断引入的数值近似误差和信息丢失都可能给校正过程带来歧义。因此，同一LF状态可能对应多个合理的HF一致性校正，特别是当ROM严重欠解析或误差在长预测时间窗口上累积时。这种固有歧义暴露了确定性校正模型的一个重要局限：虽然它们能给出一个最佳拟合预测，但无法描述该预测的不确定程度。  

在闭合建模中，不确定性自然源于未解析的物理过程和累积的模型形式误差[9,25]。如果没有LF到HF映射的概率描述，校正后的ROM可能即使在预测不准确时也显得过于自信。这种过度自信会削弱模型的可信度，并限制其在预测、控制和不确定性传播等下游任务中的效用。为应对这些挑战，我们提出一种基于条件归一化流（CNF）的深度生成式MF闭合校正框架，该框架内置不确定性量化。CNF通过一系列可逆映射将简单的基础分布变换为灵活的概率分布。在本框架中，归一化流建模给定LF ROM系数下HF系数（或HF-LF差异）的条件分布。因此，模型可以为同一LF输入生成多个合理的HF一致性样本，从中可以估计预测统计量，如均值、方差和置信区间。当前工作研究了两种校正策略：直接学习（直接从LF输入预测HF系数）和残差学习（学习LF与HF系数之间的差异，并将其加回LF预测）。该框架在由二维Navier–Stokes方程控制的涡旋合并问题上进行了验证。这种涡旋合并现象是研究广泛地球物理流（包括大气风暴和大型海洋涡旋）的关键，并且越来越多地被用作ROM开发的代表性基准[3]。我们的结果表明，两种校正策略（即直接学习和残差学习）相对于未校正模型均能提升ROM精度，且残差学习始终优于直接学习。此外，概率预测提供了不确定性估计，这对于评估预测置信度以及使ROM在实际应用中可靠使用至关重要（另见[7]的最新工作）。  

本文其余部分组织如下：第2节介绍问题公式化，包括全阶模型（FOM）的控制偏微分方程及其基于投影的ROM公式；第3节提出所提出的MF框架，包括两种学习策略（直接学习和残差学习）以及CNF模型的细节；第4节提供涡旋合并问题的案例研究以评估所提出方法；最后，第5节总结本文并讨论未来研究方向。  

## 2 问题公式化  
我们从FOM的控制方程开始，FOM代表所关注的HF动力学系统。接下来，我们推导通过伽辽金投影到截断POD基上获得的ROM，该ROM产生了一个低维代理，大幅降低了计算成本，但也因忽略了丢弃模态的影响而引入了建模误差。由此产生的差异促使我们引入闭合项。  

### 2.1 全阶模型  
考虑定义在空间域Ω⊂R^d、时间区间t∈[0,T]上的参数化非线性动力学系统。其连续形式下，控制方程可写为  
∂u(x,t;μ)/∂t = N(u(x,t;μ);μ), x∈Ω, t∈(0,T],  (1)  
满足给定的初始和边界条件  
u(x,0;μ)=u0(x;μ), x∈Ω, (2)  
B(u(x,t;μ);μ)=0, x∈∂Ω, t∈(0,T].  
其中u(x,t;μ)表示状态变量，μ∈R^p是模型参数向量，N(·)是表示控制物理的通常非线性微分算子，B(·)表示边界算子。通过有限差分或有限元等方法进行空间离散后，方程(1)中的连续系统转化为常微分方程组。令N表示空间自由度数目，u(t;μ)∈R^N为相应的半离散状态向量。则FOM写为一阶系统：  
du(t;μ)/dt = f(u(t;μ);μ), u(0;μ)=u0(μ), (3)  
其中f: R^N×R^p→R^N汇集了空间离散产生的离散线性和非线性算子。方程(3)中的系统称为FOM，因为它是在原始高维状态空间R^N上演化的。在许多应用中，N非常大，且FOM的精确时间积分需要大量计算资源。在需要对多个参数实例μ重复评估控制模型的多查询场景下，这种成本尤其受限制。  

### 2.2 降阶模型  
一种标准方法是利用POD构建降阶子空间。令ū∈R^N表示参考解（例如，时间平均速度场）。则全阶状态u(t;μ)通过一个截断POD展开近似为  
u(t;μ) ≈ ū + ∑_{i=1}^R a_i(t;μ) φ_i,  (4)  
其中φ_i∈R^N, i=1,...,R是保留的POD基向量，a_i(t;μ)是相应的时变模态系数，R是降阶维数，满足R≪N。近似的质量取决于保留模态数目R。矩阵形式下，近似可写为  
u(t;μ) ≈ ū + Φ a(t;μ),  (5)  
其中Φ=[φ_1, φ_2, ..., φ_R]∈R^{N×R}, a(t;μ)=[a_1(t;μ), ..., a_R(t;μ)]^T∈R^R。Φ的列张成了近似解所在的降阶子空间。  

POD基可以从FOM生成的快照数据构建。假设在不同时间和/或参数样本下收集了N_s个解快照：u^(1), u^(2), ..., u^(N_s)∈R^N。这些快照组装成快照矩阵X=[u^(1) u^(2) ⋯ u^(N_s)]∈R^{N×N_s}。参考状态通常取快照的经验均值：  
ū = (1/N_s) ∑_{j=1}^{N_s} u^(j). (6)  
从每个快照减去该均值，得到中心化快照矩阵：  
X′ = [u^(1)-ū, u^(2)-ū, ⋯, u^(N_s)-ū] ∈ R^{N×N_s}. (7)  
通过提取X′的主导正交方向获得POD模态，这可以通过奇异值分解方便地实现：  
X′ = U Σ V^T, (8)  
其中U∈R^{N×N}包含左奇异向量，Σ∈R^{N×N_s}是对角奇异值矩阵，V∈R^{N_s×N_s}包含右奇异向量。左奇异向量按对应奇异值从大到小排列。截断展开(4)通过取U的前R列得到Φ，即Φ=[u_1, u_2, ..., u_R]，其中u_i是第i个左奇异向量。模态系数a(t;μ)通过将状态投影到基上获得：a(t;μ)=Φ^T (u(t;μ)-ū)。这些系数在全阶模型中通过数值积分常微分方程组(3)获得。  

ROM通过在保留的子空间内投影方程(3)来演化a(t;μ)。将近似(5)代入(3)并对Φ施加正交性，得到伽辽金投影ROM：  
da/dt = Φ^T f(ū+Φ a; μ), (9)  
其中初始条件a(0)=Φ^T (u0-ū)。由于R远小于N求解该ROM系统在计算上远低于求解FOM(3)的成本。然而，近似(4)的截断性质意味着方程(9)中丢弃了与未解析模态相关的项，这些项本应通过全阶方程保留。因此，从简化系统得到的轨迹可能偏离HF解，这种偏差即称为闭合问题。我们令a^LF(t;μ)表示由ROM(9)产生的系数，称为LF系数，并令a^HF(t;μ)表示从全阶状态投影到POD基获得的系数，称为HF系数。它们的差异定义为  
d(t;μ) = a^HF(t;μ) - a^LF(t;μ). (10)  

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