算法度量学：算法反馈下的预测

# 算法测量学：算法反馈下的预测

来源：https://arxiv.org/html/2605.23978

###### 摘要

在算法市场中，预测模型成为其试图预测的数据生成过程的一部分。一旦模型的输出转化为交易、配置、执行计划或风险控制，它们就会改变评估模型所依据的未来数据。我提出了算法测量学（algometrics），这是一个用于时间序列的框架，该时间序列的演变依赖于对其进行预测的预测算法。该框架区分了历史风险（在被动预测下衡量）和部署风险（在预测驱动行动时衡量）。我证明了三个结果。首先，仅凭被动历史数据无法识别部署风险：即使是在一步线性反馈模型中，无限多的算法中介环境会诱导出相同的历史规律，但对于同一个预测器却意味着不同的部署风险。其次，在拥挤效应下，历史模型排名可能发生反转，因此一个具有较低被动误差的预测器，一旦相似算法被采用，可能会有更高的部署误差。第三，随机化或工具化的行动能够识别短视界的线性反馈，并且我推导出了部署风险估计的一个有限样本界。这些结果表明，算法市场中的时间序列基准应同时报告反馈敏感性和预测准确性。

## 1 引言

金融市场是机器学习自然的目的地，因为它们具有高维度、弱预测性和高噪声的特点。越来越多的实证和理论文献认为，模型复杂度在回报预测中可能具有价值：许多微弱信号、交互作用和非线性关系可能被简约模型忽略，但对现代ML系统却有用（Gu et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib5); Kelly et al., 2024 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib4)）。金融不仅仅是容易过拟合的领域；它还是一个受控的复杂度能够产生效益的领域。

本文研究的是另一种复杂度来源。在金融市场中，预测很少是中性的。一个回报预测会变成订单或投资组合权重；一个信用评分会改变融资渠道；一个流动性预测会改变执行方式；一个风险模型会改变杠杆和保证金；一个被广泛复制信号会改变未来模型训练的价格过程。统计对象是一个部分由预测它的算法生成的时间序列。

我将这个问题称为*算法测量学*：在算法反馈下对时间序列的测量和学习。它指的是以下情境：(i) 预测算法观察历史，(ii) 其输出转化为行动，(iii) 行动影响未来的观察结果，以及 (iv) 一群相关算法可能造成拥挤或策略性适应。金融市场是核心例子；同样的模式也出现在在线广告、定价、推荐系统、平台劳动和网络安全中。

本文提出了三个主张。首先，历史风险和部署风险是不同的估计量。当一个模型被动地预测市场时，它可能是准确的；但当它成为市场订单流的一部分时，它可能变得不准确。其次，这种差异并非小样本的干扰。如果没有算法行动的变动，通常无法从被动历史中识别出部署风险。第三，如果数据包含干预、随机暴露、具有校准影响的模拟器或其他能够揭示结果对算法行动如何响应的工具，那么评估仍然是可能的。

贡献在于一个识别论证。我将一个*算法中介的时间序列*形式化为一个序列，其转移核依赖于算法诱导的行动。我定义了被动风险与部署风险之间的*反馈差距*。然后我证明了两个负向结果和一个正向结果。第一个负向结果表明不可识别性：在一个一步线性反馈模型中，所有反馈系数的值都引致相同的被动历史分布，但它们意味着不同的部署风险。第二个结果表明排名反转：历史上最好的预测器在拥挤之后可能变得比保守的预测器更差。正向结果表明，随机化的行动能够识别短视界的线性反馈系数，并产生一个有限样本的部署风险界。

贡献类型是理论。第7节（https://arxiv.org/html/2605.23978#S7）中的封闭形式示例可视化了该机制；主要主张是数学性的。信息是：算法环境中的时间序列基准应报告历史预测分数，以及这些分数能够外推到部署所依据的假设。

## 2 从统计复杂度到算法反馈

在金融领域，支持复杂ML的理由通常被框定在简约性的回应上。经典的股权溢价预测难以击败简单的基线（Welch and Goyal, 2008 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib6)）。最近的ML工作通过利用大横截面、非线性、交互作用和正则化来重新审视这一结论（Gu et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib5)）。Kelly等人（2024 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib4)）更直接地论证了回报预测中的“复杂性美德”：复杂模型可以恢复小模型错过的预测结构。怀疑论的观点指出，ML在金融中的表现对经济限制敏感（Avramov et al., 2023 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib47); Martin and Nagel, 2022 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib46)）以及多重比较问题（Harvey et al., 2016 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib17)），而基于树的方法带来的收益与深度模型相当，且具有更强的可解释性（Bryzgalova et al., 2025 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib49)）。算法测量学与这一辩论的双方都是互补的：即使复杂性的预测理由成立，部署相关的理由还需要额外建模预测器如何改变预测目标。

算法测量学增加了一个内生层面。一个模型的复杂度不仅影响它从历史中学到什么，也影响它如何在市场上行动。一个高容量的模型可能交易更激进，与在相似数据上训练的模型无意识地协调，或者产生一旦被别人模仿其价值就会衰减的信号。这些效应不会被通常的历史损失

R0(f)=E[ℓ(f(Ht),Yt+1)],R_{0}(f)=\mathbb{E}\big[\ell(f(H_{t}),Y_{t+1})\big],(1)

所捕捉，其中HtH_{t}是观察到的历史，Yt+1Y_{t+1}是下一个回报、价格变动、价差、违约指标或其他目标。该损失将目标视为外生于预测。

这一担忧与执行性预测相关，其中预测会影响结果的分布（Perdomo et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib7); Mendler-Dünner et al., 2020 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib8); Miller et al., 2021 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib9)）。它也联系到策略性分类（Hardt et al., 2016 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib10)）、市场冲击（Kyle, 1985 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib11); Almgren and Chriss, 2001 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib12)）、适应性市场（Lo, 2004 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib14)）、羊群效应（Cont and Bouchaud, 2000 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib13)）以及基于智能体的计算金融（LeBaron, 2006 (https://arxiv.org/html/2605.23978#bib.bib27)）。这里独特的特征是时间序列估计量：历史数据通常是在一种算法体制下收集的，而部署发生在另一种体制下。

表1：算法测量学的核心对象。这些术语是可操作的：每一个都指向在反馈条件下进行时间序列学习的估计量或诊断。这种框架并不否定历史基准的价值。它们对于检测泄漏、幸存者偏差、过拟合和不现实的成本假设至关重要。但这个主张更窄：一个估计R0(f)R_{0}(f)的基准不应被解释为估计Rm(f)R_{m}(f)，除非反馈差距被认为可以忽略、有界或被测量。

## 3 算法中介的时间序列

令Ht=(Y1,A1,...,Yt−1,At−1,Yt)H_{t}=(Y_{1},A_{1},\ldots,Y_{t-1},A_{t-1},Y_{t})表示直到时间tt结果（但时间tt行动之前）的观察历史。一个预测器f∈Ff\in\mathcal{F}将历史映射到预测Y^t+1=f(Ht)\hat{Y}_{t+1}=f(H_{t})。一个部署映射π\pi将预测转化为行动At=π(f,Ht,mt)A_{t}=\pi(f,H_{t},m_{t})，其中mt∈[0,1]m_{t}\in[0,1]是被预测器影响的应用量、资本或流量份额。约定在每个周期内按顺序进行观察、预测和行动：首先观察到YtY_{t}，ff从HtH_{t}产生Y^t+1\hat{Y}_{t+1}，然后诱导出AtA_{t}；AtA_{t}进入Ht+1H_{t+1}，而不是HtH_{t}。在一个市场中，AtA_{t}可以代表需求、订单大小、投资组合权重、杠杆、取消强度或执行计划。

###### 定义 1（算法中介的时间序列）。

一个算法中介的时间序列是一族转移核

Pη(Yt+1∈dy,St+1∈ds∣Ht,St,At,mt),P_{\eta}\big(Y_{t+1}\in dy,S_{t+1}\in ds\mid H_{t},S_{t},A_{t},m_{t}\big),(2)

其中StS_{t}是潜在或可观察的状态，AtA_{t}是由一个或多个算法诱导的行动，mtm_{t}是应用质量，η\eta索引环境参数如市场冲击、流动性或策略性反应。被动体制设定At=0A_{t}=0和mt=0m_{t}=0。部署体制使用At=π(f,Ht,mt)A_{t}=\pi(f,H_{t},m_{t})。

对于损失ℓ\ell，历史风险是

R0(f)=EPη0[ℓ(f(Ht),Yt+1)],R_{0}(f)=\mathbb{E}_{P_{\eta}^{0}}\left[\ell(f(H_{t}),Y_{t+1})\right],(3)

其中Pη0P_{\eta}^{0}是由被动观察诱导的律。应用量mm时的部署风险是

Rm(f)=EPηf,m[ℓ(f(Ht),Yt+1)],R_{m}(f)=\mathbb{E}_{P_{\eta}^{f,m}}\left[\ell(f(H_{t}),Y_{t+1})\right],(4)

其中Pηf,mP_{\eta}^{f,m}是当ff被行动化时所诱导的律。反馈差距是

Γm(f)=Rm(f)−R0(f)。\Gamma_{m}(f)=R_{m}(f)-R_{0}(f)。(5)

对于回报目标，如预期回报或夏普类分数，可以定义符号反转的差距。数学问题是一样的：被动分数和部署分数是不同的估计量。上述轨迹定义允许一个有用的一步特化：*一步部署风险*是

Rm(1)(f)=EHt∼Pη0[E[ℓ(f(Ht),Yt+1)∣Ht,At=π(f,Ht,m)]],R_{m}^{(1)}(f)=\mathbb{E}_{H_{t}\sim P_{\eta}^{0}}\!\left[\mathbb{E}\!\left[\ell(f(H_{t}),Y_{t+1})\,\big|\,H_{t},\,A_{t}=\pi(f,H_{t},m)\right]\right],(6)

其中外层期望从被动律抽取历史，只有时间tt的行动由部署策略诱导。定理1 (https://arxiv.org/html/2605.23978#Thmtheorem1)和2 (https://arxiv.org/html/2605.23978#Thmtheorem2)以及命题1 (https://arxiv.org/html/2605.23978#Thmproposition1)是关于Rm(1)(f)R_{m}^{(1)}(f)的陈述。比较不同预测器的部署风险是一个策略比较：每个预测器ff在其自身部署诱导的数据生成过程Pηf,mP_{\eta}^{f,m}下被评估，而不是在一个共同的实现标签序列上。这不是混淆；这是研究对象。在算法环境中，未来依赖于策略，因此部署风险的比较必然是比较策略及其所诱导的世界。

一个有用的局部诊断是算法弹性。对于分布上的度量dd，

E(Ht;a,a′)=d(Pη(Yt+1∣Ht,At=a),Pη(Yt+1∣Ht,At=a′))‖a−a′‖,\mathcal{E}(H_{t};a,a^{\prime})=\frac{d\left(P_{\eta}(Y_{t+1}\mid H_{t},A_{t}=a),\,P_{\eta}(Y_{t+1}\mid H_{t},A_{t}=a^{\prime})\right)}{\left\lVert a-a^{\prime}\right\rVert},(7)

只要a≠a′a\neq a^{\prime}，其中Pη(Yt+1∣Ht,At)=∫Pη(Yt+1∣Ht,St,At)Pη(dSt∣Ht)P_{\eta}(Y_{t+1}\mid H_{t},A_{t})=\int P_{\eta}(Y_{t+1}\mid H_{t},S_{t},A_{t})\,P_{\eta}(dS_{t}\mid H_{t})在当前体制下对潜在状态进行边际化。高弹性意味着目标对预测诱导的行动敏感。在金融中，这可能是由价格冲击、流动性撤出、信号拥挤或策略性反应造成的。在低弹性体制中，历史风险可能是部署风险的合理代理。在高弹性体制中，代理是可疑的。

### 3.1 何时被动评估是合理的

该框架并不意味着每一个历史基准都是无效的。它识别了历史评估不仅仅是进行被动预测的条件：行动诱导的分布变化必须相对于损失很小。一个简单的界限使之明确。

###### 命题 1（小反馈界）。

固定一步评估，以历史从被动律抽取为条件。固定结果空间上的一个基础度量dYd_{Y}，并令W1W_{1}表示相应的11-瓦瑟斯坦距离。假设损失ℓ(y^,y)\ell(\hat{y},y)是关于yy相对于dYd_{Y}的LℓL_{\ell}-利普希茨，且

W1(P(Yt+1∣Ht,At=a),P(Yt+1∣Ht,At=0))≤κ(Ht)‖a‖W_{1}\left(P(Y_{t+1}\mid H_{t},A_{t}=a),P(Y_{t+1}\mid H_{t},A_{t}=0)\right)\leq\kappa(H_{t})\left\lVert a\right\rVert(8)

对所有可行行动aa成立。记πf(Ht):=π(f,Ht,m)\pi_{f}(H_{t}):=\pi(f,H_{t},m)为固定应用量mm下的部署策略，Γ(f):=Γm(1)(f)\Gamma(f):=\Gamma_{m}^{(1)}(f)为一步反馈差距，则

|Γ(f)|≤LℓE[κ(Ht)‖πf(Ht)‖]。|\Gamma(f)|\leq L_{\ell}\,\mathbb{E}\left[\kappa(H_{t})\left\lVert\pi_{f}(H_{t})\right\rVert\right]。(9)

该命题之所以有用，是因为它将两个常常混为一谈的问题分开了。一个模型在统计上复杂的同时，可以具有较小的市场足迹，在这种情况下被动评估可能是足够的。相反，一个简单模型如果控制足够的资本或流量，则可能具有较大的反馈差距。表示的复杂性和部署的复杂性是不同的维度。

## 4 被动历史无法识别部署风险

第一个结果表明，反馈差距通常无法从被动历史中恢复。该定理故意是初等的。在一个一步线性模型中展示失败，比依赖复杂的市场动态更有力。

###### 定理 1（被动不可识别性）。

考虑一步线性反馈族

Yt+1=μ(Ht)+βAt+εt+1,E[εt+1∣Ht,At]=0,Y_{t+1}=\mu(H_{t})+\beta A_{t}+\varepsilon_{t+1},\qquad\mathbb{E}[\varepsilon_{t+1}\mid H_{t},A_{t}]=0,(10)

使用平方损失和有限二阶矩。在被动体制中At=0A_{t}=0。固定任意预测器ff和部署策略At=πf(Ht)A_{t}=\pi_{f}(H_{t})，满足被动历史律下E[πf(Ht)2]>0\mathbb{E}[\pi_{f}(H_{t})^{2}]>0。那么所有β\beta值都诱导出关于(Ht,Yt+1)(H_{t},Y_{t+1})的相同被动分布，但ff的一步部署风险是β\beta的非恒定二次函数。因此，仅基于被动历史的任何估计器