我们发布了手稿、正式的 Lean 证书以及推理过程详解，以便数学家们检验这些结果并在其思路上继续推进。https://t.co/oDT2J8F6Ez

数学与理论计算机科学领域的十项进展

来源：https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/ OpenAI

• 各项结果 (https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/#the-results)
• 对数学界的责任 (https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/#responsibility-to-the-mathematical-community)

我们希望为科学家和数学家提供能够加速发现的工具。因此，我们最近发布了“面向学术研究者的 ChatGPT”(https://openai.com/index/chatgpt-for-academic-researchers/)，这项计划将为 100,000 名科学家和数学家免费提供我们最好的 ChatGPT 模型。同时，我们也在开发过程中持续用开放研究问题来评估我们的模型。

今年 5 月，我们分享了一个AI 生成的证伪(https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/)结果，针对 Erdős 单位距离猜想，这是在评估一个未发布模型时发现的。这项工作已经启发了数学和理论计算机科学领域的进一步研究¹(https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/#citation-bottom-1)。今天，我们分享十项成果，每一项都解决了一个长期悬而未决的开放问题，或使其取得了实质性进展。这些问题涵盖高维几何、编码理论、算术电路复杂度、群论、算子代数、量子复杂度、格密码学和极值组合学。所有这些课题都受到各自数学界的高度关注，其中多项在整个数学领域具有广泛影响。

各项结果

我们针对以下问题提供了新结果。这些结果由 Astra（我们的下一代主要模型）的内部版本取得。以 Sol API 费率计算，找到这些问题解法所需的总 token 数成本约为 2,000 美元。随后，人类在与同一模型的协作下将这些论证整理成手稿。之后，该模型将每个论证形式化为一份Lean 证书（在新窗口中打开）(https://github.com/openai/ten-proofs)。我们还为每个解法发布了模型对其思考过程的叙述。

1. 高维球堆积。 在 Cohn–Elkies 阈值之下，球堆积密度的新上界。
2. 二元码与球面码： 在任意指定最小距离下，二元码最大规模的界获得指数级改进，并对高维球面码得到类似结果。
3. 非 sofic 群。 一项构造，证明了非 sofic 群的存在性，回应了群论中的一个核心开放问题。
4. Connes 刚性猜想。 证伪了一个长期存在的猜想，该猜想声称某些群由其冯·诺依曼代数唯一决定。
5. 算术电路复杂度。 使用算术电路和公式计算积和式的新下界，其中包括阶数为 n⁴/log n 的算术公式下界。
6. 量子并行重复。 针对一般双人量子博弈的指数级并行重复定理，将经典复杂度理论中的一条基础原理加以推广。
7. 最近向量问题。 最近向量问题在近似意义上的多项式因子困难性，这是一个与后量子密码学相关的基础格问题。
8. Ehrhart 体积猜想。 在所有维度上确定了凸体体积的最大可能值，该凸体的质心是其唯一的内格点。
9. 多色 Ramsey 数。 多色三角 Ramsey 数的超指数下界，解决了 Erdős 问题 183。
10. 极值数猜想。 关于极值图论中紧致性与退化性猜想的结果，解决了 Erdős 问题 146 和 180。

对数学界的责任

能够为数学研究作出贡献的系统的出现，提出了一些无法仅由一家科技公司回答的问题。关于 AI 在数学中的角色存在许多观点，我们对那些对此影响感到担忧的人深怀敬意与理解，包括《莱顿 AI 与数学宣言》(https://leidendeclaration.ai/) 的签署者。我们认为，署名应当诚实地反映结果的产生方式：如果一个证明完全由 AI 系统生成，却声称其作者是人类，这将既歪曲系统的贡献，也有损真正人类智力工作的本质。我们协助准备了手稿并在 Lean 中形式化了证明，我们对其正确性负责，而数学论证本身是由我们的系统生成的。我们希望数学界能够深入研究这些结果，将其置于适当语境中，并通过新的研究和发现让这些思想焕发生机。

随着 AI 系统演化为更复杂的研究伙伴，确保广泛可及性对于支持科学家和数学家在这一变革时代探索并定义其学科的未来至关重要。

• 2026 (https://openai.com/research/index/?tags=2026)

脚注

1. ¹后续研究包括 Bloom、Sawin、Schildkraut 和 Zhelezov 的《The sum-product conjecture is false for real numbers（在新窗口中打开）》(https://arxiv.org/abs/2605.28781)；Pohoata 的《Split primes and the Elekes–Rónyai problem（在新窗口中打开）》(https://arxiv.org/abs/2606.13619v2)；Saha、Xu 和 Ye 的《Furthest Pair Requires Quadratic Time in Superconstant Dimension under SETH（在新窗口中打开）》(https://arxiv.org/abs/2606.25887)；Goh 和 Hatami 的《Communication complexity of point-line incidences over the reals（在新窗口中打开）》(https://arxiv.org/abs/2606.25192)；以及 Lee、Pohoata 和 Zhu 的《The Minkowski grid has robustly many repeated distances（在新窗口中打开）》(https://arxiv.org/abs/2607.05374)。