从布丰投针到布丰面条

# 从布丰投针到布丰投面 来源：https://mbmccoy.dev/posts/buffons-noodle/ 将一根长度为 $L$ 的针投掷到宽度为 $W$ 的木地板上。平均而言，这根针会穿过 $2L / \pi W$ 条木板间的缝隙线，这是布丰的一个经典结论。但公式中那个 $\pi$ 意味着背后隐藏着某个圆。找到它的诀窍是什么？把针弯曲成面条。 解决布丰问题的常规方法涉及二重积分。这种方法虽然正派，但它掩盖了解决方案核心的那个圆，而且坦白说，我并不喜欢做积分。相反，我们将通过从直针到弯曲面条，再到圆的过程来推导这一结果[^1]。我们只需要一些基本的几何推理和概率论知识。 让我们先固定一些符号。在 $\mathbb{R}^2$ 平面上添加间距为 $W > 0$ 的平行线，并随机选择一条长度为 $L > 0$ 的线段[^2]。设 $X_1$ 为这条随机线段穿过的平行线数量。我们要计算 $\mathbb{E}[X_1] =: f(L)$ 作为 $L$ 的函数。 现在假设我们投掷两根长度分别为 $L_1$ 和 $L_2$ 的针，并设 $X_1$ 和 $X_2$ 为每根针穿过的线条数量。根据期望的线性性质， $$ \mathbb{E}[X_1 + X_2] = \mathbb{E}[X_1] + \mathbb{E}[X_2] = f(L_1) + f(L_2). $$ 期望的线性性质不需要独立性假设。特别是，我们可以将这两段线段焊接在一起，上述方程仍然成立。将两段线段首尾相连给出 $f(L_1 + L_2) = f(L_1) + f(L_2)$，这对所有长度 $L_1$、$L_2$ 都成立。由于 $f$ 是非负的且随 $f(0) = 0$ 递增，我们推断出 $f(L) = c L$，其中 $c \ge 0$ 是某个需要确定的常数[^3]。 然后我们可以将针“弯曲”成一条任意折线，包含 $N$ 段，每段长度为 $L/N$。设 $X_i$ 为第 $i$ 段上的交叉次数，我们得到 $$ \mathbb{E}[X_1 + \dotsb + X_N] = N f(L/N) = c L, $$ 也就是说，**一条折线平均穿过的线条数量与其长度成正比。** 取极限我们就得到了布丰的面条：将任意曲线[^4] 投掷到平面上，它平均相交的线条数量仅与其长度成正比。 ### 特殊的圆 只剩下常数 $c$ 的值需要确定。考虑一个半径为 $W/2$ 的圆。以概率 1，这个圆会穿过某一条平行线两次；另一种情况（即与两条线相切）发生的概率为零。（试试上面的小部件！）这意味着 $$ \mathbb{E}[\text{与半径为 $W/2$ 的圆的交点数}] = 2. $$ 对于这个特殊的圆，这意味着 $cL = 2$；由于 $L = \pi W$，我们得出结论 $$ c = \frac{2}{\pi W} $$ 这就完成了证明。 通过电子邮件获取新文章。没有垃圾邮件，只有文章。 [^1]: https://mbmccoy.dev/posts/buffons-noodle/#fn:1 [^2]: https://mbmccoy.dev/posts/buffons-noodle/#fn:2 [^3]: https://mbmccoy.dev/posts/buffons-noodle/#fn:3 [^4]: https://mbmccoy.dev/posts/buffons-noodle/#fn:4